Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | simpl 482 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) | 
| 2 |  | f1f1orn 6859 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran
𝐸) | 
| 3 | 2 | 3ad2ant1 1134 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran
𝐸) | 
| 4 | 3 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran
𝐸) | 
| 5 | 4 | ad2antrl 728 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran
𝐸) | 
| 6 |  | elfzo0 13740 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)) ↔ (𝑥
∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1))) | 
| 7 |  | lencl 14571 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈
ℕ0) | 
| 8 |  | simpl 482 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0) | 
| 9 | 8 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤
(♯‘𝑃))) →
𝑥 ∈
ℕ0) | 
| 10 |  | elnn0z 12626 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ ℕ0
↔ (𝑥 ∈ ℤ
∧ 0 ≤ 𝑥)) | 
| 11 |  | 0red 11264 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝑃) ∈
ℕ0) → 0 ∈ ℝ) | 
| 12 |  | zre 12617 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈
ℝ) | 
| 13 | 12 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝑃) ∈
ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 14 |  | nn0re 12535 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ) | 
| 15 |  | 2re 12340 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ 2 ∈
ℝ | 
| 16 | 15 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ) | 
| 17 | 14, 16 | resubcld 11691 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈
ℝ) | 
| 18 | 17 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝑃) ∈
ℕ0) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈
ℝ) | 
| 19 |  | lelttr 11351 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 𝑥
∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → ((0 ≤
𝑥 ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → 0 <
((♯‘𝑃) −
2))) | 
| 20 | 11, 13, 18, 19 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝑃) ∈
ℕ0) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → 0 <
((♯‘𝑃) −
2))) | 
| 21 |  | nn0z 12638 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ) | 
| 22 |  | 2z 12649 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢ 2 ∈
ℤ | 
| 23 | 22 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ) | 
| 24 | 21, 23 | zsubcld 12727 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈
ℤ) | 
| 25 | 24 | anim1i 615 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢
(((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ
∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2))) | 
| 26 |  | elnnz 12623 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢
(((♯‘𝑃)
− 2) ∈ ℕ ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 <
((♯‘𝑃) −
2))) | 
| 27 | 25, 26 | sylibr 234 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢
(((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈
ℕ) | 
| 28 |  | nn0cn 12536 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ) | 
| 29 |  | peano2cnm 11575 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℂ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈
ℂ) | 
| 30 | 28, 29 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈
ℂ) | 
| 31 | 30 | subid1d 11609 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) =
((♯‘𝑃) −
1)) | 
| 32 | 31 | oveq1d 7446 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) =
(((♯‘𝑃) −
1) − 1)) | 
| 33 |  | 1cnd 11256 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ) | 
| 34 | 28, 33, 33 | subsub4d 11651 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) =
((♯‘𝑃) −
(1 + 1))) | 
| 35 |  | 1p1e2 12391 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
⊢ (1 + 1) =
2 | 
| 36 | 35 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2) | 
| 37 | 36 | oveq2d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − (1 + 1)) = ((♯‘𝑃) − 2)) | 
| 38 | 34, 37 | eqtrd 2777 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) =
((♯‘𝑃) −
2)) | 
| 39 | 32, 38 | eqtrd 2777 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) =
((♯‘𝑃) −
2)) | 
| 40 | 39 | eleq1d 2826 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → (((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈
ℕ ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ∈
ℕ)) | 
| 41 | 40 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢
(((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) →
(((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ∈
ℕ)) | 
| 42 | 27, 41 | mpbird 257 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢
(((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1) ∈ ℕ) | 
| 43 | 42 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → (0 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1) ∈ ℕ)) | 
| 44 | 43 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝑃) ∈
ℕ0) → (0 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1) ∈ ℕ)) | 
| 45 | 20, 44 | syld 47 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝑃) ∈
ℕ0) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1) ∈ ℕ)) | 
| 46 | 45 | exp4b 430 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ ℤ →
((♯‘𝑃) ∈
ℕ0 → (0 ≤ 𝑥 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1) ∈ ℕ)))) | 
| 47 | 46 | com23 86 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 ≤
𝑥 →
((♯‘𝑃) ∈
ℕ0 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1) ∈ ℕ)))) | 
| 48 | 47 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤
𝑥) →
((♯‘𝑃) ∈
ℕ0 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1) ∈ ℕ))) | 
| 49 | 10, 48 | sylbi 217 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ ℕ0
→ ((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1) ∈ ℕ))) | 
| 50 | 49 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1) ∈ ℕ)) | 
| 51 | 50 | com12 32 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈
ℕ)) | 
| 52 | 51 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤
(♯‘𝑃)) →
((𝑥 ∈
ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) →
((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)) | 
| 53 | 52 | impcom 407 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤
(♯‘𝑃))) →
((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1) ∈ ℕ) | 
| 54 |  | df-2 12329 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ 2 = (1 +
1) | 
| 55 | 54 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → 2 = (1 + 1)) | 
| 56 | 55 | oveq2d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = ((♯‘𝑃) − (1 +
1))) | 
| 57 | 31 | eqcomd 2743 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) −
0)) | 
| 58 | 57 | oveq1d 7446 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) =
((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)) | 
| 59 | 56, 34, 58 | 3eqtr2d 2783 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)) | 
| 60 | 59 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → ((♯‘𝑃) − 2) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)) | 
| 61 | 60 | breq2d 5155 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1))) | 
| 62 | 61 | biimpcd 249 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1))) | 
| 63 | 62 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤
(♯‘𝑃)) →
((𝑥 ∈
ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1))) | 
| 64 | 63 | impcom 407 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤
(♯‘𝑃))) →
𝑥 <
((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)) | 
| 65 |  | elfzo0 13740 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧
((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1))) | 
| 66 | 9, 53, 64, 65 | syl3anbrc 1344 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤
(♯‘𝑃))) →
𝑥 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1))) | 
| 67 | 66 | exp32 420 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (2 ≤
(♯‘𝑃) →
𝑥 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1))))) | 
| 68 | 67 | a1d 25 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (2 ≤
(♯‘𝑃) →
𝑥 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)))))) | 
| 69 | 68 | com24 95 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)))))) | 
| 70 | 69 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑥 ∈ ℕ0
→ ((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1))))))) | 
| 71 | 70 | com25 99 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 ∈ ℕ0
→ (𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0
→ 𝑥 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1))))))) | 
| 72 | 71 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0
→ 𝑥 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)))))) | 
| 73 | 72 | 3adant2 1132 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ ((♯‘𝑃)
− 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (2 ≤
(♯‘𝑃) →
(𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)))))) | 
| 74 | 73 | com14 96 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧
((♯‘𝑃) −
1) ∈ ℕ ∧ 𝑥
< ((♯‘𝑃)
− 1)) → 𝑥 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)))))) | 
| 75 | 7, 74 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧
((♯‘𝑃) −
1) ∈ ℕ ∧ 𝑥
< ((♯‘𝑃)
− 1)) → 𝑥 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)))))) | 
| 76 | 75 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧
((♯‘𝑃) −
1) ∈ ℕ ∧ 𝑥
< ((♯‘𝑃)
− 1)) → 𝑥 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1))))) | 
| 77 | 76 | 3adant1 1131 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧
((♯‘𝑃) −
1) ∈ ℕ ∧ 𝑥
< ((♯‘𝑃)
− 1)) → 𝑥 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1))))) | 
| 78 | 6, 77 | syl7bi 255 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1))))) | 
| 79 | 78 | com13 88 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)) → (𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1))))) | 
| 80 | 79 | imp31 417 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)) ∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1))) | 
| 81 |  | fveq2 6906 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑥)) | 
| 82 |  | fvoveq1 7454 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑥 + 1))) | 
| 83 | 81, 82 | preq12d 4741 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑖 = 𝑥 → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) | 
| 84 | 83 | eleq1d 2826 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 = 𝑥 → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) | 
| 85 | 84 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)) ∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) ∧ 𝑖 = 𝑥) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) | 
| 86 | 80, 85 | rspcdv 3614 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)) ∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → (∀𝑖 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) | 
| 87 | 86 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)) ∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))) | 
| 88 | 87 | com13 88 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(∀𝑖 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))) | 
| 89 | 88 | ad2antrl 728 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((lastS‘𝑃) =
(𝑃‘0) ∧
(∀𝑖 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))) | 
| 90 | 89 | impcom 407 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) | 
| 91 | 90 | expdimp 452 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) | 
| 92 | 91 | impcom 407 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) | 
| 93 |  | f1ocnvdm 7305 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran
𝐸 ∧ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) | 
| 94 | 5, 92, 93 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) | 
| 95 | 1, 94 | jca 511 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)) | 
| 96 | 95 | orcd 874 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸))) | 
| 97 |  | simpl 482 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2)) | 
| 98 | 4 | ad2antrl 728 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran
𝐸) | 
| 99 |  | nn0z 12638 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ ℕ0
→ 𝑥 ∈
ℤ) | 
| 100 |  | peano2zm 12660 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈
ℤ) | 
| 101 | 21, 100 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈
ℤ) | 
| 102 | 99, 101 | anim12i 613 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈
ℤ)) | 
| 103 |  | zltlem1 12670 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧
((♯‘𝑃) −
1) ∈ ℤ) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1))) | 
| 104 | 102, 103 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1))) | 
| 105 | 38 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) =
((♯‘𝑃) −
2)) | 
| 106 | 105 | breq2d 5155 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))) | 
| 107 | 106 | biimpd 229 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1) → 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))) | 
| 108 | 104, 107 | sylbid 240 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))) | 
| 109 | 108 | impancom 451 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))) | 
| 110 | 109 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1)) ∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) | 
| 111 |  | nn0re 12535 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ ℕ0
→ 𝑥 ∈
ℝ) | 
| 112 | 111 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1)) → 𝑥 ∈
ℝ) | 
| 113 | 112, 17 | anim12i 613 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1)) ∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈
ℝ)) | 
| 114 |  | lenlt 11339 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧
((♯‘𝑃) −
2) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ¬
((♯‘𝑃) −
2) < 𝑥)) | 
| 115 | 113, 114 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1)) ∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ¬
((♯‘𝑃) −
2) < 𝑥)) | 
| 116 | 110, 115 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1)) ∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥) | 
| 117 | 116 | anim1i 615 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1)) ∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (¬
((♯‘𝑃) −
2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))) | 
| 118 | 113 | ancomd 461 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1)) ∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈
ℝ)) | 
| 119 | 118 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1)) ∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ
∧ 𝑥 ∈
ℝ)) | 
| 120 |  | lttri3 11344 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
((((♯‘𝑃)
− 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((♯‘𝑃) −
2) = 𝑥 ↔ (¬
((♯‘𝑃) −
2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))) | 
| 121 | 119, 120 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1)) ∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥 ↔ (¬
((♯‘𝑃) −
2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))) | 
| 122 | 117, 121 | mpbird 257 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1)) ∧ (♯‘𝑃)
∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥) | 
| 123 | 122 | exp31 419 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥))) | 
| 124 | 123 | com23 86 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
1)) → (¬ 𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 →
((♯‘𝑃) −
2) = 𝑥))) | 
| 125 | 124 | 3adant2 1132 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ ((♯‘𝑃)
− 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) →
((♯‘𝑃) ∈
ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥))) | 
| 126 | 6, 125 | sylbi 217 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)) → (¬ 𝑥
< ((♯‘𝑃)
− 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 →
((♯‘𝑃) −
2) = 𝑥))) | 
| 127 | 126 | impcom 407 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) ∧ 𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1))) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 →
((♯‘𝑃) −
2) = 𝑥)) | 
| 128 | 7, 127 | syl5com 31 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) →
((♯‘𝑃) −
2) = 𝑥)) | 
| 129 | 128 | 3ad2ant2 1135 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1))) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)) | 
| 130 | 129 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)))) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥) | 
| 131 | 130 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)))) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)) = (𝑃‘𝑥)) | 
| 132 | 131 | preq1d 4739 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)))) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) | 
| 133 | 132 | eleq1d 2826 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)))) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) | 
| 134 | 133 | biimpd 229 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)))) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) | 
| 135 | 134 | exp32 420 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))) | 
| 136 | 135 | com12 32 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))) | 
| 137 | 136 | com14 96 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))) | 
| 138 | 137 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((∀𝑖 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))) | 
| 139 | 138 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((lastS‘𝑃) =
(𝑃‘0) ∧
(∀𝑖 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))) | 
| 140 | 139 | com12 32 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))) | 
| 141 | 140 | imp31 417 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) | 
| 142 | 141 | impcom 407 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) | 
| 143 |  | f1ocnvdm 7305 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran
𝐸 ∧ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸) | 
| 144 | 98, 142, 143 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸) | 
| 145 | 97, 144 | jca 511 | . . . . . . . . 9
⊢ ((¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) ∧ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)) | 
| 146 | 145 | olcd 875 | . . . . . . . 8
⊢ ((¬
𝑥 <
((♯‘𝑃) −
2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸))) | 
| 147 | 96, 146 | pm2.61ian 812 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸))) | 
| 148 |  | ifel 4570 | . . . . . . 7
⊢ (if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ dom 𝐸 ↔ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸))) | 
| 149 | 147, 148 | sylibr 234 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ dom 𝐸) | 
| 150 |  | clwlkclwwlklem2.f | . . . . . 6
⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) | 
| 151 | 149, 150 | fmptd 7134 | . . . . 5
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐹:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸) | 
| 152 |  | iswrdi 14556 | . . . . 5
⊢ (𝐹:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) | 
| 153 | 151, 152 | syl 17 | . . . 4
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸) | 
| 154 |  | wrdf 14557 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉) | 
| 155 | 154 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉) | 
| 156 | 150 | clwlkclwwlklem2a2 30012 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) | 
| 157 |  | fzoval 13700 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((♯‘𝑃)
∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1))) | 
| 158 | 7, 21, 157 | 3syl 18 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1))) | 
| 159 |  | oveq2 7439 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((♯‘𝑃)
− 1) = (♯‘𝐹) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) =
(0...(♯‘𝐹))) | 
| 160 | 159 | eqcoms 2745 | . . . . . . . . . 10
⊢
((♯‘𝐹) =
((♯‘𝑃) −
1) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) = (0...(♯‘𝐹))) | 
| 161 | 158, 160 | sylan9eq 2797 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) →
(0..^(♯‘𝑃)) =
(0...(♯‘𝐹))) | 
| 162 | 156, 161 | syldan 591 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) →
(0..^(♯‘𝑃)) =
(0...(♯‘𝐹))) | 
| 163 | 162 | feq2d 6722 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉 ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)) | 
| 164 | 155, 163 | mpbid 232 | . . . . . 6
⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) | 
| 165 | 164 | 3adant1 1131 | . . . . 5
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) | 
| 166 | 165 | adantr 480 | . . . 4
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) | 
| 167 |  | clwlkclwwlklem2a1 30011 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)) | 
| 168 | 167 | 3adant1 1131 | . . . . . 6
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)) | 
| 169 | 168 | imp 406 | . . . . 5
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) | 
| 170 | 156 | 3adant1 1131 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) | 
| 171 | 170 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) | 
| 172 | 150 | clwlkclwwlklem2a4 30016 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))) | 
| 173 | 172 | impl 455 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) | 
| 174 | 173 | ralimdva 3167 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) | 
| 175 |  | oveq2 7439 | . . . . . . . . . 10
⊢
((♯‘𝐹) =
((♯‘𝑃) −
1) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝑃) − 1))) | 
| 176 | 175 | raleqdv 3326 | . . . . . . . . 9
⊢
((♯‘𝐹) =
((♯‘𝑃) −
1) → (∀𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) | 
| 177 | 176 | imbi2d 340 | . . . . . . . 8
⊢
((♯‘𝐹) =
((♯‘𝑃) −
1) → ((∀𝑖
∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))) | 
| 178 | 174, 177 | imbitrrid 246 | . . . . . . 7
⊢
((♯‘𝐹) =
((♯‘𝑃) −
1) → (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))) | 
| 179 | 171, 178 | mpcom 38 | . . . . . 6
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈
(0..^((♯‘𝑃)
− 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) | 
| 180 | 179 | adantrr 717 | . . . . 5
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) | 
| 181 | 169, 180 | mpd 15 | . . . 4
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) | 
| 182 | 153, 166,
181 | 3jca 1129 | . . 3
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) | 
| 183 | 150 | clwlkclwwlklem2a3 30013 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃)) | 
| 184 | 183 | 3adant1 1131 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃)) | 
| 185 | 184 | eqcomd 2743 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) | 
| 186 | 185 | eqeq2d 2748 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃‘0) = (lastS‘𝑃) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) | 
| 187 | 186 | biimpcd 249 | . . . . . 6
⊢ ((𝑃‘0) = (lastS‘𝑃) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) | 
| 188 | 187 | eqcoms 2745 | . . . . 5
⊢
((lastS‘𝑃) =
(𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) | 
| 189 | 188 | adantr 480 | . . . 4
⊢
(((lastS‘𝑃) =
(𝑃‘0) ∧
(∀𝑖 ∈
(0..^((((♯‘𝑃)
− 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) | 
| 190 | 189 | impcom 407 | . . 3
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) | 
| 191 | 182, 190 | jca 511 | . 2
⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))) | 
| 192 | 191 | ex 412 | 1
⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) −
1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))) |