Theorem wwlknllvtx 29934

Description: If a word 𝑊 represents a walk of a fixed length 𝑁, then the first and the last symbol of the word is a vertex. (Contributed by AV, 14-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlknllvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlknllvtx	⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem wwlknllvtx

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp1 29932	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2		wwlknvtx 29933	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺))
3		0elfz 13573	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
4		fveq2 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘0))
5	4	eleq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
6	5	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = 0) → ((𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
7	3, 6	rspcdv 3553	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
8		nn0fz0 13574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9	8	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
10		fveq2 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘𝑁))
11	10	eleq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
12	11	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 = 𝑁) → ((𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
13	9, 12	rspcdv 3553	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
14	7, 13	jcad 518	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))))
15	14	3ad2ant1 1140	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊‘𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))))
16	1, 2, 15	sylc 65	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
17		wwlknllvtx.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
18	17	eleq2i 2833	. . 3 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
19	17	eleq2i 2833	. . 3 ⊢ ((𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉 ↔ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))
20	18, 19	anbi12i 635	. 2 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉) ↔ ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
21	16, 20	sylibr 236	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  0cc0 11034  1c1 11035   + caddc 11037  ℕ₀cn0 12432  ...cfz 13456  ♯chash 14287  Word cword 14470  Vtxcvtx 29085   WWalksN cwwlksn 29914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-wwlks 29918  df-wwlksn 29919

This theorem is referenced by:  iswwlksnon  29941