Theorem crctcshwlkn0lem4 28079

Description: Lemma for crctcshwlkn0 28087. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem4	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑆,𝑖   𝜑,𝑖,𝑗   𝑥,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑄(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐻(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐼(𝑥,𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
2		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
3		elfzoelz 13316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → 𝑗 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → 𝑗 ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑗 ∈ ℂ)
6		elfzoelz 13316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑆 ∈ ℂ)
9		1cnd 10901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 1 ∈ ℂ)
10	5, 8, 9	add32d 11132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆))
11		elfzo1 13365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
12		elfzonn0 13360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
13		nnnn0 12170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ0)
14		nn0addcl 12198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0)
15	14	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0))
16	12, 13, 15	syl2imc 41	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0))
17	16	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0))
18	11, 17	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0))
19	18	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0)
20		fzo0ss1 13345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
21	20	sseli 3913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
22		elfzo0 13356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
23	22	simp2bi 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑁 ∈ ℕ)
26		elfzo0 13356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)))
27		nn0re 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℝ)
28		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
29		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
30	28, 29	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
31	30	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
32	11, 31	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
33	27, 32	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
34		3anass 1093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ↔ (𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
35	33, 34	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36		ltaddsub 11379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑗 + 𝑆) < 𝑁 ↔ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)))
37	36	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
38	35, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
39	38	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
40	39	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁)))
41	40	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁)))
42	41	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))))
43	42	3imp 1109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
44	26, 43	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
45	44	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁)
46		elfzo0 13356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
47	19, 25, 45, 46	syl3anbrc 1341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ (0..^𝑁))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ (0..^𝑁))
49		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
51		fvoveq1 7278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) + 1)))
52		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) → ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆))
53	52	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) → (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
54	51, 53	sylan9eqr 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
55	50, 54	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → ((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))))
56		2fveq3 6761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))
57	49	sneqd 4570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → {(𝑃‘𝑖)} = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))})
58	56, 57	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}))
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}))
60	50, 54	preq12d 4674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))})
61	56	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))
62	60, 61	sseq12d 3950	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ↔ {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))))
63	55, 59, 62	ifpbi123d 1076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
64	48, 63	rspcdv 3543	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
65	10, 64	mpdan 683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
66	2, 65	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
67	66	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))))))
68	1, 67	mpid 44	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
69	68	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))))
70		elfzofz 13331	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)))
71		crctcshwlkn0lem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
72	2, 71	crctcshwlkn0lem2 28077	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
73	70, 72	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
74		fzofzp1 13412	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)))
75	2, 71	crctcshwlkn0lem2 28077	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
76	74, 75	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
77		crctcshwlkn0lem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
78	77	fveq1i 6757	. . . . . 6 ⊢ (𝐻‘𝑗) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗)
79		crctcshwlkn0lem.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
80	79	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
81	2, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
82	81	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑆 ∈ ℤ)
83		nnz 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
85		nnz 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℤ)
86	85	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℤ)
87	84, 86	zsubcld 12360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
88	13	nn0ge0d 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑆)
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑆)
90		subge02 11421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
91	29, 28, 90	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
92	89, 91	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁)
93	87, 84, 92	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
94	93	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
95	11, 94	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
96		eluz2 12517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)) ↔ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
97	95, 96	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)))
98		fzoss2 13343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)) → (0..^(𝑁 − 𝑆)) ⊆ (0..^𝑁))
99	2, 97, 98	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 − 𝑆)) ⊆ (0..^𝑁))
100	99	sselda 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
101		crctcshwlkn0lem.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
102	101	oveq2i 7266	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
103	100, 102	eleqtrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
104		cshwidxmod 14444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
105	80, 82, 103, 104	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
106	101	eqcomi 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
107	106	oveq2i 7266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁)
108	17	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0)
109		nnm1nn0 12204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
110	109	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
112	27, 31	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
113	112, 34	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
114	113, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
115	13	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
116	115, 14	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0)
117	116	nn0zd 12353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
118	83	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
119	118	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
120		zltlem1 12303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑗 + 𝑆) < 𝑁 ↔ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
121	117, 119, 120	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) < 𝑁 ↔ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
122	121	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) < 𝑁 → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
123	114, 122	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
124	123	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
125	124	3adant2 1129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
126	26, 125	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
127	126	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1))
128	108, 111, 127	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
129	11, 128	sylanb 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
130		elfz2nn0 13276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
131	129, 130	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
132		zaddcl 12290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
133	3, 6, 132	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
134		zmodid2 13547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = (𝑗 + 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 1))))
135	133, 25, 134	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = (𝑗 + 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 1))))
136	131, 135	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = (𝑗 + 𝑆))
137	2, 136	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = (𝑗 + 𝑆))
138	107, 137	syl5eq 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (𝑗 + 𝑆))
139	138	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))
140	105, 139	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))
141	78, 140	syl5eq 2791	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝐻‘𝑗) = (𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))
142	141	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))
143		simp1 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
144		simp2 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
145	143, 144	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → ((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))))
146		simp3 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))
147	143	sneqd 4570	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → {(𝑄‘𝑗)} = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))})
148	146, 147	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → ((𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}))
149	143, 144	preq12d 4674	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))})
150	149, 146	sseq12d 3950	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → ({(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) ↔ {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))))
151	145, 148, 150	ifpbi123d 1076	. . . 4 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
152	73, 76, 142, 151	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
153	69, 152	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
154	153	ralrimiva 3107	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  if-wif 1059   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  ifcif 4456  {csn 4558  {cpr 4560   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311   mod cmo 13517  ♯chash 13972  Word cword 14145   cyclShift ccsh 14429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-csh 14430

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem7  28082