clwlkclwwlklem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2 29986

Description: Lemma 2 for clwlkclwwlk 29988. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2	⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐸 𝑃,𝑖 𝑅,𝑖 𝑖,𝑉 𝑖,𝐹

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 6780	. . . 4 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸 Fn dom 𝐸)
2		dffn3 6723	. . . 4 ⊢ (𝐸 Fn dom 𝐸 ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
4		lencl 14556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
5		ffn 6711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
6		fnfz0hash 14469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
7	4, 5, 6	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
8		ffz0iswrd 14564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
9		lsw 14587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
10	9	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
11		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
12	11	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
13		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
14		nn0cn 12516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
15		1cnd 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℂ)
16	14, 15	pncand 11600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (((♯‘𝐹) + 1) − 1) = (♯‘𝐹))
17	16	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) = (((♯‘𝐹) + 1) − 1))
18	17	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) = (((♯‘𝐹) + 1) − 1))
19	18	fveqeq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
20	19	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
21	13, 20	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
22	21	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
23	22	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0))
24	10, 12, 23	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0))
25		nn0z 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
26		peano2zm 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
28		nn0re 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
29	28	lem1d 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹))
30		eluz2 12863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐹) − 1)) ↔ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹)))
31	27, 25, 29, 30	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐹) − 1)))
32	31	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐹) − 1)))
33		fzoss2 13709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐹) − 1)) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
34		ssralv 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
38		wrdf 14541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
39		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
40		fzossrbm1 13710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
41	25, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
43	42	sselda 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
44	39, 43	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)
45	44	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)))
46	38, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)))
48	47	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸))
49	48	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸))
50	49	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)
51	37, 50	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ran 𝐸)
52		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹‘𝑖)))
53	52	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹‘𝑖)))
54	53	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ran 𝐸))
55	51, 54	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
56	55	ralimdva 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
57	35, 56	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
59	58	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
60		breq2 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
62		2re 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 2 ∈ ℝ
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
64		1red 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℝ)
65	63, 64, 28	lesubaddd 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
66		2m1e1 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (2 − 1) = 1
67	66	breq1i 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 1 ≤ (♯‘𝐹))
68		elnnnn0c 12551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)))
69	68	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
70	67, 69	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
71	65, 70	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
73	72	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
74	61, 73	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
75	74	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
77		lbfzo0 13721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
78	76, 77	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
79		fzoend 13778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
81		2fveq3 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
82		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)))
83		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)))
84	82, 83	preq12d 4722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))})
85	81, 84	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
87	80, 86	rspcdv 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
88	14, 15	npcand 11603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
89	88	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
90	89	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
91	90	preq2d 4721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))})
92	91	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
93	38	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
94	71	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
95	60, 94	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
96	95	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
98	97	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
99	98, 77	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
100	99, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
101	93, 100	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
103	36, 102	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸)
104		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
105	104	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
106	105	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸))
107	103, 106	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
108	92, 107	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
109	87, 108	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
111	110	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸)
112		preq2 4715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))})
113	112	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
114	113	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
116	111, 115	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
117	24, 59, 116	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
118	117	exp41 434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
119	118	exp41 434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
120	8, 119	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
121	120	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
122	4, 121	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))))
123	122	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
124	7, 123	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
125	124	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
126	125	com14 96	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
127	126	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
128	127	impcomd 411	. . 3 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
129	3, 128	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
130	129	3imp 1110	1 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∀wral 3052 ⊆ wss 3931 {cpr 4608 class class class wbr 5124 dom cdm 5659 ran crn 5660 Fn wfn 6531 ⟶wf 6532 –1-1→wf1 6533 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℝcr 11133 0cc0 11134 1c1 11135 + caddc 11137 ≤ cle 11275 − cmin 11471 ℕcn 12245 2c2 12300 ℕ₀cn0 12506 ℤcz 12593 ℤ_≥cuz 12857 ...cfz 13529 ..^cfzo 13676 ♯chash 14353 Word cword 14536 lastSclsw 14585

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2708 ax-rep 5254 ax-sep 5271 ax-nul 5281 ax-pow 5340 ax-pr 5407 ax-un 7734 ax-cnex 11190 ax-resscn 11191 ax-1cn 11192 ax-icn 11193 ax-addcl 11194 ax-addrcl 11195 ax-mulcl 11196 ax-mulrcl 11197 ax-mulcom 11198 ax-addass 11199 ax-mulass 11200 ax-distr 11201 ax-i2m1 11202 ax-1ne0 11203 ax-1rid 11204 ax-rnegex 11205 ax-rrecex 11206 ax-cnre 11207 ax-pre-lttri 11208 ax-pre-lttrn 11209 ax-pre-ltadd 11210 ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2810 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-reu 3365 df-rab 3421 df-v 3466 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4889 df-int 4928 df-iun 4974 df-br 5125 df-opab 5187 df-mpt 5207 df-tr 5235 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6295 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7867 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-er 8724 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-fin 8968 df-card 9958 df-pnf 11276 df-mnf 11277 df-xr 11278 df-ltxr 11279 df-le 11280 df-sub 11473 df-neg 11474 df-nn 12246 df-2 12308 df-n0 12507 df-z 12594 df-uz 12858 df-fz 13530 df-fzo 13677 df-hash 14354 df-word 14537 df-lsw 14586

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem3 29987

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