Theorem mpomulcn 24818

Description: Complex number multiplication is a continuous function. Version of mulcn 24816 using maps-to notation, which does not require ax-mulf 11110. (Contributed by GG, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpomulcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
mpomulcn	⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpomulcn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomulcn.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2		mpomulf 11125	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)):(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3		mulcn2 15523	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎))
4		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
5		simplll 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) → 𝑣 ∈ ℂ)
6		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑑 = 𝑢)
7	6	fvoveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (abs‘(𝑑 − 𝑏)) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
8	7	breq1d 5109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧))
9		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑒 = 𝑣)
10	9	fvoveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (abs‘(𝑒 − 𝑐)) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
11	10	breq1d 5109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤))
12	8, 11	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤)))
13		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑑 = 𝑢)
14	13	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑢 = 𝑑)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑒 = 𝑣)
16	15	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑣 = 𝑒)
17	14, 16	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑑 · 𝑒))
18		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) → 𝑢 ∈ ℂ)
19		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑣 ∈ ℂ)
20		tru 1546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ⊤
21		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑦))
22		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑣))
23	21, 22	cbvmpov 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)))
25		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → ⟨𝑢, 𝑣⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)
26		mulcl 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
27	26	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
28	24, 25, 27	fvmpopr2d 7522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑢, 𝑣⟩) = (𝑢 · 𝑣))
29	28	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
30	20, 29	mp3an1 1451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
31		df-ov 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
32	30, 31	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣))
33	18, 19, 32	syl2an2r 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣))
34	17, 33	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑑 · 𝑒) = (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣))
35	34	adantllr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑑 · 𝑒) = (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣))
36		df-ov 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐) = ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑏, 𝑐⟩)
37		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑏 · 𝑦))
38		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑏 · 𝑦) = (𝑏 · 𝑐))
39	37, 38	cbvmpov 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑏 ∈ ℂ, 𝑐 ∈ ℂ ↦ (𝑏 · 𝑐))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑏 ∈ ℂ, 𝑐 ∈ ℂ ↦ (𝑏 · 𝑐)))
41		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → ⟨𝑏, 𝑐⟩ = ⟨𝑏, 𝑐⟩)
42		mulcl 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 · 𝑐) ∈ ℂ)
43	42	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 · 𝑐) ∈ ℂ)
44	40, 41, 43	fvmpopr2d 7522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑏, 𝑐⟩) = (𝑏 · 𝑐))
45	36, 44	eqtr2id 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 · 𝑐) = (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))
46	45	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑏 · 𝑐) = (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))
47	35, 46	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐)) = ((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐)))
48	47	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) = (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))))
49	48	breq1d 5109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))
50	12, 49	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
51	5, 50	rspcdv 3569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) → (∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
52	4, 51	rspcimdv 3567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) → (∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
53	52	expimpd 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎)) → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
54	53	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → (𝑢 ∈ ℂ → (((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎)) → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))))
55	54	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎)) → (𝑢 ∈ ℂ → (𝑣 ∈ ℂ → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))))
56	55	ralrimdv 3135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎)) → (𝑢 ∈ ℂ → ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
57	56	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → (𝑢 ∈ ℂ → ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))))
58	57	ralrimdv 3135	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
59	58	reximdv 3152	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
60	59	reximdv 3152	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
61	3, 60	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))
62	1, 2, 61	addcnlem 24813	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  ℂcc 11028   · cmul 11035   < clt 11170   − cmin 11368  ℝ⁺crp 12909  abscabs 15161  TopOpenctopn 17345  ℂ_fldccnfld 21313   Cn ccn 23172   ×_t ctx 23508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-xms 24268  df-tms 24270

This theorem is referenced by:  divcn  24819  expcn  24823  divccn  24824  negcncf  24875  iihalf1cn  24886  iihalf2cn  24889  iimulcn  24894  icchmeo  24898  cnrehmeo  24911  reparphti  24956  mulcncf  25406  dvcnp2  25881  dvmulbr  25901  dvcobr  25909  cmvth  25955  dvfsumle  25986  dvfsumlem2  25993  plycn  26226  taylthlem2  26342  psercn2  26392  cxpcn  26714  efrlim  26939  rmulccn  34066  cvxpconn  35417  cvxsconn  35418  knoppcnlem10  36677  fprodcnlem  45881