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Theorem clwlkclwwlklem2 27227
Description: Lemma 2 for clwlkclwwlk 27229. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝐹

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2
StepHypRef Expression
1 f1fn 6284 . . . 4 (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐸 Fn dom 𝐸)
2 dffn3 6234 . . . 4 (𝐸 Fn dom 𝐸𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
31, 2sylib 209 . . 3 (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
4 lencl 13505 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5 ffn 6223 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
6 fnfz0hash 13431 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
74, 5, 6syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
8 ffz0iswrd 13513 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉𝑃 ∈ Word 𝑉)
9 lsw 13535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
109ad6antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
11 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
1211ad4antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
13 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
14 nn0cn 11549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
15 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1614, 15pncand 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝐹) + 1) − 1) = (♯‘𝐹))
1716eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) = (((♯‘𝐹) + 1) − 1))
1817ad4antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) = (((♯‘𝐹) + 1) − 1))
1918fveqeq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2019biimpd 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2113, 20syl5bi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2221adantld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2322imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0))
2410, 12, 233eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0))
25 nn0z 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
26 peano2zm 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
28 nn0re 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
2928lem1d 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹))
30 eluz2 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐹) − 1)) ↔ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹)))
3127, 25, 29, 30syl3anbrc 1443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐹) − 1)))
3231ad4antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐹) − 1)))
33 fzoss2 12704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐹) − 1)) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
34 ssralv 3826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
36 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
38 wrdf 13491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
39 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
40 fzossrbm1 12705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
4125, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
4241adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
4342sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
4439, 43ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)
4544exp31 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
4638, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
4746adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
4847imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸))
4948ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸))
5049imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)
5137, 50ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸)
52 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹𝑖)))
5352biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹𝑖)))
5453eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸))
5551, 54syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5655ralimdva 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5735, 56syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5857adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5958impcom 396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
60 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
6160adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
62 2re 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 ∈ ℝ
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
64 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
6563, 64, 28lesubaddd 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
66 2m1e1 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (2 − 1) = 1
6766breq1i 4816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 1 ≤ (♯‘𝐹))
68 elnnnn0c 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)))
6968simplbi2 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
7067, 69syl5bi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
7165, 70sylbird 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
7271adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
7372adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
7461, 73sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
7574imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
7675adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
77 lbfzo0 12716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
7876, 77sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
79 fzoend 12767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
81 2fveq3 6380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
82 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)))
83 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)))
8482, 83preq12d 4431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))})
8581, 84eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
8685adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
8780, 86rspcdv 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
8814, 15npcand 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
8988ad4antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
9089fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
9190preq2d 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))})
9291eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
9338ad4antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
9471com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
9560, 94syl6bi 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
9695com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
9796adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
9897imp31 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
9998, 77sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
10099, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
10193, 100ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
10336, 102ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸)
104 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
105104biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
106105eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸))
107103, 106syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
10892, 107sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
10987, 108syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
110109adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
111110impcom 396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸)
112 preq2 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))})
113112eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
114113adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
115114adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
116111, 115mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
11724, 59, 1163jca 1158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
118117exp41 425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
119118exp41 425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
1208, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
121120com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
1224, 121mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))))
123122imp 395 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
1247, 123mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
125124expcom 402 . . . . . . . 8 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
126125com14 96 . . . . . . 7 (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
127126imp 395 . . . . . 6 ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
128127com13 88 . . . . 5 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
129128imp 395 . . . 4 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
130129com12 32 . . 3 ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
1313, 130sylan 575 . 2 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
1321313imp 1137 1 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wss 3732  {cpr 4336   class class class wbr 4809  dom cdm 5277  ran crn 5278   Fn wfn 6063  wf 6064  1-1wf1 6065  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13486  lastSclsw 13533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13487  df-lsw 13534
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem3  27228  clwlksfclwwlkOLD  27337
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