Theorem orvcelel 34728

Description: Preimage maps produced by the membership relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcelel.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)

Assertion

Ref	Expression
orvcelel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvcelel

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		dstrvprob.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3		orvcelel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
4	1, 2, 3	orvcelval 34727	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))
5	1, 2	rrvfinvima 34708	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
6		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐴) → 𝑎 = 𝐴)
7	6	imaeq2d 6045	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐴) → (◡𝑋 “ 𝑎) = (◡𝑋 “ 𝐴))
8	7	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 𝐴) → ((◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃 ↔ (◡𝑋 “ 𝐴) ∈ dom 𝑃))
9	3, 8	rspcdv 3572	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃 → (◡𝑋 “ 𝐴) ∈ dom 𝑃))
10	5, 9	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ 𝐴) ∈ dom 𝑃)
11	4, 10	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   E cep 5542  ^◡ccnv 5642  dom cdm 5643   “ cima 5646  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  𝔅_ℝcbrsiga 34439  Probcprb 34665  rRndVarcrrv 34698  ∘_RV/𝑐corvc 34714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-ioo 13347  df-topgen 17463  df-top 22942  df-bases 22994  df-esum 34286  df-siga 34367  df-sigagen 34397  df-brsiga 34440  df-meas 34454  df-mbfm 34508  df-prob 34666  df-rrv 34699  df-orvc 34715

This theorem is referenced by:  dstrvprob  34730