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Theorem clwlkclwwlklem2 29687
Description: Lemma 2 for clwlkclwwlk 29689. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝐹

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2
StepHypRef Expression
1 f1fn 6788 . . . 4 (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐸 Fn dom 𝐸)
2 dffn3 6730 . . . 4 (𝐸 Fn dom 𝐸𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
31, 2sylib 217 . . 3 (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
4 lencl 14490 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5 ffn 6717 . . . . . . . . 9 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
6 fnfz0hash 14412 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
74, 5, 6syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
8 ffz0iswrd 14498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉𝑃 ∈ Word 𝑉)
9 lsw 14521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
109ad6antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
11 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
1211ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
13 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
14 nn0cn 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
15 1cnd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1614, 15pncand 11579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝐹) + 1) − 1) = (♯‘𝐹))
1716eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) = (((♯‘𝐹) + 1) − 1))
1817ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) = (((♯‘𝐹) + 1) − 1))
1918fveqeq2d 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2019biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2113, 20biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2221adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2322imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0))
2410, 12, 233eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0))
25 nn0z 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
26 peano2zm 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
28 nn0re 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
2928lem1d 12154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹))
30 eluz2 12835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐹) − 1)) ↔ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹)))
3127, 25, 29, 30syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐹) − 1)))
3231ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐹) − 1)))
33 fzoss2 13667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐹) − 1)) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
34 ssralv 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
38 wrdf 14476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
39 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
40 fzossrbm1 13668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
4125, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
4342sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
4439, 43ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)
4544exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
4638, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
4847imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸))
4948ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸))
5049imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)
5137, 50ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸)
52 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹𝑖)))
5352biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹𝑖)))
5453eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸))
5551, 54syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5655ralimdva 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5735, 56syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5958impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
60 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
62 2re 12293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 ∈ ℝ
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
64 1red 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
6563, 64, 28lesubaddd 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
66 2m1e1 12345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (2 − 1) = 1
6766breq1i 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 1 ≤ (♯‘𝐹))
68 elnnnn0c 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)))
6968simplbi2 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
7067, 69biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
7165, 70sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
7461, 73sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
7574imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
77 lbfzo0 13679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
7876, 77sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
79 fzoend 13730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
81 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
82 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)))
83 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)))
8482, 83preq12d 4745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))})
8581, 84eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
8685adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
8780, 86rspcdv 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
8814, 15npcand 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
8988ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
9089fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
9190preq2d 4744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))})
9291eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
9338ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
9471com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
9560, 94syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
9695com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
9796adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
9897imp31 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
9998, 77sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
10099, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
10193, 100ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
10336, 102ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸)
104 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
105104biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
106105eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸))
107103, 106syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
10892, 107sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
10987, 108syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
110109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
111110impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸)
112 preq2 4738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))})
113112eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
114113adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
115114adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
116111, 115mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
11724, 59, 1163jca 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
118117exp41 434 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
119118exp41 434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
1208, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
121120com13 88 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
1224, 121mpcom 38 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))))
123122imp 406 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
1247, 123mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
125124expcom 413 . . . . . 6 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
126125com14 96 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
127126imp 406 . . . 4 ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
128127impcomd 411 . . 3 ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
1293, 128sylan 579 . 2 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
1301293imp 1110 1 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
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This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
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This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem3  29688
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