MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climi0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climi0 14651
Description: Convergence of a sequence of complex numbers to zero. (Contributed by NM, 11-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climi.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climi.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climi.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
climi.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
climi0.5 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
climi0 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐶   𝑗,𝐹,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climi0
StepHypRef Expression
1 climi.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climi.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climi.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
4 climi.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
5 climi0.5 . . 3 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
61, 2, 3, 4, 5climi 14649 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝐶))
7 subid1 10643 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
87fveq2d 6450 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
98breq1d 4896 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝐶 ↔ (abs‘𝐵) < 𝐶))
109biimpa 470 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝐶) → (abs‘𝐵) < 𝐶)
1110ralimi 3133 . . 3 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝐶) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝐶)
1211reximi 3191 . 2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝐶) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝐶)
136, 12syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  wrex 3090   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272   < clt 10411  cmin 10606  cz 11728  cuz 11992  +crp 12137  abscabs 14381  cli 14623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-z 11729  df-uz 11993  df-clim 14627
This theorem is referenced by:  mertenslem2  15020  iscmet3lem3  23496  radcnvlem1  24604  abelthlem5  24626  abelthlem8  24630  sinccvg  32164
  Copyright terms: Public domain W3C validator