MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0enwwlksnge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0enwwlksnge1 29385
Description: In graphs without edges, there are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
0enwwlksnge1 (((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 WWalksN 𝐺) = βˆ…)

Proof of Theorem 0enwwlksnge1
Dummy variables 𝑖 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12483 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 wwlksn 29358 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)})
31, 2syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)})
43adantl 480 . 2 (((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)})
5 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
6 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
75, 6iswwlks 29357 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
9 pncan1 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
11 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1210, 11eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) ∈ β„•)
1312adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) ∈ β„•)
1413adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) ∈ β„•)
15 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
1615eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) β†’ (((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„• ↔ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) ∈ β„•))
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„• ↔ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) ∈ β„•))
1814, 17mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„•)
19 lbfzo0 13676 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)) ↔ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„•)
2018, 19sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ 0 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)))
21 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 β†’ (π‘€β€˜π‘–) = (π‘€β€˜0))
22 fv0p1e1 12339 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 β†’ (π‘€β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘€β€˜1))
2321, 22preq12d 4744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 0 β†’ {(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)})
2423eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 0 β†’ ({(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2524adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) ∧ 𝑖 = 0) β†’ ({(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2620, 25rspcdv 3603 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
27 eleq2 2820 . . . . . . . . . . . . 13 ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… β†’ ({(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ βˆ…))
28 noel 4329 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ βˆ…
2928pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . 13 ({(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ βˆ… β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1))
3027, 29syl6bi 252 . . . . . . . . . . . 12 ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… β†’ ({(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
3130adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ({(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
3231adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ({(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
3326, 32syldc 48 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
34333ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
3534com12 32 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ ((𝑀 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
367, 35biimtrid 241 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
3736expimpd 452 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) β†’ ((((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
38 ax-1 6 . . . . 5 (Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1) β†’ ((((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)))
3937, 38pm2.61i 182 . . . 4 ((((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1))
4039ralrimiva 3144 . . 3 (((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (WWalksβ€˜πΊ) Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1))
41 rabeq0 4383 . . 3 ({𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ (WWalksβ€˜πΊ) Β¬ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1))
4240, 41sylibr 233 . 2 (((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ {𝑀 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∣ (β™―β€˜π‘€) = (𝑁 + 1)} = βˆ…)
434, 42eqtrd 2770 1 (((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 WWalksN 𝐺) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  {crab 3430  βˆ…c0 4321  {cpr 4629  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Word cword 14468  Vtxcvtx 28523  Edgcedg 28574  WWalkscwwlks 29346   WWalksN cwwlksn 29347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-wwlks 29351  df-wwlksn 29352
This theorem is referenced by:  rusgr0edg  29494
  Copyright terms: Public domain W3C validator