Theorem climi0 15460

Description: Convergence of a sequence of complex numbers to zero. (Contributed by NM, 11-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climi.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climi.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climi.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
climi.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
climi0.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Assertion

Ref	Expression
climi0	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘𝐵) < 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐶   𝑗,𝐹,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climi0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climi.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climi.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climi.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
4		climi.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
5		climi0.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)
6	1, 2, 3, 4, 5	climi 15458	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝐶))
7		subid1 11484	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
8	7	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
9	8	breq1d 5157	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝐶 ↔ (abs‘𝐵) < 𝐶))
10	9	biimpa 475	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝐶) → (abs‘𝐵) < 𝐶)
11	10	ralimi 3081	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝐶) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘𝐵) < 𝐶)
12	11	reximi 3082	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝐶) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘𝐵) < 𝐶)
13	6, 12	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘𝐵) < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112   < clt 11252   − cmin 11448  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ℝ⁺crp 12978  abscabs 15185   ⇝ cli 15432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-clim 15436

This theorem is referenced by:  mertenslem2  15835  iscmet3lem3  25038  radcnvlem1  26161  abelthlem5  26183  abelthlem8  26187  sinccvg  34956