Theorem orvcelel 34614

Description: Preimage maps produced by the membership relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcelel.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)

Assertion

Ref	Expression
orvcelel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvcelel

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		dstrvprob.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3		orvcelel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
4	1, 2, 3	orvcelval 34613	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))
5	1, 2	rrvfinvima 34594	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐴) → 𝑎 = 𝐴)
7	6	imaeq2d 6025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐴) → (◡𝑋 “ 𝑎) = (◡𝑋 “ 𝐴))
8	7	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐴) → ((◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃 ↔ (◡𝑋 “ 𝐴) ∈ dom 𝑃))
9	3, 8	rspcdv 3556	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃 → (◡𝑋 “ 𝐴) ∈ dom 𝑃))
10	5, 9	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ 𝐴) ∈ dom 𝑃)
11	4, 10	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   E cep 5530  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  𝔅_ℝcbrsiga 34325  Probcprb 34551  rRndVarcrrv 34584  ∘_RV/𝑐corvc 34600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-ioo 13302  df-topgen 17406  df-top 22859  df-bases 22911  df-esum 34172  df-siga 34253  df-sigagen 34283  df-brsiga 34326  df-meas 34340  df-mbfm 34394  df-prob 34552  df-rrv 34585  df-orvc 34601

This theorem is referenced by:  dstrvprob  34616