Theorem 0enwwlksnge1 30453

Description: In graphs without edges, there are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0enwwlksnge1	⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem 0enwwlksnge1

Dummy variables 𝑖 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12613	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		wwlksn 30426	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
5		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
7	5, 6	iswwlks 30425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8		nncn 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
9		pncan1 11740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
12	10, 11	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
13	12	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
15		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑤) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
16	15	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ))
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ))
18	14, 17	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ)
19		lbfzo0 13834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) ↔ ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ)
20	18, 19	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)))
21		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑤‘𝑖) = (𝑤‘0))
22		fv0p1e1 12464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘1))
23	21, 22	preq12d 4701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 0 → {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘0), (𝑤‘1)})
24	23	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 0 → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 = 0) → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	20, 25	rspcdv 3568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
27		eleq2 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Edg‘𝐺) = ∅ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅))
28		noel 4283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅
29	28	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅ → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
30	27, 29	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Edg‘𝐺) = ∅ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
33	26, 32	syldc 49	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
34	33	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
35	34	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
36	7, 35	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
37	36	expimpd 459	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
38		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
39	37, 38	pm2.61i 184	. . . 4 ⊢ ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
40	39	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
41		rabeq0 4337	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
42	40, 41	sylibr 237	. 2 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} = ∅)
43	4, 42	eqtrd 2795	1 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  ∅c0 4278  {cpr 4585  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   − cmin 11541  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474  Word cword 14658  Vtxcvtx 29574  Edgcedg 29625  WWalkscwwlks 30414   WWalksN cwwlksn 30415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-wwlks 30419  df-wwlksn 30420

This theorem is used by:  rusgr0edg  30565