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Theorem clwlkclwwlklem2a 27147
Description: Lemma for clwlkclwwlklem2 27149. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2a ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉   𝑖,𝐸   𝑖,𝐹   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖,𝑥   𝑖,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
2 f1f1orn 6290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
323ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
43adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
54ad2antrl 707 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
6 elfzo0 12716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)))
7 lencl 13519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
8 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
98adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
10 elnn0z 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
11 0red 10246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
12 zre 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
1312adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 nn0re 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
15 2re 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
1714, 16resubcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
1817adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
19 lelttr 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑥𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
2011, 13, 18, 19syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑥𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
21 nn0z 11606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
22 2z 11615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2 ∈ ℤ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
2421, 23zsubcld 11693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
2524anim1i 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
26 elnnz 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
2725, 26sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
28 nn0cn 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
29 peano2cnm 10552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
3130subid1d 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = ((♯‘𝑃) − 1))
3231oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
33 1cnd 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3428, 33, 33subsub4d 10628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − (1 + 1)))
35 1p1e2 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (1 + 1) = 2
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
3736oveq2d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − (1 + 1)) = ((♯‘𝑃) − 2))
3834, 37eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
3932, 38eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
4039eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ))
4140adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ))
4227, 41mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)
4342ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
4443adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (0 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
4520, 44syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑥𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
4645exp4b 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑥 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))))
4746com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑥 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))))
4847imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)))
4910, 48sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)))
5049imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
5150com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
5251adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
5352impcom 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)
54 df-2 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 = (1 + 1)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 = (1 + 1))
5655oveq2d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = ((♯‘𝑃) − (1 + 1)))
5731eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
5857oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
5956, 34, 583eqtr2d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
6059adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑃) − 2) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
6160breq2d 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
6261biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
6362adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
6463impcom 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
65 elfzo0 12716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
669, 53, 64, 65syl3anbrc 1428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
6766exp32 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
6867a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
6968com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
7069ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))))
7170com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))))
7271imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
73723adant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
7473com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
757, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
7675imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
77763adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
786, 77syl7bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
7978com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
8079imp31 404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
81 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑥 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑥))
82 fvoveq1 6818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑥 + 1)))
8381, 82preq12d 4413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑥 → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
8483eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑥 → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8584adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) ∧ 𝑖 = 𝑥) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8680, 85rspcdv 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8786ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8887com13 88 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8988ad2antrl 707 . . . . . . . . . . . . . 14 (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
9089impcom 394 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9190expdimp 440 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9291impcom 394 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)
93 f1ocnvdm 6685 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
945, 92, 93syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
951, 94jca 501 . . . . . . . . 9 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸))
9695orcd 862 . . . . . . . 8 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
97 simpl 468 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
984ad2antrl 707 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
99 nn0z 11606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
100 peano2zm 11626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
10121, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
10299, 101anim12i 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ))
103 zltlem1 11636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
10538adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
106105breq2d 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
107106biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1) → 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
108104, 107sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
109108impancom 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
110109imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))
111 nn0re 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
112111adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
113112, 17anim12i 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ))
114 lenlt 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥))
116110, 115mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥)
117116anim1i 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))
118113ancomd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
119118adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
120 lttri3 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥 ↔ (¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥 ↔ (¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
122117, 121mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)
123122exp31 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
124123com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
1251243adant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
1266, 125sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
127126impcom 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥))
1287, 127syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥))
1291283ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥))
130129imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)
131130fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)) = (𝑃𝑥))
132131preq1d 4411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})
133132eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
134133biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
135134exp32 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
136135com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
137136com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
138137adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
139138adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
140139com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
141140imp31 404 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
142141impcom 394 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
143 f1ocnvdm 6685 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)
14498, 142, 143syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)
14597, 144jca 501 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸))
146145olcd 863 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
14796, 146pm2.61ian 813 . . . . . . 7 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
148 ifel 4269 . . . . . . 7 (if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ dom 𝐸 ↔ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
149147, 148sylibr 224 . . . . . 6 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ dom 𝐸)
150 clwlkclwwlklem2.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
151149, 150fmptd 6529 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐹:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸)
152 iswrdi 13504 . . . . 5 (𝐹:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
153151, 152syl 17 . . . 4 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
154 wrdf 13505 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉)
155154adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉)
156150clwlkclwwlklem2a2 27142 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
157 fzoval 12678 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
1587, 21, 1573syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
159 oveq2 6803 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑃) − 1) = (♯‘𝐹) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
160159eqcoms 2779 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
161158, 160sylan9eq 2825 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
162156, 161syldan 579 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
163162feq2d 6170 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
164155, 163mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
1651643adant1 1124 . . . . 5 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
166165adantr 466 . . . 4 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
167 clwlkclwwlklem2a1 27141 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1681673adant1 1124 . . . . . 6 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
169168imp 393 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
1701563adant1 1124 . . . . . . . 8 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
171170adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
172150clwlkclwwlklem2a4 27146 . . . . . . . . . 10 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
173172impl 443 . . . . . . . . 9 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
174173ralimdva 3111 . . . . . . . 8 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
175 oveq2 6803 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
176175raleqdv 3293 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
177176imbi2d 329 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
178174, 177syl5ibr 236 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
179171, 178mpcom 38 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
180179adantrr 696 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
181169, 180mpd 15 . . . 4 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
182153, 166, 1813jca 1122 . . 3 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
183150clwlkclwwlklem2a3 27143 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
1841833adant1 1124 . . . . . . . . 9 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
185184eqcomd 2777 . . . . . . . 8 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
186185eqeq2d 2781 . . . . . . 7 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃‘0) = (lastS‘𝑃) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
187186biimpcd 239 . . . . . 6 ((𝑃‘0) = (lastS‘𝑃) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
188187eqcoms 2779 . . . . 5 ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
189188adantr 466 . . . 4 (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
190189impcom 394 . . 3 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
191182, 190jca 501 . 2 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
192191ex 397 1 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  ifcif 4226  {cpr 4319   class class class wbr 4787  cmpt 4864  ccnv 5249  dom cdm 5250  ran crn 5251  wf 6026  1-1wf1 6027  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  (class class class)co 6795  cc 10139  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   + caddc 10144   < clt 10279  cle 10280  cmin 10471  cn 11225  2c2 11275  0cn0 11498  cz 11583  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672  chash 13320  Word cword 13486  lastSclsw 13487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218
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This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem1  27148
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