Theorem evengpoap3 48263

Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 10 is the sum of an odd Goldbach number and 3. (Contributed by AV, 27-Jul-2020.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evengpoap3	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑜,𝑁

Proof of Theorem evengpoap3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3odd 48172	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ Odd
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 3 ∈ Odd )
3	2	anim1i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
4	3	ancomd 461	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
5		emoo 48168	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
7		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (7 < 𝑚 ↔ 7 < (𝑁 − 3)))
8		eleq1 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (𝑚 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ))
9	7, 8	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → ((7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ 𝑚 = (𝑁 − 3)) → ((7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
11	6, 10	rspcdv 3554	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
12		eluz2 12783	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ↔ (;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁))
13		7p3e10 12708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 3) = ;10
14		1nn0 12442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		0nn0 12441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		2nn 12243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		2pos 12273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
18	14, 15, 16, 17	declt 12661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 < ;12
19	13, 18	eqbrtri 5095	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 3) < ;12
20		7re 12263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
21		3re 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
22	20, 21	readdcli 11149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 3) ∈ ℝ
23		2nn0 12443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	14, 23	deccl 12648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
25	24	nn0rei 12437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℝ
26		zre 12517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
27		ltletr 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((7 + 3) ∈ ℝ ∧ ;12 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((7 + 3) < ;12 ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁))
28	22, 25, 26, 27	mp3an12i 1468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((7 + 3) < ;12 ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁))
29	19, 28	mpani 697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (;12 ≤ 𝑁 → (7 + 3) < 𝑁))
30	29	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁)
31	30	3adant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁)
32	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 7 ∈ ℝ)
33	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
34	26	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	32, 33, 34	ltaddsubd 11739	. . . . . 6 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → ((7 + 3) < 𝑁 ↔ 7 < (𝑁 − 3)))
36	31, 35	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 7 < (𝑁 − 3))
37	12, 36	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 7 < (𝑁 − 3))
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 7 < (𝑁 − 3))
39		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )
40		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑜 + 3) = ((𝑁 − 3) + 3))
41	40	eqeq2d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
42	41	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑜 = (𝑁 − 3)) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
43		eluzelcn 12789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 𝑁 ∈ ℂ)
44		3cn 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
45	43, 44	jctir 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
46	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
48		npcan 11391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
49	48	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
50	47, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
51	39, 42, 50	rspcedvd 3564	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3))
52	51	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
53	38, 52	embantd 59	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
54	11, 53	syldc 48	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  ∃wrex 3059   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366  2c2 12225  3c3 12226  7c7 12230  ℤcz 12513  ;cdc 12633  ℤ_≥cuz 12777   Even ceven 48088   Odd codd 48089   GoldbachOdd cgbo 48211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-even 48090  df-odd 48091

This theorem is referenced by:  nnsum4primesevenALTV  48265