clwlkclwwlklem2a - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2a 29984

Description: Lemma for clwlkclwwlklem2 29986. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2a	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑃 𝑥,𝐸 𝑥,𝑉 𝑖,𝐸 𝑖,𝐹 𝑃,𝑖 𝑅,𝑖,𝑥 𝑖,𝑉 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑥)

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
2		f1f1orn 6834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
4	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
5	4	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
6		elfzo0 13722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)))
7		lencl 14556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀)
8		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 ∈ ℕ₀)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → 𝑥 ∈ ℕ₀)
10		elnn0z 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
11		0red 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 0 ∈ ℝ)
12		zre 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		nn0re 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
15		2re 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
17	14, 16	resubcld 11670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
19		lelttr 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
20	11, 13, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
21		nn0z 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
22		2z 12629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ 2 ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℤ)
24	21, 23	zsubcld 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
25	24	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
26		elnnz 12603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
27	25, 26	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
28		nn0cn 12516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
29		peano2cnm 11554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
31	30	subid1d 11588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = ((♯‘𝑃) − 1))
32	31	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
33		1cnd 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℂ)
34	28, 33, 33	subsub4d 11630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − (1 + 1)))
35		1p1e2 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (1 + 1) = 2
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (1 + 1) = 2)
37	36	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − (1 + 1)) = ((♯‘𝑃) − 2))
38	34, 37	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
39	32, 38	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
40	39	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ))
42	27, 41	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)
43	42	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (0 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (0 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
45	20, 44	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
46	45	exp4b 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (0 ≤ 𝑥 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))))
47	46	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑥 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))))
48	47	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)))
49	10, 48	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)))
50	49	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
51	50	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
53	52	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)
54		df-2 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ 2 = (1 + 1)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 = (1 + 1))
56	55	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 2) = ((♯‘𝑃) − (1 + 1)))
57	31	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
58	57	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
59	56, 34, 58	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 2) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝑃) − 2) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
61	60	breq2d 5136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
62	61	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
64	63	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
65		elfzo0 13722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
66	9, 53, 64, 65	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
67	66	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
68	67	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
69	68	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
70	69	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))))
71	70	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))))
72	71	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
73	72	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
74	73	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
75	7, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
76	75	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
77	76	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
78	6, 77	syl7bi 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
79	78	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
80	79	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
81		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑥))
82		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑥 + 1)))
83	81, 82	preq12d 4722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
84	83	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
85	84	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) ∧ 𝑖 = 𝑥) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
86	80, 85	rspcdv 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
87	86	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
88	87	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
89	88	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
90	89	impcom 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
91	90	expdimp 452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
92	91	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)
93		f1ocnvdm 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
94	5, 92, 93	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
95	1, 94	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸))
96	95	orcd 873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
97		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
98	4	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
99		nn0z 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ ℤ)
100		peano2zm 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
101	21, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
102	99, 101	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ))
103		zltlem1 12650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
105	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
106	105	breq2d 5136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
107	106	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1) → 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
108	104, 107	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
109	108	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
110	109	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))
111		nn0re 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ ℝ)
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
113	112, 17	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ))
114		lenlt 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥))
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥))
116	110, 115	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥)
117	116	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))
118	113	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
120		lttri3 11323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥 ↔ (¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥 ↔ (¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
122	117, 121	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)
123	122	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
124	123	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
125	124	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
126	6, 125	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
127	126	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥))
128	7, 127	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥))
129	128	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥))
130	129	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)
131	130	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)) = (𝑃‘𝑥))
132	131	preq1d 4720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})
133	132	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
134	133	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
135	134	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
136	135	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
137	136	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
138	137	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
139	138	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
140	139	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
141	140	imp31 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
142	141	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
143		f1ocnvdm 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)
144	98, 142, 143	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)
145	97, 144	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸))
146	145	olcd 874	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
147	96, 146	pm2.61ian 811	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
148		ifel 4550	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ dom 𝐸 ↔ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
149	147, 148	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ dom 𝐸)
150		clwlkclwwlklem2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
151	149, 150	fmptd 7109	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐹:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸)
152		iswrdi 14540	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
153	151, 152	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
154		wrdf 14541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉)
155	154	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉)
156	150	clwlkclwwlklem2a2 29979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
157		fzoval 13682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
158	7, 21, 157	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
159		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) − 1) = (♯‘𝐹) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
160	159	eqcoms 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
161	158, 160	sylan9eq 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
162	156, 161	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
163	162	feq2d 6697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉 ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
164	155, 163	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
165	164	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
166	165	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
167		clwlkclwwlklem2a1 29978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
168	167	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
169	168	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
170	156	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
171	170	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
172	150	clwlkclwwlklem2a4 29983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
173	172	impl 455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
174	173	ralimdva 3153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
175		oveq2 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
176	175	raleqdv 3309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
177	176	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
178	174, 177	imbitrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
179	171, 178	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
180	179	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
181	169, 180	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
182	153, 166, 181	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
183	150	clwlkclwwlklem2a3 29980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
184	183	3adant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
185	184	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
186	185	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃‘0) = (lastS‘𝑃) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
187	186	biimpcd 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘0) = (lastS‘𝑃) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
188	187	eqcoms 2744	. . . . 5 ⊢ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
189	188	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
190	189	impcom 407	. . 3 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
191	182, 190	jca 511	. 2 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
192	191	ex 412	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∀wral 3052 ifcif 4505 {cpr 4608 class class class wbr 5124 ↦ cmpt 5206 ^◡ccnv 5658 dom cdm 5659 ran crn 5660 ⟶wf 6532 –1-1→wf1 6533 –1-1-onto→wf1o 6535 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℂcc 11132 ℝcr 11133 0cc0 11134 1c1 11135 + caddc 11137 < clt 11274 ≤ cle 11275 − cmin 11471 ℕcn 12245 2c2 12300 ℕ₀cn0 12506 ℤcz 12593 ...cfz 13529 ..^cfzo 13676 ♯chash 14353 Word cword 14536 lastSclsw 14585

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2708 ax-rep 5254 ax-sep 5271 ax-nul 5281 ax-pow 5340 ax-pr 5407 ax-un 7734 ax-cnex 11190 ax-resscn 11191 ax-1cn 11192 ax-icn 11193 ax-addcl 11194 ax-addrcl 11195 ax-mulcl 11196 ax-mulrcl 11197 ax-mulcom 11198 ax-addass 11199 ax-mulass 11200 ax-distr 11201 ax-i2m1 11202 ax-1ne0 11203 ax-1rid 11204 ax-rnegex 11205 ax-rrecex 11206 ax-cnre 11207 ax-pre-lttri 11208 ax-pre-lttrn 11209 ax-pre-ltadd 11210 ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2810 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-reu 3365 df-rab 3421 df-v 3466 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4889 df-int 4928 df-iun 4974 df-br 5125 df-opab 5187 df-mpt 5207 df-tr 5235 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6295 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7867 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-er 8724 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-fin 8968 df-card 9958 df-pnf 11276 df-mnf 11277 df-xr 11278 df-ltxr 11279 df-le 11280 df-sub 11473 df-neg 11474 df-nn 12246 df-2 12308 df-n0 12507 df-z 12594 df-uz 12858 df-fz 13530 df-fzo 13677 df-hash 14354 df-word 14537 df-lsw 14586

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem1 29985

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