Theorem wlkiswwlks2lem5 29846

Description: Lemma 5 for wlkiswwlks2 29848. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 10-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkiswwlks2lem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
wlkiswwlks2lem.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkiswwlks2lem5	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑃,𝑖   𝑖,𝑉,𝑥   𝑖,𝐸   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem wlkiswwlks2lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkiswwlks2lem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2	1	uspgrf1oedg 29146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
3	1	rneqi 5872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐸 = ran (iEdg‘𝐺)
4		edgval 29022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
5	3, 4	eqtr4i 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → ran 𝐸 = (Edg‘𝐺))
7	6	f1oeq3d 6755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺)))
8	2, 7	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
10	9	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
11		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
12		fveq2 6817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑥))
13		fvoveq1 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑥 + 1)))
14	12, 13	preq12d 4689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
15	14	eleq1d 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
16	15	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ 𝑖 = 𝑥) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
17	11, 16	rspcdv 3564	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
18	17	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
19	18	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)
20		f1ocnvdm 7214	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
21	10, 19, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
22		wlkiswwlks2lem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
23	21, 22	fmptd 7042	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → 𝐹:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸)
24		iswrdi 14419	. . 3 ⊢ (𝐹:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
25	23, 24	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
26	25	ex 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {cpr 4573   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5610  dom cdm 5611  ran crn 5612  ⟶wf 6472  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   ≤ cle 11142   − cmin 11339  ..^cfzo 13549  ♯chash 14232  Word cword 14415  iEdgciedg 28970  Edgcedg 29020  USPGraphcuspgr 29121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-word 14416  df-edg 29021  df-uspgr 29123

This theorem is referenced by:  wlkiswwlks2lem6  29847