Theorem orvcelel 32436

Description: Preimage maps produced by the membership relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcelel.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)

Assertion

Ref	Expression
orvcelel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvcelel

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		dstrvprob.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3		orvcelel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
4	1, 2, 3	orvcelval 32435	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))
5	1, 2	rrvfinvima 32417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
6		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐴) → 𝑎 = 𝐴)
7	6	imaeq2d 5969	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐴) → (◡𝑋 “ 𝑎) = (◡𝑋 “ 𝐴))
8	7	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐴) → ((◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃 ↔ (◡𝑋 “ 𝐴) ∈ dom 𝑃))
9	3, 8	rspcdv 3553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃 → (◡𝑋 “ 𝐴) ∈ dom 𝑃))
10	5, 9	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ 𝐴) ∈ dom 𝑃)
11	4, 10	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   E cep 5494  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  𝔅_ℝcbrsiga 32149  Probcprb 32374  rRndVarcrrv 32407  ∘_RV/𝑐corvc 32422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ioo 13083  df-topgen 17154  df-top 22043  df-bases 22096  df-esum 31996  df-siga 32077  df-sigagen 32107  df-brsiga 32150  df-meas 32164  df-mbfm 32218  df-prob 32375  df-rrv 32408  df-orvc 32423

This theorem is referenced by:  dstrvprob  32438