MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlknllvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlknllvtx 27954
Description: If a word 𝑊 represents a walk of a fixed length 𝑁, then the first and the last symbol of the word is a vertex. (Contributed by AV, 14-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlknllvtx.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlknllvtx (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊𝑁) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem wwlknllvtx
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknbp1 27952 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2 wwlknvtx 27953 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺))
3 0elfz 13233 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
4 fveq2 6735 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑊𝑥) = (𝑊‘0))
54eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
65adantl 485 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 = 0) → ((𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
73, 6rspcdv 3541 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
8 nn0fz0 13234 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
98biimpi 219 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
10 fveq2 6735 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑊𝑥) = (𝑊𝑁))
1110eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
1211adantl 485 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 = 𝑁) → ((𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
139, 12rspcdv 3541 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
147, 13jcad 516 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))))
15143ad2ant1 1135 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))))
161, 2, 15sylc 65 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
17 wwlknllvtx.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1817eleq2i 2830 . . 3 ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
1917eleq2i 2830 . . 3 ((𝑊𝑁) ∈ 𝑉 ↔ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))
2018, 19anbi12i 630 . 2 (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊𝑁) ∈ 𝑉) ↔ ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
2116, 20sylibr 237 1 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊𝑁) ∈ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  wral 3062  cfv 6397  (class class class)co 7231  0cc0 10753  1c1 10754   + caddc 10756  0cn0 12114  ...cfz 13119  chash 13920  Word cword 14093  Vtxcvtx 27111   WWalksN cwwlksn 27934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-pss 3899  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4834  df-int 4874  df-iun 4920  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5469  df-eprel 5474  df-po 5482  df-so 5483  df-fr 5523  df-we 5525  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-pred 6175  df-ord 6233  df-on 6234  df-lim 6235  df-suc 6236  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-om 7663  df-1st 7779  df-2nd 7780  df-wrecs 8067  df-recs 8128  df-rdg 8166  df-1o 8222  df-er 8411  df-map 8530  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-fin 8650  df-card 9579  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-nn 11855  df-n0 12115  df-z 12201  df-uz 12463  df-fz 13120  df-fzo 13263  df-hash 13921  df-word 14094  df-wwlks 27938  df-wwlksn 27939
This theorem is referenced by:  iswwlksnon  27961
  Copyright terms: Public domain W3C validator