Theorem evengpoap3 48509

Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 10 is the sum of an odd Goldbach number and 3. (Contributed by AV, 27-Jul-2020.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evengpoap3	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑜,𝑁

Proof of Theorem evengpoap3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3odd 48418	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ Odd
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 3 ∈ Odd )
3	2	anim1i 626	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
4	3	ancomd 466	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
5		emoo 48414	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
7		breq2 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (7 < 𝑚 ↔ 7 < (𝑁 − 3)))
8		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (𝑚 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ))
9	7, 8	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → ((7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
10	9	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ 𝑚 = (𝑁 − 3)) → ((7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
11	6, 10	rspcdv 3572	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
12		eluz2 12867	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ↔ (;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁))
13		7p3e10 12790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 3) = ;10
14		1nn0 12519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		0nn0 12518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		2nn 12313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		2pos 12344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
18	14, 15, 16, 17	declt 12743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 < ;12
19	13, 18	eqbrtri 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 3) < ;12
20		7re 12333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
21		3re 12320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
22	20, 21	readdcli 11223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 3) ∈ ℝ
23		2nn0 12520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	14, 23	deccl 12725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
25	24	nn0rei 12514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℝ
26		zre 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
27		ltletr 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((7 + 3) ∈ ℝ ∧ ;12 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((7 + 3) < ;12 ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁))
28	22, 25, 26, 27	mp3an12i 1492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((7 + 3) < ;12 ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁))
29	19, 28	mpani 708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (;12 ≤ 𝑁 → (7 + 3) < 𝑁))
30	29	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁)
31	30	3adant1 1146	. . . . . 6 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁)
32	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 7 ∈ ℝ)
33	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
34	26	3ad2ant2 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	32, 33, 34	ltaddsubd 11813	. . . . . 6 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → ((7 + 3) < 𝑁 ↔ 7 < (𝑁 − 3)))
36	31, 35	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 7 < (𝑁 − 3))
37	12, 36	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 7 < (𝑁 − 3))
38	37	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 7 < (𝑁 − 3))
39		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )
40		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑜 + 3) = ((𝑁 − 3) + 3))
41	40	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
42	41	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑜 = (𝑁 − 3)) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
43		eluzelcn 12873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 𝑁 ∈ ℂ)
44		3cn 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
45	43, 44	jctir 529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
46	45	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
47	46	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
48		npcan 11465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
49	48	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
50	47, 49	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
51	39, 42, 50	rspcedvd 3582	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3))
52	51	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
53	38, 52	embantd 60	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
54	11, 53	syldc 49	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440  2c2 12294  3c3 12295  7c7 12299  ℤcz 12590  ;cdc 12710  ℤ_≥cuz 12861   Even ceven 48334   Odd codd 48335   GoldbachOdd cgbo 48457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-even 48336  df-odd 48337

This theorem is referenced by:  nnsum4primesevenALTV  48511