Theorem wwlknllvtx 29867

Description: If a word 𝑊 represents a walk of a fixed length 𝑁, then the first and the last symbol of the word is a vertex. (Contributed by AV, 14-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlknllvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlknllvtx	⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem wwlknllvtx

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp1 29865	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2		wwlknvtx 29866	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺))
3		0elfz 13665	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
4		fveq2 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘0))
5	4	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = 0) → ((𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
7	3, 6	rspcdv 3613	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
8		nn0fz0 13666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9	8	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
10		fveq2 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘𝑁))
11	10	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = 𝑁) → ((𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
13	9, 12	rspcdv 3613	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
14	7, 13	jcad 512	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))))
15	14	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))))
16	1, 2, 15	sylc 65	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
17		wwlknllvtx.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
18	17	eleq2i 2832	. . 3 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
19	17	eleq2i 2832	. . 3 ⊢ ((𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉 ↔ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))
20	18, 19	anbi12i 628	. 2 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉) ↔ ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
21	16, 20	sylibr 234	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13548  ♯chash 14370  Word cword 14553  Vtxcvtx 29014   WWalksN cwwlksn 29847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-wwlks 29851  df-wwlksn 29852

This theorem is referenced by:  iswwlksnon  29874