Theorem crctcshwlkn0lem4 30448

Description: Lemma for crctcshwlkn0 30456. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem4	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑆,𝑖   𝜑,𝑖,𝑗   𝑥,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑖, 𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑄(𝑥, 𝑖, 𝑗)   𝑆(𝑗)   𝐹(𝑥, 𝑗)   𝐻(𝑥, 𝑖, 𝑗)   𝐼(𝑥, 𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
2		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
3		elfzoelz 13831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → 𝑗 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → 𝑗 ∈ ℂ)
5	4	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑗 ∈ ℂ)
6		elfzoelz 13831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℂ)
8	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑆 ∈ ℂ)
9		1cnd 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 1 ∈ ℂ)
10	5, 8, 9	add32d 11575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆))
11		elfzo1 13885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
12		elfzonn0 13880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
13		nnnn0 12651	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ0)
14		nn0addcl 12679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0)
15	14	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0))
16	12, 13, 15	syl2imc 42	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0))
17	16	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0))
18	11, 17	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0))
19	18	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0)
20		fzo0ss1 13862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
21	20	sseli 3909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
22		elfzo0 13873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
23	22	simp2bi 1164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	21, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑁 ∈ ℕ)
26		elfzo0 13873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)))
27		nn0re 12653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℝ)
28		nnre 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
29		nnre 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
30	28, 29	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
31	30	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
32	11, 31	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
33	27, 32	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
34		3anass 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ↔ (𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
35	33, 34	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36		ltaddsub 11828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑗 + 𝑆) < 𝑁 ↔ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)))
37	36	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
38	35, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
39	38	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
40	39	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁)))
41	40	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁)))
42	41	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))))
43	42	3imp 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
44	26, 43	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
45	44	impcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁)
46		elfzo0 13873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
47	19, 25, 45, 46	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ (0..^𝑁))
48	47	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ (0..^𝑁))
49		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
50	49	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
51		fvoveq1 7472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) + 1)))
52		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) → ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆))
53	52	fveq2d 6918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) → (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
54	51, 53	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
55	50, 54	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → ((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))))
56		2fveq3 6919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))
57	49	sneqd 4596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → {(𝑃‘𝑖)} = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))})
58	56, 57	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}))
59	58	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}))
60	50, 54	preq12d 4702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))})
61	56	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))
62	60, 61	sseq12d 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ↔ {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))))
63	55, 59, 62	ifpbi123d 1095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
64	48, 63	rspcdv 3572	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
65	10, 64	mpdan 700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
66	2, 65	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
67	66	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))))))
68	1, 67	mpid 45	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
69	68	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))))
70		elfzofz 13848	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)))
71		crctcshwlkn0lem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
72	2, 71	crctcshwlkn0lem2 30446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
73	70, 72	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
74		fzofzp1 13937	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)))
75	2, 71	crctcshwlkn0lem2 30446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
76	74, 75	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
77		crctcshwlkn0lem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
78	77	fveq1i 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝐻‘𝑗) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗)
79		crctcshwlkn0lem.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
80	79	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
81	2, 6	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
82	81	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑆 ∈ ℤ)
83		nnz 12752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
84	83	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
85		nnz 12752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℤ)
86	85	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℤ)
87	84, 86	zsubcld 12846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
88	13	nn0ge0d 12708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑆)
89	88	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑆)
90		subge02 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
91	29, 28, 90	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
92	89, 91	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁)
93	87, 84, 92	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
94	93	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
95	11, 94	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
96		eluz2 13009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)) ↔ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
97	95, 96	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)))
98		fzoss2 13860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)) → (0..^(𝑁 − 𝑆)) ⊆ (0..^𝑁))
99	2, 97, 98	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 − 𝑆)) ⊆ (0..^𝑁))
100	99	sselda 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
101		crctcshwlkn0lem.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
102	101	oveq2i 7460	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
103	100, 102	eleqtrdi 2874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
104		cshwidxmod 14994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
105	80, 82, 103, 104	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
106	101	eqcomi 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
107	106	oveq2i 7460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁)
108	17	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0)
109		nnm1nn0 12685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
110	109	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
111	110	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
112	27, 31	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
113	112, 34	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
114	113, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
115	13	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
116	115, 14	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0)
117	116	nn0zd 12756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
118	83	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
119	118	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
120		zltlem1 12787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑗 + 𝑆) < 𝑁 ↔ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
121	117, 119, 120	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) < 𝑁 ↔ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
122	121	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) < 𝑁 → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
123	114, 122	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
124	123	impancom 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
125	124	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
126	26, 125	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
127	126	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1))
128	108, 111, 127	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
129	11, 128	sylanb 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
130		elfz2nn0 13790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
131	129, 130	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
132		zaddcl 12774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
133	3, 6, 132	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
134		zmodid2 14077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = (𝑗 + 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 1))))
135	133, 25, 134	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = (𝑗 + 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 1))))
136	131, 135	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = (𝑗 + 𝑆))
137	2, 136	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = (𝑗 + 𝑆))
138	107, 137	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (𝑗 + 𝑆))
139	138	fveq2d 6918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))
140	105, 139	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))
141	78, 140	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝐻‘𝑗) = (𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))
142	141	fveq2d 6918	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))
143		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
144		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
145	143, 144	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → ((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))))
146		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))
147	143	sneqd 4596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → {(𝑄‘𝑗)} = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))})
148	146, 147	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → ((𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}))
149	143, 144	preq12d 4702	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))})
150	149, 146	sseq12d 3946	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → ({(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) ↔ {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))))
151	145, 148, 150	ifpbi123d 1095	. . . 4 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
152	73, 76, 142, 151	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
153	69, 152	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
154	153	ralrimiva 3158	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  if-wif 1078   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ifcif 4485  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   < clt 11380   ≤ cle 11381   − cmin 11578  ℕcn 12373  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731  ℤ_≥cuz 13003  ...cfz 13677  ..^cfzo 13826   mod cmo 14047  ♯chash 14513  Word cword 14697   cyclShift ccsh 14979

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-inf 9470  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-mod 14048  df-hash 14514  df-word 14698  df-concat 14755  df-substr 14829  df-pfx 14861  df-csh 14980

This theorem is used by:  crctcshwlkn0lem7  30451