crctcshwlkn0lem5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem crctcshwlkn0lem5 30396

Description: Lemma for crctcshwlkn0 30403. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

**Assertion**
Ref	Expression
crctcshwlkn0lem5	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑁 𝑥,𝑃 𝑥,𝑆 𝜑,𝑥 𝑖,𝐹 𝑖,𝐼 𝑖,𝑁 𝑃,𝑖 𝑆,𝑖 𝜑,𝑖,𝑗 𝑥,𝑗 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥, 𝑖, 𝑗) 𝑃(𝑗) 𝑄(𝑥, 𝑖, 𝑗) 𝑆(𝑗) 𝐹(𝑥, 𝑗) 𝐻(𝑥, 𝑖, 𝑗) 𝐼(𝑥, 𝑗) 𝑁(𝑗)

**Proof of Theorem crctcshwlkn0lem5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
2		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
3		elfzoelz 13786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
5	4	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
6		1cnd 11295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
7		elfzoelz 13786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℂ)
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℂ)
10		elfzoel2 13785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13	5, 6, 9, 12	2addsubd 11712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁) = (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1))
14	13	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))
15		elfzo1 13840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
16		nnz 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	3	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
20		nnz 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℤ)
21	20	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℤ)
23	19, 22	zaddcld 12800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
24		elfzo2 13789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) ↔ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁))
25		eluz2 12964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ↔ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗))
26		zre 12690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
27		nnre 12335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
28		nnre 12335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
29	27, 28	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
30		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
31		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
32	30, 31	resubcld 11737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
33	32	lep1d 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
34		1red 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
35	32, 34	readdcld 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ)
36		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
37		letr 11397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑗))
38	32, 35, 36, 37	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑗))
39	33, 38	mpand 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑗))
40	30, 31, 36	lesubaddd 11906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
41	39, 40	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
42	41	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
43	29, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
44	43	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
45	26, 44	syl5com 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
46	45	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
47	46	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
48	47	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
49	25, 48	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
50	49	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
51	50	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
52	24, 51	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
53	52	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))
54		eluz2 12964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
55	18, 23, 53, 54	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
56		uznn0sub 12993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀)
57	55, 56	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀)
58		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
59	26	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
60		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℝ)
61		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑆 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ))
62	61	imdistanri 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
63	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
64		lt2add 11794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < (𝑁 + 𝑁)))
65	59, 60, 63, 64	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < (𝑁 + 𝑁)))
66	59, 60	readdcld 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ)
67		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
68	66, 67, 67	ltsubaddd 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝑗 + 𝑆) < (𝑁 + 𝑁)))
69	65, 68	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
70	69	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
71	70	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
72	71	expcomd 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → (𝑗 < 𝑁 → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))))
73	29, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → (𝑗 < 𝑁 → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))))
74	73	3impia 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 < 𝑁 → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
75	74	com13 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 < 𝑁 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
76	75	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → (𝑗 < 𝑁 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
77	25, 76	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) → (𝑗 < 𝑁 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
78	77	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑗 < 𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
79	78	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
80	24, 79	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
81	80	impcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)
82	57, 58, 81	3jca 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
83	15, 82	sylanb 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
84		elfzo0 13828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
85	83, 84	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
86	85	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
87		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
88	87	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
89		fvoveq1 7441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1)))
90		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))
91	90	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → (𝑃‘(((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
92	89, 91	sylan9eqr 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
93	88, 92	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))))
94		2fveq3 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
95	87	sneqd 4596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → {(𝑃‘𝑖)} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))})
96	94, 95	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}))
97	96	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}))
98	88, 92	preq12d 4702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))})
99		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
100	99	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
101	100	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
102	98, 101	sseq12d 3964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ↔ {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))
103	93, 97, 102	ifpbi123d 1095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
104	86, 103	rspcdv 3569	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
105	14, 104	mpdan 700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
106	2, 105	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
107	106	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))))
108	1, 107	mpid 45	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
109	108	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))
110		elfzofz 13803	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁))
111		crctcshwlkn0lem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
112	2, 111	crctcshwlkn0lem3 30394	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
113	110, 112	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
114		fzofzp1 13892	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁))
115	2, 111	crctcshwlkn0lem3 30394	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
116	114, 115	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
117		crctcshwlkn0lem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
118	117	fveq1i 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝐻‘𝑗) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗)
119		crctcshwlkn0lem.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
120	119	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
121	2, 7	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
122	121	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℤ)
123		ltle 11391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 𝑆 ≤ 𝑁))
124	29, 123	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 𝑆 ≤ 𝑁))
125	124	3impia 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑁)
126		nnnn0 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ₀)
127		nnnn0 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
128	126, 127	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
129	128	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
130		nn0sub 12649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑆 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀))
131	129, 130	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑆 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀))
132	125, 131	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀)
133	15, 132	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀)
134		1nn0 12615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 1 ∈ ℕ₀)
136	133, 135	nn0addcld 12664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ₀)
137		elnn0uz 12999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
138	136, 137	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
139		fzoss1 13814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
140	2, 138, 139	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
141	140	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
142		crctcshwlkn0lem.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
143	142	oveq2i 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
144	141, 143	eleqtrdi 2871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
145		cshwidxmod 14947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
146	120, 122, 144, 145	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
147	142	eqcomi 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
148	147	oveq2i 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁)
149		eluzelre 12969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
150	149	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
151	150	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
152	27	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
153	152	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑆 ∈ ℝ)
154	151, 153	readdcld 11331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ)
155		nnrp 13125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
156	155	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
157	156	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
158	50	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))
159	157	rpred 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
160		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑗 < 𝑁)
161		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑆 < 𝑁)
162	151, 153, 159, 160, 161	lt2addmuld 12589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))
163	158, 162	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))
164	154, 157, 163	jca31 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))))
165	164	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
166	24, 165	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
167	15, 166	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
168	2, 167	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
169	168	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))))
170		2submod 14068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))) → ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
171	169, 170	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
172	148, 171	eqtrid 2808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
173	172	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
174	146, 173	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
175	118, 174	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝐻‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
176	175	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
177		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
178		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
179	177, 178	eqeq12d 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → ((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))))
180		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
181	177	sneqd 4596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → {(𝑄‘𝑗)} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))})
182	180, 181	eqeq12d 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → ((𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}))
183	177, 178	preq12d 4702	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))})
184	183, 180	sseq12d 3964	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → ({(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) ↔ {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))
185	179, 182, 184	ifpbi123d 1095	. . . 4 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
186	113, 116, 176, 185	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
187	109, 186	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
188	187	ralrimiva 3155	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 if-wif 1078 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ∀wral 3077 ⊆ wss 3899 ifcif 4482 {csn 4584 {cpr 4586 class class class wbr 5103 ↦ cmpt 5186 ‘cfv 6537 (class class class)co 7418 ℂcc 11191 ℝcr 11192 0cc0 11193 1c1 11194 + caddc 11196 · cmul 11198 < clt 11336 ≤ cle 11337 − cmin 11534 ℕcn 12328 2c2 12390 ℕ₀cn0 12599 ℤcz 12686 ℤ_≥cuz 12958 ℝ⁺crp 13113 ...cfz 13632 ..^cfzo 13781 mod cmo 14002 ♯chash 14467 Word cword 14651 cyclShift ccsh 14932

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7749 ax-cnex 11249 ax-resscn 11250 ax-1cn 11251 ax-icn 11252 ax-addcl 11253 ax-addrcl 11254 ax-mulcl 11255 ax-mulrcl 11256 ax-mulcom 11257 ax-addass 11258 ax-mulass 11259 ax-distr 11260 ax-i2m1 11261 ax-1ne0 11262 ax-1rid 11263 ax-rnegex 11264 ax-rrecex 11265 ax-cnre 11266 ax-pre-lttri 11267 ax-pre-lttrn 11268 ax-pre-ltadd 11269 ax-pre-mulgt0 11270 ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-ifp 1079 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7375 df-ov 7421 df-oprab 7422 df-mpo 7423 df-om 7876 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-frecs 8292 df-wrecs 8323 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8469 df-er 8710 df-en 8967 df-dom 8968 df-sdom 8969 df-fin 8970 df-sup 9427 df-inf 9428 df-card 10013 df-pnf 11338 df-mnf 11339 df-xr 11340 df-ltxr 11341 df-le 11342 df-sub 11536 df-neg 11537 df-div 11967 df-nn 12329 df-2 12398 df-n0 12600 df-z 12687 df-uz 12959 df-rp 13114 df-fz 13633 df-fzo 13782 df-fl 13925 df-mod 14003 df-hash 14468 df-word 14652 df-concat 14709 df-substr 14782 df-pfx 14814 df-csh 14933

This theorem is used by: crctcshwlkn0lem7 30398

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