Theorem zindd 12421

Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zindd.1	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
zindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
zindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜏))
zindd.4	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜃))
zindd.5	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜂))
zindd.6	⊢ (𝜁 → 𝜓)
zindd.7	⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜏)))
zindd.8	⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃)))

Assertion

Ref	Expression
zindd	⊢ (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑦,𝜁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem zindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
2		elznn0nn 12333	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑦 ∈ ℤ ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
3	1, 2	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
4		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ) → --𝑦 ∈ ℕ)
5	4	orim2i 908	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)) → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
7		zcn 12324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	negnegd 11323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → --𝑦 = 𝑦)
9	8	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (--𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ ℕ))
10	9	orbi2d 913	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ) ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ)))
11	6, 10	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ))
12		zindd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
13	12	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜓)))
14		zindd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
15	14	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜒)))
16		zindd.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜏))
17	16	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜏)))
18		zindd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜃))
19	18	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜃)))
20		zindd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜁 → 𝜓)
21		zindd.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜏)))
22	21	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → (𝜒 → 𝜏)))
23	22	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜁 → 𝜒) → (𝜁 → 𝜏)))
24	13, 15, 17, 19, 20, 23	nn0ind 12415	. . . . . 6 ⊢ (-𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → 𝜃))
25	24	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝜁 → (-𝑦 ∈ ℕ0 → 𝜃))
26	13, 15, 17, 15, 20, 23	nn0ind 12415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → 𝜒))
27		nnnn0 12240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
28	26, 27	syl11 33	. . . . . 6 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒))
29		zindd.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃)))
30	28, 29	mpdd 43	. . . . 5 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜃))
31	25, 30	jaod 856	. . . 4 ⊢ (𝜁 → ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝜃))
32	11, 31	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℤ → 𝜃))
33	32	ralrimiv 3102	. 2 ⊢ (𝜁 → ∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃)
34		znegcl 12355	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
35		negeq 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
36		zcn 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
37	36	negnegd 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
38	35, 37	sylan9eqr 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → -𝑦 = 𝑥)
39	38	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
40	39, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜃))
41	40	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜃 ↔ 𝜑))
42	34, 41	rspcdv 3553	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → 𝜑))
43	42	com12 32	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝜑))
44	43	ralrimiv 3102	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
45		zindd.5	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜂))
46	45	rspccv 3558	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
47	33, 44, 46	3syl 18	1 ⊢ (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  -cneg 11206  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320

This theorem is referenced by:  efexp  15810  pcexp  16560  mulgaddcom  18727  mulginvcom  18728  mulgneg2  18737  mulgass2  19840  cnfldmulg  20630  clmmulg  24264  xrsmulgzz  31287