MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idsrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idsrngd 20749
Description: A commutative ring is a star ring when the conjugate operation is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
idsrngd.k 𝐵 = (Base‘𝑅)
idsrngd.c = (*𝑟𝑅)
idsrngd.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
idsrngd.i ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
Assertion
Ref Expression
idsrngd (𝜑𝑅 ∈ *-Ring)
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Proof of Theorem idsrngd
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idsrngd.k . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
3 eqidd 2729 . 2 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝑅))
4 eqidd 2729 . 2 (𝜑 → (.r𝑅) = (.r𝑅))
5 idsrngd.c . . 3 = (*𝑟𝑅)
65a1i 11 . 2 (𝜑 = (*𝑟𝑅))
7 idsrngd.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
8 crngring 20192 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 idsrngd.i . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
1110ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥)
1211adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥)
13 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝐵)
14 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑎)
1514fveq2d 6906 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → ( 𝑥) = ( 𝑎))
1615, 14eqeq12d 2744 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (( 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 𝑎) = 𝑎))
1713, 16rspcdv 3603 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥 → ( 𝑎) = 𝑎))
1812, 17mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → ( 𝑎) = 𝑎)
1918, 13eqeltrd 2829 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → ( 𝑎) ∈ 𝐵)
2011adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → ∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥)
21203adant2 1128 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → ∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥)
22 ringgrp 20185 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
239, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
24 eqid 2728 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
251, 24grpcl 18905 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
2623, 25syl3an1 1160 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
27 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏)) → 𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏))
2827fveq2d 6906 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏)) → ( 𝑥) = ( ‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)))
2928, 27eqeq12d 2744 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏)) → (( 𝑥) = 𝑥 ↔ ( ‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g𝑅)𝑏)))
3026, 29rspcdv 3603 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥 → ( ‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g𝑅)𝑏)))
3121, 30mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → ( ‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g𝑅)𝑏))
32183adant3 1129 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → ( 𝑎) = 𝑎)
33 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
34 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑏)
3534fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → ( 𝑥) = ( 𝑏))
3635, 34eqeq12d 2744 . . . . . . 7 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (( 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 𝑏) = 𝑏))
3733, 36rspcdv 3603 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → (∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥 → ( 𝑏) = 𝑏))
3820, 37mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → ( 𝑏) = 𝑏)
39383adant2 1128 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → ( 𝑏) = 𝑏)
4032, 39oveq12d 7444 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (( 𝑎)(+g𝑅)( 𝑏)) = (𝑎(+g𝑅)𝑏))
4131, 40eqtr4d 2771 . 2 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → ( ‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (( 𝑎)(+g𝑅)( 𝑏)))
42 eqid 2728 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
431, 42crngcom 20198 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
447, 43syl3an1 1160 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
451, 42ringcl 20197 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
469, 45syl3an1 1160 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
47 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝑏)) → 𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
4847fveq2d 6906 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝑏)) → ( 𝑥) = ( ‘(𝑎(.r𝑅)𝑏)))
4948, 47eqeq12d 2744 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝑏)) → (( 𝑥) = 𝑥 ↔ ( ‘(𝑎(.r𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r𝑅)𝑏)))
5046, 49rspcdv 3603 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥 → ( ‘(𝑎(.r𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r𝑅)𝑏)))
5121, 50mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → ( ‘(𝑎(.r𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
5239, 32oveq12d 7444 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (( 𝑏)(.r𝑅)( 𝑎)) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
5344, 51, 523eqtr4d 2778 . 2 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → ( ‘(𝑎(.r𝑅)𝑏)) = (( 𝑏)(.r𝑅)( 𝑎)))
5418fveq2d 6906 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → ( ‘( 𝑎)) = ( 𝑎))
5554, 18eqtrd 2768 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → ( ‘( 𝑎)) = 𝑎)
562, 3, 4, 6, 9, 19, 41, 53, 55issrngd 20748 1 (𝜑𝑅 ∈ *-Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241  *𝑟cstv 17242  Grpcgrp 18897  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  *-Ringcsr 20731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-ghm 19175  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-rhm 20418  df-staf 20732  df-srng 20733
This theorem is referenced by:  resrng  21560  frlmphl  21722
  Copyright terms: Public domain W3C validator