Theorem evengpoap3 48819

Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 10 is the sum of an odd Goldbach number and 3. (Contributed by AV, 27-Jul-2020.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evengpoap3	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑜,𝑁

Proof of Theorem evengpoap3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3odd 48728	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ Odd
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 3 ∈ Odd )
3	2	anim1i 627	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
4	3	ancomd 467	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
5		emoo 48724	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
7		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (7 < 𝑚 ↔ 7 < (𝑁 − 3)))
8		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (𝑚 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ))
9	7, 8	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → ((7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
10	9	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ 𝑚 = (𝑁 − 3)) → ((7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
11	6, 10	rspcdv 3568	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
12		eluz2 12940	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ↔ (;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁))
13		7p3e10 12863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 3) = ;10
14		1nn0 12591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		0nn0 12590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		2nn 12385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		2pos 12416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
18	14, 15, 16, 17	declt 12816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 < ;12
19	13, 18	eqbrtri 5125	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 3) < ;12
20		7re 12405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
21		3re 12392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
22	20, 21	readdcli 11295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 3) ∈ ℝ
23		2nn0 12592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	14, 23	deccl 12798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
25	24	nn0rei 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℝ
26		zre 12666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
27		ltletr 11373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((7 + 3) ∈ ℝ ∧ ;12 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((7 + 3) < ;12 ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁))
28	22, 25, 26, 27	mp3an12i 1494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((7 + 3) < ;12 ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁))
29	19, 28	mpani 709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (;12 ≤ 𝑁 → (7 + 3) < 𝑁))
30	29	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁)
31	30	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁)
32	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 7 ∈ ℝ)
33	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
34	26	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	32, 33, 34	ltaddsubd 11885	. . . . . 6 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → ((7 + 3) < 𝑁 ↔ 7 < (𝑁 − 3)))
36	31, 35	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → 7 < (𝑁 − 3))
37	12, 36	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 7 < (𝑁 − 3))
38	37	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 7 < (𝑁 − 3))
39		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )
40		oveq1 7415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑜 + 3) = ((𝑁 − 3) + 3))
41	40	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
42	41	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑜 = (𝑁 − 3)) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
43		eluzelcn 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 𝑁 ∈ ℂ)
44		3cn 12393	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
45	43, 44	jctir 530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
46	45	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
47	46	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
48		npcan 11537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
49	48	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
50	47, 49	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
51	39, 42, 50	rspcedvd 3578	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3))
52	51	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
53	38, 52	embantd 60	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
54	11, 53	syldc 49	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  ℝcr 11170  0cc0 11171  1c1 11172   + caddc 11174   < clt 11314   ≤ cle 11315   − cmin 11512  2c2 12366  3c3 12367  7c7 12371  ℤcz 12662  ;cdc 12783  ℤ_≥cuz 12934   Even ceven 48644   Odd codd 48645   GoldbachOdd cgbo 48767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-even 48646  df-odd 48647

This theorem is used by:  nnsum4primesevenALTV  48821