Theorem wwlknllvtx 30447

Description: If a word 𝑊 represents a walk of a fixed length 𝑁, then the first and the last symbol of the word is a vertex. (Contributed by AV, 14-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlknllvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlknllvtx	⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem wwlknllvtx

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp1 30445	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2		wwlknvtx 30446	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺))
3		0elfz 13768	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
4		fveq2 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘0))
5	4	eleq1d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
6	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = 0) → ((𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
7	3, 6	rspcdv 3571	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
8		nn0fz0 13769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9	8	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
10		fveq2 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘𝑁))
11	10	eleq1d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = 𝑁) → ((𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
13	9, 12	rspcdv 3571	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
14	7, 13	jcad 522	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))))
15	14	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))))
16	1, 2, 15	sylc 66	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
17		wwlknllvtx.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
18	17	eleq2i 2855	. . 3 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
19	17	eleq2i 2855	. . 3 ⊢ ((𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉 ↔ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))
20	18, 19	anbi12i 640	. 2 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉) ↔ ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
21	16, 20	sylibr 237	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213  ℕ₀cn0 12616  ...cfz 13649  ♯chash 14484  Word cword 14668  Vtxcvtx 29586   WWalksN cwwlksn 30427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-hash 14485  df-word 14669  df-wwlks 30431  df-wwlksn 30432

This theorem is used by:  iswwlksnon  30454