Theorem zindd 12717

Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zindd.1	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
zindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
zindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜏))
zindd.4	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜃))
zindd.5	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜂))
zindd.6	⊢ (𝜁 → 𝜓)
zindd.7	⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜏)))
zindd.8	⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃)))

Assertion

Ref	Expression
zindd	⊢ (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑦,𝜁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem zindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12650	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
2		elznn0nn 12625	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑦 ∈ ℤ ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
3	1, 2	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ) → --𝑦 ∈ ℕ)
5	4	orim2i 910	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)) → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
7		zcn 12616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	negnegd 11609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → --𝑦 = 𝑦)
9	8	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (--𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ ℕ))
10	9	orbi2d 915	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ) ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ)))
11	6, 10	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ))
12		zindd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
13	12	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜓)))
14		zindd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
15	14	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜒)))
16		zindd.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜏))
17	16	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜏)))
18		zindd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜃))
19	18	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜃)))
20		zindd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜁 → 𝜓)
21		zindd.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜏)))
22	21	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → (𝜒 → 𝜏)))
23	22	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜁 → 𝜒) → (𝜁 → 𝜏)))
24	13, 15, 17, 19, 20, 23	nn0ind 12711	. . . . . 6 ⊢ (-𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → 𝜃))
25	24	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝜁 → (-𝑦 ∈ ℕ0 → 𝜃))
26	13, 15, 17, 15, 20, 23	nn0ind 12711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → 𝜒))
27		nnnn0 12531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
28	26, 27	syl11 33	. . . . . 6 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒))
29		zindd.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃)))
30	28, 29	mpdd 43	. . . . 5 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜃))
31	25, 30	jaod 859	. . . 4 ⊢ (𝜁 → ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝜃))
32	11, 31	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℤ → 𝜃))
33	32	ralrimiv 3143	. 2 ⊢ (𝜁 → ∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃)
34		znegcl 12650	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
35		negeq 11498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
36		zcn 12616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
37	36	negnegd 11609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
38	35, 37	sylan9eqr 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → -𝑦 = 𝑥)
39	38	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
40	39, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜃))
41	40	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜃 ↔ 𝜑))
42	34, 41	rspcdv 3614	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → 𝜑))
43	42	com12 32	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝜑))
44	43	ralrimiv 3143	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
45		zindd.5	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜂))
46	45	rspccv 3619	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
47	33, 44, 46	3syl 18	1 ⊢ (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  -cneg 11491  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612

This theorem is referenced by:  efexp  16134  pcexp  16893  mulgaddcom  19129  mulginvcom  19130  mulgneg2  19139  mulgass2  20323  cnfldmulg  21434  clmmulg  25148  xrsmulgzz  32994