Theorem wlkiswwlks2lem5 30203

Description: Lemma 5 for wlkiswwlks2 30205. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 10-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkiswwlks2lem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
wlkiswwlks2lem.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkiswwlks2lem5	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑃,𝑖   𝑖,𝑉,𝑥   𝑖,𝐸   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem wlkiswwlks2lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkiswwlks2lem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2	1	uspgrf1oedg 29504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
3	1	rneqi 5929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐸 = ran (iEdg‘𝐺)
4		edgval 29380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
5	3, 4	eqtr4i 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → ran 𝐸 = (Edg‘𝐺))
7	6	f1oeq3d 6819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→(Edg‘𝐺)))
8	2, 7	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
10	9	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
11		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
12		fveq2 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑥))
13		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑥 + 1)))
14	12, 13	preq12d 4708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
15	14	eleq1d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
16	15	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) ∧ 𝑖 = 𝑥) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
17	11, 16	rspcdv 3574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
18	17	impancom 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
19	18	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)
20		f1ocnvdm 7285	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
21	10, 19, 20	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
22		wlkiswwlks2lem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
23	21, 22	fmptd 7111	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → 𝐹:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸)
24		iswrdi 14556	. . 3 ⊢ (𝐹:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
25	23, 24	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
26	25	ex 417	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {cpr 4592   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   ≤ cle 11245   − cmin 11442  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552  iEdgciedg 29328  Edgcedg 29378  USPGraphcuspgr 29479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-word 14553  df-edg 29379  df-uspgr 29481

This theorem is referenced by:  wlkiswwlks2lem6  30204