Theorem idsrngd 20940

Description: A commutative ring is a star ring when the conjugate operation is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idsrngd.k	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
idsrngd.c	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
idsrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
idsrngd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
idsrngd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring)

Distinct variable groups:   𝑥, ∗   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Proof of Theorem idsrngd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idsrngd.k	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
4		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
5		idsrngd.c	. . 3 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∗ = (*𝑟‘𝑅))
7		idsrngd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8		crngring 20328	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		idsrngd.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
11	10	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
12	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
13		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
14		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑎)
15	14	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘𝑎))
16	15, 14	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎))
17	13, 16	rspcdv 3574	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎))
18	12, 17	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎)
19	18, 13	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) ∈ 𝐵)
20	11	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
21	20	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
22		ringgrp 20321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23	9, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
25	1, 24	grpcl 19009	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
26	23, 25	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
27		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
28	27	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
29	28, 27	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
30	26, 29	rspcdv 3574	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
31	21, 30	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
32	18	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎)
33		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
34		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑏)
35	34	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘𝑏))
36	35, 34	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏))
37	33, 36	rspcdv 3574	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏))
38	20, 37	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏)
39	38	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏)
40	32, 39	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (( ∗ ‘𝑎)(+g‘𝑅)( ∗ ‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
41	31, 40	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (( ∗ ‘𝑎)(+g‘𝑅)( ∗ ‘𝑏)))
42		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
43	1, 42	crngcom 20334	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
44	7, 43	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
45	1, 42	ringcl 20333	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
46	9, 45	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
47		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
48	47	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
49	48, 47	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
50	46, 49	rspcdv 3574	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
51	21, 50	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
52	39, 32	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (( ∗ ‘𝑏)(.r‘𝑅)( ∗ ‘𝑎)) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
53	44, 51, 52	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (( ∗ ‘𝑏)(.r‘𝑅)( ∗ ‘𝑎)))
54	18	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑎)) = ( ∗ ‘𝑎))
55	54, 18	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑎)) = 𝑎)
56	2, 3, 4, 6, 9, 19, 41, 53, 55	issrngd 20939	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  *_𝑟cstv 17313  Grpcgrp 19001  Ringcrg 20316  CRingccrg 20317  *-Ringcsr 20922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-ghm 19285  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-rhm 20555  df-staf 20923  df-srng 20924

This theorem is referenced by:  resrng  21752  frlmphl  21912