clwlkclwwlklem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2 29687

Description: Lemma 2 for clwlkclwwlk 29689. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2	⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐸 𝑃,𝑖 𝑅,𝑖 𝑖,𝑉 𝑖,𝐹

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 6788	. . . 4 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸 Fn dom 𝐸)
2		dffn3 6730	. . . 4 ⊢ (𝐸 Fn dom 𝐸 ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
3	1, 2	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
4		lencl 14490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
5		ffn 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
6		fnfz0hash 14412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
7	4, 5, 6	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
8		ffz0iswrd 14498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
9		lsw 14521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
10	9	ad6antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
11		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
12	11	ad4antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
13		eqcom 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
14		nn0cn 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
15		1cnd 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℂ)
16	14, 15	pncand 11579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (((♯‘𝐹) + 1) − 1) = (♯‘𝐹))
17	16	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) = (((♯‘𝐹) + 1) − 1))
18	17	ad4antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) = (((♯‘𝐹) + 1) − 1))
19	18	fveqeq2d 6899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
20	19	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
21	13, 20	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
22	21	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
23	22	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0))
24	10, 12, 23	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0))
25		nn0z 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
26		peano2zm 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
28		nn0re 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
29	28	lem1d 12154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹))
30		eluz2 12835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐹) − 1)) ↔ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹)))
31	27, 25, 29, 30	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐹) − 1)))
32	31	ad4antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐹) − 1)))
33		fzoss2 13667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐹) − 1)) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
34		ssralv 4050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
38		wrdf 14476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
39		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
40		fzossrbm1 13668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
41	25, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
43	42	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
44	39, 43	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)
45	44	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)))
46	38, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)))
48	47	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸))
49	48	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸))
50	49	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)
51	37, 50	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ran 𝐸)
52		eqcom 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹‘𝑖)))
53	52	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹‘𝑖)))
54	53	eleq1d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ran 𝐸))
55	51, 54	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
56	55	ralimdva 3166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
57	35, 56	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
59	58	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
60		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
62		2re 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 2 ∈ ℝ
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
64		1red 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℝ)
65	63, 64, 28	lesubaddd 11818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
66		2m1e1 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (2 − 1) = 1
67	66	breq1i 5155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 1 ≤ (♯‘𝐹))
68		elnnnn0c 12524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)))
69	68	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
70	67, 69	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
71	65, 70	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
73	72	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
74	61, 73	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
75	74	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
77		lbfzo0 13679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
78	76, 77	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
79		fzoend 13730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
81		2fveq3 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
82		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)))
83		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)))
84	82, 83	preq12d 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))})
85	81, 84	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
87	80, 86	rspcdv 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
88	14, 15	npcand 11582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
89	88	ad4antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
90	89	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
91	90	preq2d 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))})
92	91	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
93	38	ad4antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
94	71	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
95	60, 94	syl6bi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
96	95	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
98	97	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
99	98, 77	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
100	99, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
101	93, 100	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
103	36, 102	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸)
104		eqcom 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
105	104	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
106	105	eleq1d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸))
107	103, 106	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
108	92, 107	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
109	87, 108	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
111	110	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸)
112		preq2 4738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))})
113	112	eleq1d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
114	113	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
116	111, 115	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
117	24, 59, 116	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
118	117	exp41 434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
119	118	exp41 434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
120	8, 119	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
121	120	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
122	4, 121	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))))
123	122	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
124	7, 123	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
125	124	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
126	125	com14 96	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
127	126	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
128	127	impcomd 411	. . 3 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
129	3, 128	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
130	129	3imp 1110	1 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2105 ∀wral 3060 ⊆ wss 3948 {cpr 4630 class class class wbr 5148 dom cdm 5676 ran crn 5677 Fn wfn 6538 ⟶wf 6539 –1-1→wf1 6540 ‘cfv 6543 (class class class)co 7412 ℝcr 11115 0cc0 11116 1c1 11117 + caddc 11119 ≤ cle 11256 − cmin 11451 ℕcn 12219 2c2 12274 ℕ₀cn0 12479 ℤcz 12565 ℤ_≥cuz 12829 ...cfz 13491 ..^cfzo 13634 ♯chash 14297 Word cword 14471 lastSclsw 14519

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-cnex 11172 ax-resscn 11173 ax-1cn 11174 ax-icn 11175 ax-addcl 11176 ax-addrcl 11177 ax-mulcl 11178 ax-mulrcl 11179 ax-mulcom 11180 ax-addass 11181 ax-mulass 11182 ax-distr 11183 ax-i2m1 11184 ax-1ne0 11185 ax-1rid 11186 ax-rnegex 11187 ax-rrecex 11188 ax-cnre 11189 ax-pre-lttri 11190 ax-pre-lttrn 11191 ax-pre-ltadd 11192 ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7860 df-1st 7979 df-2nd 7980 df-frecs 8272 df-wrecs 8303 df-recs 8377 df-rdg 8416 df-1o 8472 df-er 8709 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-fin 8949 df-card 9940 df-pnf 11257 df-mnf 11258 df-xr 11259 df-ltxr 11260 df-le 11261 df-sub 11453 df-neg 11454 df-nn 12220 df-2 12282 df-n0 12480 df-z 12566 df-uz 12830 df-fz 13492 df-fzo 13635 df-hash 14298 df-word 14472 df-lsw 14520

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem3 29688

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