Theorem 0enwwlksnge1 29846

Description: In graphs without edges, there are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0enwwlksnge1	⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem 0enwwlksnge1

Dummy variables 𝑖 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12508	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		wwlksn 29819	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
5		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
7	5, 6	iswwlks 29818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8		nncn 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
9		pncan1 11661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
12	10, 11	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
15		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑤) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
16	15	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ))
18	14, 17	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ)
19		lbfzo0 13716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) ↔ ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ)
20	18, 19	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)))
21		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑤‘𝑖) = (𝑤‘0))
22		fv0p1e1 12363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘1))
23	21, 22	preq12d 4717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 0 → {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘0), (𝑤‘1)})
24	23	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 0 → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 = 0) → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	20, 25	rspcdv 3593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
27		eleq2 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Edg‘𝐺) = ∅ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅))
28		noel 4313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅
29	28	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅ → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
30	27, 29	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Edg‘𝐺) = ∅ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
33	26, 32	syldc 48	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
34	33	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
35	34	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
36	7, 35	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
37	36	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
38		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
39	37, 38	pm2.61i 182	. . . 4 ⊢ ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
40	39	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
41		rabeq0 4363	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
42	40, 41	sylibr 234	. 2 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} = ∅)
43	4, 42	eqtrd 2770	1 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3415  ∅c0 4308  {cpr 4603  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   − cmin 11466  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Word cword 14531  Vtxcvtx 28975  Edgcedg 29026  WWalkscwwlks 29807   WWalksN cwwlksn 29808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-wwlks 29812  df-wwlksn 29813

This theorem is referenced by:  rusgr0edg  29955