MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0enwwlksnge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0enwwlksnge1 29118
Description: In graphs without edges, there are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
0enwwlksnge1 (((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 WWalksN 𝐺) = βˆ…)

Proof of Theorem 0enwwlksnge1
Dummy variables 𝑖 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12479 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 wwlksn 29091 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)})
31, 2syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)})
43adantl 483 . 2 (((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)})
5 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
6 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
75, 6iswwlks 29090 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
9 pncan1 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
11 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1210, 11eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) ∈ β„•)
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) ∈ β„•)
1413adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) ∈ β„•)
15 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
1615eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) β†’ (((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„• ↔ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) ∈ β„•))
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„• ↔ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) ∈ β„•))
1814, 17mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„•)
19 lbfzo0 13672 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)) ↔ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„•)
2018, 19sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ 0 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)))
21 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 β†’ (π‘€β€˜π‘–) = (π‘€β€˜0))
22 fv0p1e1 12335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 β†’ (π‘€β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘€β€˜1))
2321, 22preq12d 4746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 0 β†’ {(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)})
2423eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 0 β†’ ({(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2524adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) ∧ 𝑖 = 0) β†’ ({(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2620, 25rspcdv 3605 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
27 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . 13 ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… β†’ ({(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ βˆ…))
28 noel 4331 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ βˆ…
2928pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . 13 ({(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ βˆ… β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1))
3027, 29syl6bi 253 . . . . . . . . . . . 12 ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… β†’ ({(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
3130adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ({(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
3231adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ({(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
3326, 32syldc 48 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
34333ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
3534com12 32 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
367, 35biimtrid 241 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
3736expimpd 455 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) β†’ ((((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
38 ax-1 6 . . . . 5 (Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) β†’ ((((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
3937, 38pm2.61i 182 . . . 4 ((((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1))
4039ralrimiva 3147 . . 3 (((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (WWalksβ€˜πΊ) Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1))
41 rabeq0 4385 . . 3 ({𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ (WWalksβ€˜πΊ) Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1))
4240, 41sylibr 233 . 2 (((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ {𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)} = βˆ…)
434, 42eqtrd 2773 1 (((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 WWalksN 𝐺) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433  βˆ…c0 4323  {cpr 4631  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307  WWalkscwwlks 29079   WWalksN cwwlksn 29080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-wwlks 29084  df-wwlksn 29085
This theorem is referenced by:  rusgr0edg  29227
  Copyright terms: Public domain W3C validator