Theorem idsrngd 20741

Description: A commutative ring is a star ring when the conjugate operation is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idsrngd.k	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
idsrngd.c	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
idsrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
idsrngd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
idsrngd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring)

Distinct variable groups:   𝑥, ∗   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Proof of Theorem idsrngd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idsrngd.k	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		eqidd 2730	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
4		eqidd 2730	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
5		idsrngd.c	. . 3 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∗ = (*𝑟‘𝑅))
7		idsrngd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8		crngring 20130	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		idsrngd.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
11	10	ralrimiva 3121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑎)
15	14	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘𝑎))
16	15, 14	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎))
17	13, 16	rspcdv 3569	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎))
18	12, 17	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎)
19	18, 13	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) ∈ 𝐵)
20	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
21	20	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
22		ringgrp 20123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23	9, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
25	1, 24	grpcl 18820	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
26	23, 25	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
27		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
28	27	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
29	28, 27	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
30	26, 29	rspcdv 3569	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
31	21, 30	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
32	18	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎)
33		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
34		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑏)
35	34	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘𝑏))
36	35, 34	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏))
37	33, 36	rspcdv 3569	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏))
38	20, 37	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏)
39	38	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏)
40	32, 39	oveq12d 7367	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (( ∗ ‘𝑎)(+g‘𝑅)( ∗ ‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
41	31, 40	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (( ∗ ‘𝑎)(+g‘𝑅)( ∗ ‘𝑏)))
42		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
43	1, 42	crngcom 20136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
44	7, 43	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
45	1, 42	ringcl 20135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
46	9, 45	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
47		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
48	47	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
49	48, 47	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
50	46, 49	rspcdv 3569	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
51	21, 50	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
52	39, 32	oveq12d 7367	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (( ∗ ‘𝑏)(.r‘𝑅)( ∗ ‘𝑎)) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
53	44, 51, 52	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (( ∗ ‘𝑏)(.r‘𝑅)( ∗ ‘𝑎)))
54	18	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑎)) = ( ∗ ‘𝑎))
55	54, 18	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑎)) = 𝑎)
56	2, 3, 4, 6, 9, 19, 41, 53, 55	issrngd 20740	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  *_𝑟cstv 17163  Grpcgrp 18812  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119  *-Ringcsr 20723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-ghm 19092  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-rhm 20357  df-staf 20724  df-srng 20725

This theorem is referenced by:  resrng  21528  frlmphl  21688