Theorem idsrngd 20037

Description: A commutative ring is a star ring when the conjugate operation is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idsrngd.k	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
idsrngd.c	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
idsrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
idsrngd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
idsrngd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring)

Distinct variable groups:   𝑥, ∗   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Proof of Theorem idsrngd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idsrngd.k	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
4		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
5		idsrngd.c	. . 3 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∗ = (*𝑟‘𝑅))
7		idsrngd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8		crngring 19710	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		idsrngd.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
11	10	ralrimiva 3107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑎)
15	14	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘𝑎))
16	15, 14	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎))
17	13, 16	rspcdv 3543	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎))
18	12, 17	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎)
19	18, 13	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) ∈ 𝐵)
20	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
21	20	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
22		ringgrp 19703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23	9, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
25	1, 24	grpcl 18500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
26	23, 25	syl3an1 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
27		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
28	27	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
29	28, 27	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
30	26, 29	rspcdv 3543	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
31	21, 30	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
32	18	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑎) = 𝑎)
33		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
34		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑏)
35	34	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘𝑏))
36	35, 34	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏))
37	33, 36	rspcdv 3543	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏))
38	20, 37	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏)
39	38	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑏) = 𝑏)
40	32, 39	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (( ∗ ‘𝑎)(+g‘𝑅)( ∗ ‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
41	31, 40	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (( ∗ ‘𝑎)(+g‘𝑅)( ∗ ‘𝑏)))
42		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
43	1, 42	crngcom 19716	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
44	7, 43	syl3an1 1161	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
45	1, 42	ringcl 19715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
46	9, 45	syl3an1 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
47		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
48	47	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → ( ∗ ‘𝑥) = ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
49	48, 47	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) → (( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 ↔ ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
50	46, 49	rspcdv 3543	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥 → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)))
51	21, 50	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
52	39, 32	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (( ∗ ‘𝑏)(.r‘𝑅)( ∗ ‘𝑎)) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑎))
53	44, 51, 52	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (( ∗ ‘𝑏)(.r‘𝑅)( ∗ ‘𝑎)))
54	18	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑎)) = ( ∗ ‘𝑎))
55	54, 18	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝑎)) = 𝑎)
56	2, 3, 4, 6, 9, 19, 41, 53, 55	issrngd 20036	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ *-Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  *_𝑟cstv 16890  Grpcgrp 18492  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699  *-Ringcsr 20019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-grp 18495  df-ghm 18747  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-rnghom 19874  df-staf 20020  df-srng 20021

This theorem is referenced by:  recrng  20738  frlmphl  20898