Theorem zindd 12605

Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zindd.1	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
zindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
zindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜏))
zindd.4	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜃))
zindd.5	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜂))
zindd.6	⊢ (𝜁 → 𝜓)
zindd.7	⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜏)))
zindd.8	⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃)))

Assertion

Ref	Expression
zindd	⊢ (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑦,𝜁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem zindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12538	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
2		elznn0nn 12514	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑦 ∈ ℤ ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
3	1, 2	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ) → --𝑦 ∈ ℕ)
5	4	orim2i 911	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)) → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
7		zcn 12505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	negnegd 11495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → --𝑦 = 𝑦)
9	8	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (--𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ ℕ))
10	9	orbi2d 916	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ) ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ)))
11	6, 10	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ))
12		zindd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
13	12	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜓)))
14		zindd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
15	14	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜒)))
16		zindd.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜏))
17	16	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜏)))
18		zindd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜃))
19	18	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜃)))
20		zindd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜁 → 𝜓)
21		zindd.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜏)))
22	21	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → (𝜒 → 𝜏)))
23	22	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜁 → 𝜒) → (𝜁 → 𝜏)))
24	13, 15, 17, 19, 20, 23	nn0ind 12599	. . . . . 6 ⊢ (-𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → 𝜃))
25	24	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝜁 → (-𝑦 ∈ ℕ0 → 𝜃))
26	13, 15, 17, 15, 20, 23	nn0ind 12599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → 𝜒))
27		nnnn0 12420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
28	26, 27	syl11 33	. . . . . 6 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒))
29		zindd.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃)))
30	28, 29	mpdd 43	. . . . 5 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜃))
31	25, 30	jaod 860	. . . 4 ⊢ (𝜁 → ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝜃))
32	11, 31	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℤ → 𝜃))
33	32	ralrimiv 3129	. 2 ⊢ (𝜁 → ∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃)
34		znegcl 12538	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
35		negeq 11384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
36		zcn 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
37	36	negnegd 11495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
38	35, 37	sylan9eqr 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → -𝑦 = 𝑥)
39	38	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
40	39, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜃))
41	40	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜃 ↔ 𝜑))
42	34, 41	rspcdv 3570	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → 𝜑))
43	42	com12 32	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝜑))
44	43	ralrimiv 3129	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
45		zindd.5	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜂))
46	45	rspccv 3575	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
47	33, 44, 46	3syl 18	1 ⊢ (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  -cneg 11377  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501

This theorem is referenced by:  efexp  16038  pcexp  16799  mulgaddcom  19040  mulginvcom  19041  mulgneg2  19050  mulgass2  20256  cnfldmulg  21370  clmmulg  25069  xrsmulgzz  33101