clwlkclwwlklem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2 30388

Description: Lemma 2 for clwlkclwwlk 30390. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2	⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐸 𝑃,𝑖 𝑅,𝑖 𝑖,𝑉 𝑖,𝐹

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 6782	. . . 4 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸 Fn dom 𝐸)
2		dffn3 6725	. . . 4 ⊢ (𝐸 Fn dom 𝐸 ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
4		lencl 14590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
5		ffn 6712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
6		fnfz0hash 14503	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
7	4, 5, 6	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
8		ffz0iswrd 14598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
9		lsw 14621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
10	9	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
11		fvoveq1 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
12	11	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
13		eqcom 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
14		nn0cn 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
15		1cnd 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℂ)
16	14, 15	pncand 11588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (((♯‘𝐹) + 1) − 1) = (♯‘𝐹))
17	16	eqcomd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) = (((♯‘𝐹) + 1) − 1))
18	17	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) = (((♯‘𝐹) + 1) − 1))
19	18	fveqeq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
20	19	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
21	13, 20	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
22	21	adantld 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
23	22	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0))
24	10, 12, 23	3eqtrd 2805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0))
25		nn0z 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
26		peano2zm 12655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
28		nn0re 12531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
29	28	lem1d 12166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹))
30		eluz2 12886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐹) − 1)) ↔ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹)))
31	27, 25, 29, 30	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐹) − 1)))
32	31	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐹) − 1)))
33		fzoss2 13735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐹) − 1)) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
34		ssralv 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
35	32, 33, 34	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
36		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
38		wrdf 14575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
39		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
40		fzossrbm1 13736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
41	25, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
42	41	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
43	42	sselda 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
44	39, 43	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)
45	44	exp31 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)))
46	38, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)))
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)))
48	47	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸))
49	48	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸))
50	49	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐸)
51	37, 50	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ran 𝐸)
52		eqcom 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹‘𝑖)))
53	52	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹‘𝑖)))
54	53	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) ∈ ran 𝐸))
55	51, 54	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
56	55	ralimdva 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
57	35, 56	syldc 49	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
58	57	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
59	58	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
60		breq2 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
61	60	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
62		2re 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 2 ∈ ℝ
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
64		1red 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℝ)
65	63, 64, 28	lesubaddd 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1)))
66		2m1e1 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (2 − 1) = 1
67	66	breq1i 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 1 ≤ (♯‘𝐹))
68		elnnnn0c 12567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)))
69	68	simplbi2 506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
70	67, 69	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((2 − 1) ≤ (♯‘𝐹) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
71	65, 70	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
72	71	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
73	72	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
74	61, 73	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
75	74	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
76	75	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
77		lbfzo0 13747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
78	76, 77	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
79		fzoend 13805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
80	78, 79	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
81		2fveq3 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
82		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)))
83		fvoveq1 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)))
84	82, 83	preq12d 4712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))})
85	81, 84	eqeq12d 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
86	85	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
87	80, 86	rspcdv 3576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}))
88	14, 15	npcand 11591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
89	88	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
90	89	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
91	90	preq2d 4711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))})
92	91	eqeq2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
93	38	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
94	71	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (2 ≤ ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
95	60, 94	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
96	95	com3r 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
97	96	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)))
98	97	imp31 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
99	98, 77	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
100	99, 79	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
101	93, 100	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
102	101	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
103	36, 102	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸)
104		eqcom 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
105	104	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
106	105	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸))
107	103, 106	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
108	92, 107	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
109	87, 108	syldc 49	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
110	109	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
111	110	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸)
112		preq2 4705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))})
113	112	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
114	113	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
115	114	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(♯‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
116	111, 115	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
117	24, 59, 116	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
118	117	exp41 440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
119	118	exp41 440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
120	8, 119	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
121	120	com13 89	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
122	4, 121	mpcom 39	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))))
123	122	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → ((♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
124	7, 123	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
125	124	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
126	125	com14 97	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
127	126	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
128	127	impcomd 417	. . 3 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
129	3, 128	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
130	129	3imp 1128	1 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ∀wral 3082 ⊆ wss 3908 {cpr 4596 class class class wbr 5114 dom cdm 5666 ran crn 5667 Fn wfn 6538 ⟶wf 6539 –1-1→wf1 6540 ‘cfv 6543 (class class class)co 7423 ℝcr 11117 0cc0 11118 1c1 11119 + caddc 11121 ≤ cle 11262 − cmin 11459 ℕcn 12251 2c2 12313 ℕ₀cn0 12522 ℤcz 12609 ℤ_≥cuz 12880 ...cfz 13553 ..^cfzo 13701 ♯chash 14386 Word cword 14570 lastSclsw 14619

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2738 ax-rep 5243 ax-sep 5262 ax-nul 5274 ax-pow 5341 ax-pr 5409 ax-un 7745 ax-cnex 11174 ax-resscn 11175 ax-1cn 11176 ax-icn 11177 ax-addcl 11178 ax-addrcl 11179 ax-mulcl 11180 ax-mulrcl 11181 ax-mulcom 11182 ax-addass 11183 ax-mulass 11184 ax-distr 11185 ax-i2m1 11186 ax-1ne0 11187 ax-1rid 11188 ax-rnegex 11189 ax-rrecex 11190 ax-cnre 11191 ax-pre-lttri 11192 ax-pre-lttrn 11193 ax-pre-ltadd 11194 ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2570 df-eu 2600 df-clab 2745 df-cleq 2758 df-clel 2841 df-nfc 2915 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3083 df-rex 3093 df-reu 3373 df-rab 3420 df-v 3460 df-sbc 3748 df-csb 3857 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3928 df-nul 4290 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4878 df-int 4918 df-iun 4963 df-br 5115 df-opab 5179 df-mpt 5198 df-tr 5224 df-id 5561 df-eprel 5566 df-po 5574 df-so 5575 df-fr 5619 df-we 5621 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6309 df-ord 6370 df-on 6371 df-lim 6372 df-suc 6373 df-iota 6499 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7380 df-ov 7426 df-oprab 7427 df-mpo 7428 df-om 7872 df-1st 7995 df-2nd 7996 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-er 8703 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-fin 8956 df-card 9944 df-pnf 11263 df-mnf 11264 df-xr 11265 df-ltxr 11266 df-le 11267 df-sub 11461 df-neg 11462 df-nn 12252 df-2 12321 df-n0 12523 df-z 12610 df-uz 12881 df-fz 13554 df-fzo 13702 df-hash 14387 df-word 14571 df-lsw 14620

This theorem is used by: clwlkclwwlklem3 30389

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