Theorem 0enwwlksnge1 29897

Description: In graphs without edges, there are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0enwwlksnge1	⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem 0enwwlksnge1

Dummy variables 𝑖 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12560	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		wwlksn 29870	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
5		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
7	5, 6	iswwlks 29869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8		nncn 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
9		pncan1 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
12	10, 11	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
15		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑤) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
16	15	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ))
18	14, 17	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ)
19		lbfzo0 13756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) ↔ ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ)
20	18, 19	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)))
21		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑤‘𝑖) = (𝑤‘0))
22		fv0p1e1 12416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘1))
23	21, 22	preq12d 4766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 0 → {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘0), (𝑤‘1)})
24	23	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 0 → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 = 0) → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	20, 25	rspcdv 3627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
27		eleq2 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Edg‘𝐺) = ∅ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅))
28		noel 4360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅
29	28	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅ → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
30	27, 29	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Edg‘𝐺) = ∅ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
33	26, 32	syldc 48	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
34	33	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
35	34	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
36	7, 35	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
37	36	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
38		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
39	37, 38	pm2.61i 182	. . . 4 ⊢ ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
40	39	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
41		rabeq0 4411	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
42	40, 41	sylibr 234	. 2 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} = ∅)
43	4, 42	eqtrd 2780	1 ⊢ (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  {crab 3443  ∅c0 4352  {cpr 4650  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562  Vtxcvtx 29031  Edgcedg 29082  WWalkscwwlks 29858   WWalksN cwwlksn 29859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-wwlks 29863  df-wwlksn 29864

This theorem is referenced by:  rusgr0edg  30006