Theorem evengpoap3 48302

Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 10 is the sum of an odd Goldbach number and 3. (Contributed by AV, 27-Jul-2020.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evengpoap3	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑜,𝑁

Proof of Theorem evengpoap3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3odd 48211	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ Odd
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 3 ∈ Odd )
3	2	anim1i 622	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
4	3	ancomd 463	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
5		emoo 48207	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
7		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (7 < 𝑚 ↔ 7 < (𝑁 − 3)))
8		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (𝑚 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ))
9	7, 8	imbi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → ((7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
10	9	adantl 483	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ 𝑚 = (𝑁 − 3)) → ((7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
11	6, 10	rspcdv 3553	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
12		eluz2 12789	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ↔ (;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁))
13		7p3e10 12714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 3) = ;10
14		1nn0 12448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		0nn0 12447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		2nn 12249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		2pos 12279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
18	14, 15, 16, 17	declt 12667	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 < ;12
19	13, 18	eqbrtri 5095	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 3) < ;12
20		7re 12269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
21		3re 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
22	20, 21	readdcli 11156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 3) ∈ ℝ
23		2nn0 12449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	14, 23	deccl 12654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
25	24	nn0rei 12443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℝ
26		zre 12523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
27		ltletr 11234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((7 + 3) ∈ ℝ ∧ ;12 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((7 + 3) < ;12 ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁))
28	22, 25, 26, 27	mp3an12i 1474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((7 + 3) < ;12 ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁))
29	19, 28	mpani 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (;12 ≤ 𝑁 → (7 + 3) < 𝑁))
30	29	imp 408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁)
31	30	3adant1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁)
32	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 7 ∈ ℝ)
33	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
34	26	3ad2ant2 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	32, 33, 34	ltaddsubd 11746	. . . . . 6 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → ((7 + 3) < 𝑁 ↔ 7 < (𝑁 − 3)))
36	31, 35	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 7 < (𝑁 − 3))
37	12, 36	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 7 < (𝑁 − 3))
38	37	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 7 < (𝑁 − 3))
39		simpr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )
40		oveq1 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑜 + 3) = ((𝑁 − 3) + 3))
41	40	eqeq2d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
42	41	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑜 = (𝑁 − 3)) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
43		eluzelcn 12795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 𝑁 ∈ ℂ)
44		3cn 12257	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
45	43, 44	jctir 526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
46	45	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
47	46	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
48		npcan 11398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
49	48	eqcomd 2747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
50	47, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
51	39, 42, 50	rspcedvd 3563	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3))
52	51	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
53	38, 52	embantd 59	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
54	11, 53	syldc 48	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  ℝcr 11033  0cc0 11034  1c1 11035   + caddc 11037   < clt 11175   ≤ cle 11176   − cmin 11373  2c2 12231  3c3 12232  7c7 12236  ℤcz 12519  ;cdc 12639  ℤ_≥cuz 12783   Even ceven 48127   Odd codd 48128   GoldbachOdd cgbo 48250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-even 48129  df-odd 48130

This theorem is referenced by:  nnsum4primesevenALTV  48304