MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0enwwlksnge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0enwwlksnge1 27636
Description: In graphs without edges, there are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
0enwwlksnge1 (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem 0enwwlksnge1
Dummy variables 𝑖 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11898 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 wwlksn 27609 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
31, 2syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
43adantl 484 . 2 (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)})
5 eqid 2821 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6 eqid 2821 . . . . . . . 8 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
75, 6iswwlks 27608 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8 nncn 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
9 pncan1 11058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
1210, 11eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
1312adantl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
1413adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ)
15 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑤) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
1615eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ))
1716adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ))
1814, 17mpbird 259 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ)
19 lbfzo0 13071 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) ↔ ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℕ)
2018, 19sylibr 236 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)))
21 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 → (𝑤𝑖) = (𝑤‘0))
22 fv0p1e1 11754 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘1))
2321, 22preq12d 4670 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 0 → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘0), (𝑤‘1)})
2423eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 0 → ({(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
2524adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 = 0) → ({(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
2620, 25rspcdv 3614 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
27 eleq2 2901 . . . . . . . . . . . . 13 ((Edg‘𝐺) = ∅ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅))
28 noel 4295 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅
2928pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . 13 ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ ∅ → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
3027, 29syl6bi 255 . . . . . . . . . . . 12 ((Edg‘𝐺) = ∅ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
3130adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
3231adantl 484 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
3326, 32syldc 48 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
34333ad2ant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
3534com12 32 . . . . . . 7 (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
367, 35syl5bi 244 . . . . . 6 (((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) ∧ ((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
3736expimpd 456 . . . . 5 ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
38 ax-1 6 . . . . 5 (¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
3937, 38pm2.61i 184 . . . 4 ((((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
4039ralrimiva 3182 . . 3 (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
41 rabeq0 4337 . . 3 ({𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ¬ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1))
4240, 41sylibr 236 . 2 (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = (𝑁 + 1)} = ∅)
434, 42eqtrd 2856 1 (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wral 3138  {crab 3142  c0 4290  {cpr 4562  cfv 6349  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  cmin 10864  cn 11632  0cn0 11891  ..^cfzo 13027  chash 13684  Word cword 13855  Vtxcvtx 26775  Edgcedg 26826  WWalkscwwlks 27597   WWalksN cwwlksn 27598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-wwlks 27602  df-wwlksn 27603
This theorem is referenced by:  rusgr0edg  27746
  Copyright terms: Public domain W3C validator