Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evengpoap3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evengpoap3 44180
 Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 10 is the sum of an odd Goldbach number and 3. (Contributed by AV, 27-Jul-2020.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
evengpoap3 (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑜,𝑁

Proof of Theorem evengpoap3
StepHypRef Expression
1 3odd 44089 . . . . . . 7 3 ∈ Odd
21a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 3 ∈ Odd )
32anim1i 617 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
43ancomd 465 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
5 emoo 44085 . . . 4 ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
7 breq2 5056 . . . . 5 (𝑚 = (𝑁 − 3) → (7 < 𝑚 ↔ 7 < (𝑁 − 3)))
8 eleq1 2903 . . . . 5 (𝑚 = (𝑁 − 3) → (𝑚 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ))
97, 8imbi12d 348 . . . 4 (𝑚 = (𝑁 − 3) → ((7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
109adantl 485 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ 𝑚 = (𝑁 − 3)) → ((7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
116, 10rspcdv 3601 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )))
12 eluz2 12242 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ12) ↔ (12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁))
13 7p3e10 12166 . . . . . . . . . 10 (7 + 3) = 10
14 1nn0 11906 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
15 0nn0 11905 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
16 2nn 11703 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
17 2pos 11733 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
1814, 15, 16, 17declt 12119 . . . . . . . . . 10 10 < 12
1913, 18eqbrtri 5073 . . . . . . . . 9 (7 + 3) < 12
20 7re 11723 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℝ
21 3re 11710 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
2220, 21readdcli 10648 . . . . . . . . . 10 (7 + 3) ∈ ℝ
23 2nn0 11907 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
2414, 23deccl 12106 . . . . . . . . . . 11 12 ∈ ℕ0
2524nn0rei 11901 . . . . . . . . . 10 12 ∈ ℝ
26 zre 11978 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
27 ltletr 10724 . . . . . . . . . 10 (((7 + 3) ∈ ℝ ∧ 12 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((7 + 3) < 12 ∧ 12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁))
2822, 25, 26, 27mp3an12i 1462 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (((7 + 3) < 12 ∧ 12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁))
2919, 28mpani 695 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (12 ≤ 𝑁 → (7 + 3) < 𝑁))
3029imp 410 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁)
31303adant1 1127 . . . . . 6 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → (7 + 3) < 𝑁)
3220a1i 11 . . . . . . 7 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → 7 ∈ ℝ)
3321a1i 11 . . . . . . 7 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
34263ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
3532, 33, 34ltaddsubd 11232 . . . . . 6 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → ((7 + 3) < 𝑁 ↔ 7 < (𝑁 − 3)))
3631, 35mpbid 235 . . . . 5 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → 7 < (𝑁 − 3))
3712, 36sylbi 220 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 7 < (𝑁 − 3))
3837adantr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 7 < (𝑁 − 3))
39 simpr 488 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd )
40 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑜 + 3) = ((𝑁 − 3) + 3))
4140eqeq2d 2835 . . . . . 6 (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
4241adantl 485 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑜 = (𝑁 − 3)) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
43 eluzelcn 12248 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 𝑁 ∈ ℂ)
44 3cn 11711 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
4543, 44jctir 524 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ12) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
4645adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
4746adantr 484 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
48 npcan 10887 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
4948eqcomd 2830 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
5047, 49syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
5139, 42, 50rspcedvd 3612 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3))
5251ex 416 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
5338, 52embantd 59 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((7 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
5411, 53syldc 48 1 (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ∃wrex 3134   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862  2c2 11685  3c3 11686  7c7 11690  ℤcz 11974  ;cdc 12091  ℤ≥cuz 12236   Even ceven 44005   Odd codd 44006   GoldbachOdd cgbo 44128 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-7 11698  df-8 11699  df-9 11700  df-n0 11891  df-z 11975  df-dec 12092  df-uz 12237  df-even 44007  df-odd 44008 This theorem is referenced by:  nnsum4primesevenALTV  44182
 Copyright terms: Public domain W3C validator