Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlknllvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlknllvtx 27618
 Description: If a word 𝑊 represents a walk of a fixed length 𝑁, then the first and the last symbol of the word is a vertex. (Contributed by AV, 14-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlknllvtx.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlknllvtx (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊𝑁) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem wwlknllvtx
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknbp1 27616 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2 wwlknvtx 27617 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺))
3 0elfz 12998 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
4 fveq2 6665 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑊𝑥) = (𝑊‘0))
54eleq1d 2897 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
65adantl 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 = 0) → ((𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
73, 6rspcdv 3615 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
8 nn0fz0 12999 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
98biimpi 218 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
10 fveq2 6665 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑊𝑥) = (𝑊𝑁))
1110eleq1d 2897 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
1211adantl 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 = 𝑁) → ((𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
139, 12rspcdv 3615 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
147, 13jcad 515 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))))
15143ad2ant1 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))))
161, 2, 15sylc 65 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
17 wwlknllvtx.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1817eleq2i 2904 . . 3 ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
1917eleq2i 2904 . . 3 ((𝑊𝑁) ∈ 𝑉 ↔ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))
2018, 19anbi12i 628 . 2 (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊𝑁) ∈ 𝑉) ↔ ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
2116, 20sylibr 236 1 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊𝑁) ∈ 𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  ℕ0cn0 11891  ...cfz 12886  ♯chash 13684  Word cword 13855  Vtxcvtx 26775   WWalksN cwwlksn 27598 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-wwlks 27602  df-wwlksn 27603 This theorem is referenced by:  iswwlksnon  27625
 Copyright terms: Public domain W3C validator