Theorem orvcelel 34647

Description: Preimage maps produced by the membership relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcelel.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)

Assertion

Ref	Expression
orvcelel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvcelel

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		dstrvprob.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3		orvcelel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
4	1, 2, 3	orvcelval 34646	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))
5	1, 2	rrvfinvima 34627	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐴) → 𝑎 = 𝐴)
7	6	imaeq2d 6027	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐴) → (◡𝑋 “ 𝑎) = (◡𝑋 “ 𝐴))
8	7	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐴) → ((◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃 ↔ (◡𝑋 “ 𝐴) ∈ dom 𝑃))
9	3, 8	rspcdv 3570	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃 → (◡𝑋 “ 𝐴) ∈ dom 𝑃))
10	5, 9	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ 𝐴) ∈ dom 𝑃)
11	4, 10	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   E cep 5531  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632   “ cima 5635  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  𝔅_ℝcbrsiga 34358  Probcprb 34584  rRndVarcrrv 34617  ∘_RV/𝑐corvc 34633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-ioo 13277  df-topgen 17375  df-top 22850  df-bases 22902  df-esum 34205  df-siga 34286  df-sigagen 34316  df-brsiga 34359  df-meas 34373  df-mbfm 34427  df-prob 34585  df-rrv 34618  df-orvc 34634

This theorem is referenced by:  dstrvprob  34649