Theorem mpomulcn 24987

Description: Complex number multiplication is a continuous function. Version of mulcn 24986 using maps-to notation, which does not require ax-mulf 11168. (Contributed by GG, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpomulcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
mpomulcn	⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpomulcn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomulcn.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2		mpomulf 11183	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)):(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3		mulcn2 15637	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎))
4		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
5		simplll 786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) → 𝑣 ∈ ℂ)
6		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑑 = 𝑢)
7	6	fvoveq1d 7422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (abs‘(𝑑 − 𝑏)) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
8	7	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧))
9		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑒 = 𝑣)
10	9	fvoveq1d 7422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (abs‘(𝑒 − 𝑐)) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
11	10	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤))
12	8, 11	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤)))
13		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑑 = 𝑢)
14	13	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑢 = 𝑑)
15		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑒 = 𝑣)
16	15	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑣 = 𝑒)
17	14, 16	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑑 · 𝑒))
18		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) → 𝑢 ∈ ℂ)
19		simplll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑣 ∈ ℂ)
20		tru 1567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ⊤
21		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑦))
22		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑣))
23	21, 22	cbvmpov 7495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)))
25		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → ⟨𝑢, 𝑣⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)
26		mulcl 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
27	26	3adant1 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
28	24, 25, 27	fvmpopr2d 7562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑢, 𝑣⟩) = (𝑢 · 𝑣))
29	28	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
30	20, 29	mp3an1 1472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
31		df-ov 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
32	30, 31	eqtr4di 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣))
33	18, 19, 32	syl2an2r 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣))
34	17, 33	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑑 · 𝑒) = (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣))
35	34	adantllr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑑 · 𝑒) = (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣))
36		df-ov 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐) = ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑏, 𝑐⟩)
37		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑏 · 𝑦))
38		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑏 · 𝑦) = (𝑏 · 𝑐))
39	37, 38	cbvmpov 7495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑏 ∈ ℂ, 𝑐 ∈ ℂ ↦ (𝑏 · 𝑐))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑏 ∈ ℂ, 𝑐 ∈ ℂ ↦ (𝑏 · 𝑐)))
41		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → ⟨𝑏, 𝑐⟩ = ⟨𝑏, 𝑐⟩)
42		mulcl 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 · 𝑐) ∈ ℂ)
43	42	3adant1 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 · 𝑐) ∈ ℂ)
44	40, 41, 43	fvmpopr2d 7562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑏, 𝑐⟩) = (𝑏 · 𝑐))
45	36, 44	eqtr2id 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 · 𝑐) = (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))
46	45	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑏 · 𝑐) = (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))
47	35, 46	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐)) = ((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐)))
48	47	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) = (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))))
49	48	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))
50	12, 49	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
51	5, 50	rspcdv 3576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) → (∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
52	4, 51	rspcimdv 3574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) → (∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
53	52	expimpd 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎)) → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
54	53	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → (𝑢 ∈ ℂ → (((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎)) → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))))
55	54	com13 89	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎)) → (𝑢 ∈ ℂ → (𝑣 ∈ ℂ → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))))
56	55	ralrimdv 3163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎)) → (𝑢 ∈ ℂ → ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
57	56	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → (𝑢 ∈ ℂ → ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))))
58	57	ralrimdv 3163	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
59	58	reximdv 3180	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
60	59	reximdv 3180	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
61	3, 60	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))
62	1, 2, 61	addcnlem 24983	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563  ⊤wtru 1564   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ⟨cop 4591   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  ℂcc 11086   · cmul 11093   < clt 11231   − cmin 11429  ℝ⁺crp 13007  abscabs 15275  TopOpenctopn 17464  ℂ_fldccnfld 21482   Cn ccn 23342   ×_t ctx 23678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-xms 24438  df-tms 24440

This theorem is referenced by:  divcn  24988  expcn  24992  divccn  24993  negcncf  25042  iihalf1cn  25052  iihalf2cn  25054  iimulcn  25058  icchmeo  25061  cnrehmeo  25073  reparphti  25117  mulcncf  25566  dvcnp2  26040  dvmulbr  26059  dvcobr  26066  cmvth  26111  dvfsumle  26141  dvfsumlem2  26147  plycn  26379  taylthlem2  26495  psercn2  26544  cxpcn  26868  efrlim  27092  rmulccn  34235  cvxpconn  35605  cvxsconn  35606  knoppcnlem10  36953  fprodcnlem  46173