MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zindd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zindd 12522
Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zindd.1 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
zindd.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
zindd.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜏))
zindd.4 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜃))
zindd.5 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜂))
zindd.6 (𝜁𝜓)
zindd.7 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒𝜏)))
zindd.8 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒𝜃)))
Assertion
Ref Expression
zindd (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑦,𝜁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem zindd
StepHypRef Expression
1 znegcl 12456 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
2 elznn0nn 12434 . . . . . . 7 (-𝑦 ∈ ℤ ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
31, 2sylib 217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
4 simpr 485 . . . . . . 7 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ) → --𝑦 ∈ ℕ)
54orim2i 908 . . . . . 6 ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)) → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
7 zcn 12425 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
87negnegd 11424 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → --𝑦 = 𝑦)
98eleq1d 2821 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (--𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ ℕ))
109orbi2d 913 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ) ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ)))
116, 10mpbid 231 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ))
12 zindd.1 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
1312imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜓)))
14 zindd.2 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
1514imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜒)))
16 zindd.3 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜏))
1716imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜏)))
18 zindd.4 . . . . . . . 8 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜃))
1918imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑦 → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜃)))
20 zindd.6 . . . . . . 7 (𝜁𝜓)
21 zindd.7 . . . . . . . . 9 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒𝜏)))
2221com12 32 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → (𝜒𝜏)))
2322a2d 29 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜁𝜒) → (𝜁𝜏)))
2413, 15, 17, 19, 20, 23nn0ind 12516 . . . . . 6 (-𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁𝜃))
2524com12 32 . . . . 5 (𝜁 → (-𝑦 ∈ ℕ0𝜃))
2613, 15, 17, 15, 20, 23nn0ind 12516 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁𝜒))
27 nnnn0 12341 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
2826, 27syl11 33 . . . . . 6 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒))
29 zindd.8 . . . . . 6 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒𝜃)))
3028, 29mpdd 43 . . . . 5 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜃))
3125, 30jaod 856 . . . 4 (𝜁 → ((-𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → 𝜃))
3211, 31syl5 34 . . 3 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℤ → 𝜃))
3332ralrimiv 3138 . 2 (𝜁 → ∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃)
34 znegcl 12456 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
35 negeq 11314 . . . . . . . . 9 (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
36 zcn 12425 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3736negnegd 11424 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
3835, 37sylan9eqr 2798 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → -𝑦 = 𝑥)
3938eqcomd 2742 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
4039, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑𝜃))
4140bicomd 222 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜃𝜑))
4234, 41rspcdv 3562 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃𝜑))
4342com12 32 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝜑))
4443ralrimiv 3138 . 2 (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
45 zindd.5 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜂))
4645rspccv 3567 . 2 (∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
4733, 44, 463syl 18 1 (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  (class class class)co 7337  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975  -cneg 11307  cn 12074  0cn0 12334  cz 12420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421
This theorem is referenced by:  efexp  15909  pcexp  16657  mulgaddcom  18823  mulginvcom  18824  mulgneg2  18833  mulgass2  19935  cnfldmulg  20736  clmmulg  24370  xrsmulgzz  31574
  Copyright terms: Public domain W3C validator