Theorem idsrngd 21146

Description: A commutative ring is a star ring when the conjugate operation is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idsrngd.k	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
idsrngd.c	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
idsrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
idsrngd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
idsrngd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring)

Distinct variable groups:   𝑥, ∗   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Proof of Theorem idsrngd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idsrngd.k	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
4		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
5		idsrngd.c	. . 3 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∗ = (*𝑟‘𝑅))
7		idsrngd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8		crngring 20505	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		idsrngd.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
11	10	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
14		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑎)
15	14	fveq2d 6915	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘𝑎))
16	15, 14	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎))
17	13, 16	rspcdv 3572	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎))
18	12, 17	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎)
19	18, 13	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) ∈ 𝐵)
20	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
21	20	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
22		ringgrp 20497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23	9, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
25	1, 24	grpcl 19184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
26	23, 25	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
27		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
28	27	fveq2d 6915	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
29	28, 27	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
30	26, 29	rspcdv 3572	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
31	21, 30	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
32	18	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎)
33		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
34		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑏)
35	34	fveq2d 6915	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘𝑏))
36	35, 34	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏))
37	33, 36	rspcdv 3572	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏))
38	20, 37	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏)
39	38	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏)
40	32, 39	oveq12d 7464	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (( ∗ ‘𝑎)(+g‘𝑅)( ∗ ‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
41	31, 40	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (( ∗ ‘𝑎)(+g‘𝑅)( ∗ ‘𝑏)))
42		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
43	1, 42	crngcom 20511	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
44	7, 43	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
45	1, 42	ringcl 20510	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
46	9, 45	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
47		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
48	47	fveq2d 6915	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
49	48, 47	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
50	46, 49	rspcdv 3572	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
51	21, 50	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
52	39, 32	oveq12d 7464	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (( ∗ ‘𝑏)(.r‘𝑅)( ∗ ‘𝑎)) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
53	44, 51, 52	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (( ∗ ‘𝑏)(.r‘𝑅)( ∗ ‘𝑎)))
54	18	fveq2d 6915	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑎)) = ( ∗ ‘𝑎))
55	54, 18	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑎)) = 𝑎)
56	2, 3, 4, 6, 9, 19, 41, 53, 55	issrngd 21145	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  ._rcmulr 17461  *_𝑟cstv 17462  Grpcgrp 19176  Ringcrg 20492  CRingccrg 20493  *-Ringcsr 21128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-ghm 19460  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-oppr 20600  df-rhm 20735  df-staf 21129  df-srng 21130

This theorem is used by:  resrng  21960  frlmphl  22120