MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zindd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zindd 12709
Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zindd.1 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
zindd.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
zindd.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜏))
zindd.4 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜃))
zindd.5 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜂))
zindd.6 (𝜁𝜓)
zindd.7 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒𝜏)))
zindd.8 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒𝜃)))
Assertion
Ref Expression
zindd (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑦,𝜁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem zindd
StepHypRef Expression
1 znegcl 12643 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
2 elznn0nn 12618 . . . . . . 7 (-𝑦 ∈ ℤ ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
31, 2sylib 217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
4 simpr 483 . . . . . . 7 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ) → --𝑦 ∈ ℕ)
54orim2i 908 . . . . . 6 ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)) → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
7 zcn 12609 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
87negnegd 11603 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → --𝑦 = 𝑦)
98eleq1d 2811 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (--𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ ℕ))
109orbi2d 913 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ) ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ)))
116, 10mpbid 231 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ))
12 zindd.1 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
1312imbi2d 339 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜓)))
14 zindd.2 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
1514imbi2d 339 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜒)))
16 zindd.3 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜏))
1716imbi2d 339 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜏)))
18 zindd.4 . . . . . . . 8 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜃))
1918imbi2d 339 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑦 → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜃)))
20 zindd.6 . . . . . . 7 (𝜁𝜓)
21 zindd.7 . . . . . . . . 9 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒𝜏)))
2221com12 32 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → (𝜒𝜏)))
2322a2d 29 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜁𝜒) → (𝜁𝜏)))
2413, 15, 17, 19, 20, 23nn0ind 12703 . . . . . 6 (-𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁𝜃))
2524com12 32 . . . . 5 (𝜁 → (-𝑦 ∈ ℕ0𝜃))
2613, 15, 17, 15, 20, 23nn0ind 12703 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁𝜒))
27 nnnn0 12525 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
2826, 27syl11 33 . . . . . 6 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒))
29 zindd.8 . . . . . 6 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒𝜃)))
3028, 29mpdd 43 . . . . 5 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜃))
3125, 30jaod 857 . . . 4 (𝜁 → ((-𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → 𝜃))
3211, 31syl5 34 . . 3 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℤ → 𝜃))
3332ralrimiv 3135 . 2 (𝜁 → ∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃)
34 znegcl 12643 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
35 negeq 11493 . . . . . . . . 9 (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
36 zcn 12609 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3736negnegd 11603 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
3835, 37sylan9eqr 2788 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → -𝑦 = 𝑥)
3938eqcomd 2732 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
4039, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑𝜃))
4140bicomd 222 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜃𝜑))
4234, 41rspcdv 3599 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃𝜑))
4342com12 32 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝜑))
4443ralrimiv 3135 . 2 (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
45 zindd.5 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜂))
4645rspccv 3604 . 2 (∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
4733, 44, 463syl 18 1 (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  (class class class)co 7416  cr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152  -cneg 11486  cn 12258  0cn0 12518  cz 12604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605
This theorem is referenced by:  efexp  16098  pcexp  16856  mulgaddcom  19088  mulginvcom  19089  mulgneg2  19098  mulgass2  20284  cnfldmulg  21391  clmmulg  25116  xrsmulgzz  32892
  Copyright terms: Public domain W3C validator