Theorem idsrngd 20996

Description: A commutative ring is a star ring when the conjugate operation is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idsrngd.k	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
idsrngd.c	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
idsrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
idsrngd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
idsrngd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring)

Distinct variable groups:   𝑥, ∗   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Proof of Theorem idsrngd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idsrngd.k	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		eqidd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
4		eqidd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
5		idsrngd.c	. . 3 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∗ = (*𝑟‘𝑅))
7		idsrngd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8		crngring 20358	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		idsrngd.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
11	10	ralrimiva 3160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
14		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑎)
15	14	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘𝑎))
16	15, 14	eqeq12d 2782	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎))
17	13, 16	rspcdv 3576	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎))
18	12, 17	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎)
19	18, 13	eqeltrd 2866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) ∈ 𝐵)
20	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
21	20	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
22		ringgrp 20351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23	9, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
25	1, 24	grpcl 19039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
26	23, 25	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
27		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
28	27	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
29	28, 27	eqeq12d 2782	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
30	26, 29	rspcdv 3576	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
31	21, 30	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
32	18	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎)
33		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
34		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑏)
35	34	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘𝑏))
36	35, 34	eqeq12d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏))
37	33, 36	rspcdv 3576	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏))
38	20, 37	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏)
39	38	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏)
40	32, 39	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (( ∗ ‘𝑎)(+g‘𝑅)( ∗ ‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
41	31, 40	eqtr4d 2804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (( ∗ ‘𝑎)(+g‘𝑅)( ∗ ‘𝑏)))
42		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
43	1, 42	crngcom 20364	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
44	7, 43	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
45	1, 42	ringcl 20363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
46	9, 45	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
47		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
48	47	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
49	48, 47	eqeq12d 2782	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
50	46, 49	rspcdv 3576	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
51	21, 50	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
52	39, 32	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (( ∗ ‘𝑏)(.r‘𝑅)( ∗ ‘𝑎)) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
53	44, 51, 52	3eqtr4d 2811	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (( ∗ ‘𝑏)(.r‘𝑅)( ∗ ‘𝑎)))
54	18	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑎)) = ( ∗ ‘𝑎))
55	54, 18	eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑎)) = 𝑎)
56	2, 3, 4, 6, 9, 19, 41, 53, 55	issrngd 20995	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  ._rcmulr 17336  *_𝑟cstv 17337  Grpcgrp 19031  Ringcrg 20346  CRingccrg 20347  *-Ringcsr 20978

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-ghm 19315  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-oppr 20452  df-rhm 20587  df-staf 20979  df-srng 20980

This theorem is used by:  resrng  21808  frlmphl  21968