Theorem 0enwwlksnge1 30224

Description: In graphs without edges, there are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0enwwlksnge1	⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem 0enwwlksnge1

Dummy variables 𝑖 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12517	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		wwlksn 30197	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
4	3	adantl 486	. 2 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
5		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
7	5, 6	iswwlks 30196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8		nncn 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
9		pncan1 11644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
12	10, 11	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
13	12	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
14	13	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
15		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑤) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
16	15	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ))
17	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ))
18	14, 17	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ)
19		lbfzo0 13735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) ↔ ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ)
20	18, 19	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)))
21		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑤‘𝑖) = (𝑤‘0))
22		fv0p1e1 12368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘1))
23	21, 22	preq12d 4706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 0 → {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘0), (𝑤‘1)})
24	23	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 0 → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	24	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 = 0) → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	20, 25	rspcdv 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
27		eleq2 2851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Edg‘𝐺) = ∅ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅))
28		noel 4290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅
29	28	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅ → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
30	27, 29	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Edg‘𝐺) = ∅ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
31	30	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
32	31	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
33	26, 32	syldc 49	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
34	33	3ad2ant3 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
35	34	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
36	7, 35	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
37	36	expimpd 458	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
38		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
39	37, 38	pm2.61i 184	. . . 4 ⊢ ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
40	39	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
41		rabeq0 4344	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
42	40, 41	sylibr 237	. 2 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} = ∅)
43	4, 42	eqtrd 2797	1 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  {crab 3415  ∅c0 4285  {cpr 4590  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   − cmin 11447  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  ..^cfzo 13689  ♯chash 14373  Word cword 14557  Vtxcvtx 29357  Edgcedg 29408  WWalkscwwlks 30185   WWalksN cwwlksn 30186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374  df-word 14558  df-wwlks 30190  df-wwlksn 30191

This theorem is used by:  rusgr0edg  30336