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Theorem evengpoap3 42518
Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 10 is the sum of an odd Goldbach number and 3. (Contributed by AV, 27-Jul-2020.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
evengpoap3 (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑜,𝑁

Proof of Theorem evengpoap3
StepHypRef Expression
1 3odd 42448 . . . . . . 7 3 ∈ Odd
21a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 3 ∈ Odd )
32anim1i 610 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
43ancomd 455 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
5 emoo 42444 . . . 4 ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
7 breq2 4878 . . . . 5 (𝑚 = (𝑁 − 3) → (7 < 𝑚 ↔ 7 < (𝑁 − 3)))
8 eleq1 2895 . . . . 5 (𝑚 = (𝑁 − 3) → (𝑚 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ))
97, 8imbi12d 336 . . . 4 (𝑚 = (𝑁 − 3) → ((7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
109adantl 475 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ 𝑚 = (𝑁 − 3)) → ((7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
116, 10rspcdv 3530 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
12 eluz2 11975 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ12) ↔ (12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁))
13 7p3e10 11899 . . . . . . . . . 10 (7 + 3) = 10
14 1nn0 11637 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
15 0nn0 11636 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
16 2nn 11425 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
17 2pos 11462 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
1814, 15, 16, 17declt 11851 . . . . . . . . . 10 10 < 12
1913, 18eqbrtri 4895 . . . . . . . . 9 (7 + 3) < 12
20 7re 11449 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℝ
21 3re 11432 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
2220, 21readdcli 10373 . . . . . . . . . 10 (7 + 3) ∈ ℝ
23 2nn0 11638 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
2414, 23deccl 11837 . . . . . . . . . . 11 12 ∈ ℕ0
2524nn0rei 11631 . . . . . . . . . 10 12 ∈ ℝ
26 zre 11709 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
27 ltletr 10449 . . . . . . . . . 10 (((7 + 3) ∈ ℝ ∧ 12 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((7 + 3) < 12 ∧ 12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁))
2822, 25, 26, 27mp3an12i 1595 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (((7 + 3) < 12 ∧ 12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁))
2919, 28mpani 689 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (12 ≤ 𝑁 → (7 + 3) < 𝑁))
3029imp 397 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁)
31303adant1 1166 . . . . . 6 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁)
3220a1i 11 . . . . . . 7 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → 7 ∈ ℝ)
3321a1i 11 . . . . . . 7 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
34263ad2ant2 1170 . . . . . . 7 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
3532, 33, 34ltaddsubd 10953 . . . . . 6 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → ((7 + 3) < 𝑁 ↔ 7 < (𝑁 − 3)))
3631, 35mpbid 224 . . . . 5 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → 7 < (𝑁 − 3))
3712, 36sylbi 209 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 7 < (𝑁 − 3))
3837adantr 474 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 7 < (𝑁 − 3))
39 simpr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )
40 oveq1 6913 . . . . . . 7 (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑜 + 3) = ((𝑁 − 3) + 3))
4140eqeq2d 2836 . . . . . 6 (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
4241adantl 475 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑜 = (𝑁 − 3)) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
43 eluzelcn 11981 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 𝑁 ∈ ℂ)
44 3cn 11433 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
4543, 44jctir 518 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ12) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
4645adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
4746adantr 474 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
48 npcan 10612 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
4948eqcomd 2832 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
5047, 49syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
5139, 42, 50rspcedvd 3534 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3))
5251ex 403 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
5338, 52embantd 59 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
5411, 53syldc 48 1 (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3118  wrex 3119   class class class wbr 4874  cfv 6124  (class class class)co 6906  cc 10251  cr 10252  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   < clt 10392  cle 10393  cmin 10586  2c2 11407  3c3 11408  7c7 11412  cz 11705  cdc 11822  cuz 11969   Even ceven 42368   Odd codd 42369   GoldbachOdd cgbo 42466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-even 42370  df-odd 42371
This theorem is referenced by:  nnsum4primesevenALTV  42520
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