crctcshwlkn0lem5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem crctcshwlkn0lem5 27578

Description: Lemma for crctcshwlkn0 27585. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

**Assertion**
Ref	Expression
crctcshwlkn0lem5	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑁 𝑥,𝑃 𝑥,𝑆 𝜑,𝑥 𝑖,𝐹 𝑖,𝐼 𝑖,𝑁 𝑃,𝑖 𝑆,𝑖 𝜑,𝑖,𝑗 𝑥,𝑗 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥,𝑖,𝑗) 𝑃(𝑗) 𝑄(𝑥,𝑖,𝑗) 𝑆(𝑗) 𝐹(𝑥,𝑗) 𝐻(𝑥,𝑖,𝑗) 𝐼(𝑥,𝑗) 𝑁(𝑗)

**Proof of Theorem crctcshwlkn0lem5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
2		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
3		elfzoelz 13028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
5	4	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
6		1cnd 10622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
7		elfzoelz 13028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℂ)
9	8	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℂ)
10		elfzoel2 13027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13	5, 6, 9, 12	2addsubd 11033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁) = (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1))
14	13	eqcomd 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))
15		elfzo1 13077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
16		nnz 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	3	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
20		nnz 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℤ)
21	20	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
22	21	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℤ)
23	19, 22	zaddcld 12078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
24		elfzo2 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) ↔ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁))
25		eluz2 12236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ↔ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗))
26		zre 11972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
27		nnre 11631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
28		nnre 11631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
29	27, 28	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
30		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
31		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
32	30, 31	resubcld 11054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
33	32	lep1d 11557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1))
34		1red 10628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
35	32, 34	readdcld 10656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ)
36		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
37		letr 10720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑗))
38	32, 35, 36, 37	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) ≤ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑗))
39	33, 38	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑗))
40	30, 31, 36	lesubaddd 11223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
41	39, 40	sylibd 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
42	41	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
43	29, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
44	43	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
45	26, 44	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
46	45	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))))
47	46	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
48	47	3adant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
49	25, 48	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
50	49	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
51	50	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
52	24, 51	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
53	52	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))
54		eluz2 12236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆)))
55	18, 23, 53, 54	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
56		uznn0sub 12264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀)
58		simpl2 1188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
59	26	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
60		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℝ)
61		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑆 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ))
62	61	imdistanri 572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
63	62	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
64		lt2add 11111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < (𝑁 + 𝑁)))
65	59, 60, 63, 64	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < (𝑁 + 𝑁)))
66	59, 60	readdcld 10656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ)
67		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
68	66, 67, 67	ltsubaddd 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝑗 + 𝑆) < (𝑁 + 𝑁)))
69	65, 68	sylibrd 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
70	69	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
71	70	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑗 < 𝑁 ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
72	71	expcomd 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → (𝑗 < 𝑁 → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))))
73	29, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → (𝑗 < 𝑁 → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))))
74	73	3impia 1113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 < 𝑁 → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
75	74	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 < 𝑁 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
76	75	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑗) → (𝑗 < 𝑁 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
77	25, 76	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) → (𝑗 < 𝑁 → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)))
78	77	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑗 < 𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
79	78	3adant2 1127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
80	24, 79	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
81	80	impcom 410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁)
82	57, 58, 81	3jca 1124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
83	15, 82	sylanb 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
84		elfzo0 13068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) < 𝑁))
85	83, 84	sylibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
86	85	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
87		fveq2 6656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
88	87	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
89		fvoveq1 7165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1)))
90		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))
91	90	fveq2d 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → (𝑃‘(((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
92	89, 91	sylan9eqr 2878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
93	88, 92	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → ((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))))
94		2fveq3 6661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
95	87	sneqd 4565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → {(𝑃‘𝑖)} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))})
96	94, 95	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}))
97	96	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}))
98	88, 92	preq12d 4663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))})
99		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
100	99	fveq2d 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
101	100	fveq2d 6660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
102	98, 101	sseq12d 3988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ↔ {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))
103	93, 97, 102	ifpbi123d 1074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ 𝑖 = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
104	86, 103	rspcdv 3607	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) ∧ (((𝑗 + 𝑆) − 𝑁) + 1) = (((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
105	14, 104	mpdan 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
106	2, 105	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
107	106	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))))
108	1, 107	mpid 44	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
109	108	imp 409	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))
110		elfzofz 13043	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁))
111		crctcshwlkn0lem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
112	2, 111	crctcshwlkn0lem3 27576	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
113	110, 112	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
114		fzofzp1 13124	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁))
115	2, 111	crctcshwlkn0lem3 27576	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
116	114, 115	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
117		crctcshwlkn0lem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
118	117	fveq1i 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝐻‘𝑗) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗)
119		crctcshwlkn0lem.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
120	119	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
121	2, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
122	121	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑆 ∈ ℤ)
123		ltle 10715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 𝑆 ≤ 𝑁))
124	29, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 𝑆 ≤ 𝑁))
125	124	3impia 1113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑁)
126		nnnn0 11891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ₀)
127		nnnn0 11891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
128	126, 127	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
129	128	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
130		nn0sub 11934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑆 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀))
131	129, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑆 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀))
132	125, 131	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀)
133	15, 132	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ₀)
134		1nn0 11900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 1 ∈ ℕ₀)
136	133, 135	nn0addcld 11946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ₀)
137		elnn0uz 12270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
138	136, 137	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
139		fzoss1 13054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
140	2, 138, 139	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
141	140	sselda 3955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
142		crctcshwlkn0lem.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
143	142	oveq2i 7153	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
144	141, 143	eleqtrdi 2923	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
145		cshwidxmod 14150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
146	120, 122, 144, 145	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
147	142	eqcomi 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
148	147	oveq2i 7153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁)
149		eluzelre 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
150	149	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
151	150	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
152	27	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
153	152	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑆 ∈ ℝ)
154	151, 153	readdcld 10656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ)
155		nnrp 12387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
156	155	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
157	156	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
158	50	impcom 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆))
159	157	rpred 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
160		simpr3 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑗 < 𝑁)
161		simpl3 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → 𝑆 < 𝑁)
162	151, 153, 159, 160, 161	lt2addmuld 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))
163	158, 162	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))
164	154, 157, 163	jca31 517	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))))
165	164	ex 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑗 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 < 𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
166	24, 165	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
167	15, 166	sylbi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
168	2, 167	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁)))))
169	168	imp 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))))
170		2submod 13290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑗 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑁 ≤ (𝑗 + 𝑆) ∧ (𝑗 + 𝑆) < (2 · 𝑁))) → ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
171	169, 170	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
172	148, 171	syl5eq 2868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))
173	172	fveq2d 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
174	146, 173	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
175	118, 174	syl5eq 2868	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝐻‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
176	175	fveq2d 6660	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
177		simp1 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))
178		simp2 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)))
179	177, 178	eqeq12d 2837	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → ((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))))
180		simp3 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))
181	177	sneqd 4565	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → {(𝑄‘𝑗)} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))})
182	180, 181	eqeq12d 2837	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → ((𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}))
183	177, 178	preq12d 4663	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))})
184	183, 180	sseq12d 3988	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → ({(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) ↔ {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))))
185	179, 182, 184	ifpbi123d 1074	. . . 4 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)))) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
186	113, 116, 176, 185	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁)), (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))) = {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))}, {(𝑃‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁)), (𝑃‘(((𝑗 + 1) + 𝑆) − 𝑁))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((𝑗 + 𝑆) − 𝑁))))))
187	109, 186	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)) → if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
188	187	ralrimiva 3182	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 if-wif 1057 ∧ w3a 1083 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ∀wral 3138 ⊆ wss 3924 ifcif 4453 {csn 4553 {cpr 4555 class class class wbr 5052 ↦ cmpt 5132 ‘cfv 6341 (class class class)co 7142 ℂcc 10521 ℝcr 10522 0cc0 10523 1c1 10524 + caddc 10526 · cmul 10528 < clt 10661 ≤ cle 10662 − cmin 10856 ℕcn 11624 2c2 11679 ℕ₀cn0 11884 ℤcz 11968 ℤ_≥cuz 12230 ℝ⁺crp 12376 ...cfz 12882 ..^cfzo 13023 mod cmo 13227 ♯chash 13680 Word cword 13851 cyclShift ccsh 14135

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-rep 5176 ax-sep 5189 ax-nul 5196 ax-pow 5252 ax-pr 5316 ax-un 7447 ax-cnex 10579 ax-resscn 10580 ax-1cn 10581 ax-icn 10582 ax-addcl 10583 ax-addrcl 10584 ax-mulcl 10585 ax-mulrcl 10586 ax-mulcom 10587 ax-addass 10588 ax-mulass 10589 ax-distr 10590 ax-i2m1 10591 ax-1ne0 10592 ax-1rid 10593 ax-rnegex 10594 ax-rrecex 10595 ax-cnre 10596 ax-pre-lttri 10597 ax-pre-lttrn 10598 ax-pre-ltadd 10599 ax-pre-mulgt0 10600 ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-ifp 1058 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3488 df-sbc 3764 df-csb 3872 df-dif 3927 df-un 3929 df-in 3931 df-ss 3940 df-pss 3942 df-nul 4280 df-if 4454 df-pw 4527 df-sn 4554 df-pr 4556 df-tp 4558 df-op 4560 df-uni 4825 df-int 4863 df-iun 4907 df-br 5053 df-opab 5115 df-mpt 5133 df-tr 5159 df-id 5446 df-eprel 5451 df-po 5460 df-so 5461 df-fr 5500 df-we 5502 df-xp 5547 df-rel 5548 df-cnv 5549 df-co 5550 df-dm 5551 df-rn 5552 df-res 5553 df-ima 5554 df-pred 6134 df-ord 6180 df-on 6181 df-lim 6182 df-suc 6183 df-iota 6300 df-fun 6343 df-fn 6344 df-f 6345 df-f1 6346 df-fo 6347 df-f1o 6348 df-fv 6349 df-riota 7100 df-ov 7145 df-oprab 7146 df-mpo 7147 df-om 7567 df-1st 7675 df-2nd 7676 df-wrecs 7933 df-recs 7994 df-rdg 8032 df-1o 8088 df-oadd 8092 df-er 8275 df-en 8496 df-dom 8497 df-sdom 8498 df-fin 8499 df-sup 8892 df-inf 8893 df-card 9354 df-pnf 10663 df-mnf 10664 df-xr 10665 df-ltxr 10666 df-le 10667 df-sub 10858 df-neg 10859 df-div 11284 df-nn 11625 df-2 11687 df-n0 11885 df-z 11969 df-uz 12231 df-rp 12377 df-fz 12883 df-fzo 13024 df-fl 13152 df-mod 13228 df-hash 13681 df-word 13852 df-concat 13908 df-substr 13988 df-pfx 14018 df-csh 14136

This theorem is referenced by: crctcshwlkn0lem7 27580

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