Theorem crctcshwlkn0lem4 27698

Description: Lemma for crctcshwlkn0 27706. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem4	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑆,𝑖   𝜑,𝑖,𝑗   𝑥,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑄(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐻(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐼(𝑥,𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
2		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
3		elfzoelz 13087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → 𝑗 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → 𝑗 ∈ ℂ)
5	4	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑗 ∈ ℂ)
6		elfzoelz 13087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℂ)
8	7	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑆 ∈ ℂ)
9		1cnd 10674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 1 ∈ ℂ)
10	5, 8, 9	add32d 10905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆))
11		elfzo1 13136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
12		elfzonn0 13131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
13		nnnn0 11941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ0)
14		nn0addcl 11969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0)
15	14	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0))
16	12, 13, 15	syl2imc 41	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0))
17	16	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0))
18	11, 17	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0))
19	18	imp 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0)
20		fzo0ss1 13116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
21	20	sseli 3888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
22		elfzo0 13127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
23	22	simp2bi 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑁 ∈ ℕ)
26		elfzo0 13127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)))
27		nn0re 11943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℝ)
28		nnre 11681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
29		nnre 11681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
30	28, 29	anim12i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
31	30	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
32	11, 31	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
33	27, 32	anim12i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
34		3anass 1092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ↔ (𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
35	33, 34	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36		ltaddsub 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑗 + 𝑆) < 𝑁 ↔ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)))
37	36	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
38	35, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
39	38	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
40	39	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁)))
41	40	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁)))
42	41	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))))
43	42	3imp 1108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
44	26, 43	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
45	44	impcom 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) < 𝑁)
46		elfzo0 13127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
47	19, 25, 45, 46	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ (0..^𝑁))
48	47	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ (0..^𝑁))
49		fveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
50	49	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
51		fvoveq1 7173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) + 1)))
52		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) → ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆))
53	52	fveq2d 6662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) → (𝑃‘((𝑗 + 𝑆) + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
54	51, 53	sylan9eqr 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
55	50, 54	eqeq12d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → ((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))))
56		2fveq3 6663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))
57	49	sneqd 4534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → {(𝑃‘𝑖)} = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))})
58	56, 57	eqeq12d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 𝑆) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}))
59	58	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}))
60	50, 54	preq12d 4634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))})
61	56	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))
62	60, 61	sseq12d 3925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ↔ {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))))
63	55, 59, 62	ifpbi123d 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝑗 + 𝑆)) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
64	48, 63	rspcdv 3533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) ∧ ((𝑗 + 𝑆) + 1) = ((𝑗 + 1) + 𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
65	10, 64	mpdan 686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
66	2, 65	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
67	66	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))))))
68	1, 67	mpid 44	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
69	68	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))))
70		elfzofz 13102	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)))
71		crctcshwlkn0lem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
72	2, 71	crctcshwlkn0lem2 27696	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
73	70, 72	sylan2 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
74		fzofzp1 13183	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 − 𝑆)))
75	2, 71	crctcshwlkn0lem2 27696	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
76	74, 75	sylan2 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
77		crctcshwlkn0lem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
78	77	fveq1i 6659	. . . . . 6 ⊢ (𝐻‘𝑗) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗)
79		crctcshwlkn0lem.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
80	79	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
81	2, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
82	81	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑆 ∈ ℤ)
83		nnz 12043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
84	83	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
85		nnz 12043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℤ)
86	85	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℤ)
87	84, 86	zsubcld 12131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
88	13	nn0ge0d 11997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑆)
89	88	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑆)
90		subge02 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
91	29, 28, 90	syl2anr 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
92	89, 91	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁)
93	87, 84, 92	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
94	93	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
95	11, 94	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
96		eluz2 12288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)) ↔ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑆) ≤ 𝑁))
97	95, 96	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)))
98		fzoss2 13114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑆)) → (0..^(𝑁 − 𝑆)) ⊆ (0..^𝑁))
99	2, 97, 98	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 − 𝑆)) ⊆ (0..^𝑁))
100	99	sselda 3892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
101		crctcshwlkn0lem.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
102	101	oveq2i 7161	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
103	100, 102	eleqtrdi 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
104		cshwidxmod 14212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
105	80, 82, 103, 104	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
106	101	eqcomi 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
107	106	oveq2i 7161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁)
108	17	imp 410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0)
109		nnm1nn0 11975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
110	109	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
111	110	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
112	27, 31	anim12i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
113	112, 34	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
114	113, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) < 𝑁))
115	13	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
116	115, 14	sylan2 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0)
117	116	nn0zd 12124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
118	83	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
119	118	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
120		zltlem1 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑗 + 𝑆) < 𝑁 ↔ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
121	117, 119, 120	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) < 𝑁 ↔ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
122	121	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → ((𝑗 + 𝑆) < 𝑁 → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
123	114, 122	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁)) → (𝑗 < (𝑁 − 𝑆) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
124	123	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
125	124	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < (𝑁 − 𝑆)) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
126	26, 125	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆)) → ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
127	126	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1))
128	108, 111, 127	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
129	11, 128	sylanb 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
130		elfz2nn0 13047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 + 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑗 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 + 𝑆) ≤ (𝑁 − 1)))
131	129, 130	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
132		zaddcl 12061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
133	3, 6, 132	syl2anr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ)
134		zmodid2 13316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑗 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = (𝑗 + 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 1))))
135	133, 25, 134	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = (𝑗 + 𝑆) ↔ (𝑗 + 𝑆) ∈ (0...(𝑁 − 1))))
136	131, 135	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = (𝑗 + 𝑆))
137	2, 136	sylan 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) mod 𝑁) = (𝑗 + 𝑆))
138	107, 137	syl5eq 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (𝑗 + 𝑆))
139	138	fveq2d 6662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝐹‘((𝑗 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))) = (𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))
140	105, 139	eqtrd 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑗) = (𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))
141	78, 140	syl5eq 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝐻‘𝑗) = (𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))
142	141	fveq2d 6662	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))
143		simp1 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → (𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)))
144		simp2 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)))
145	143, 144	eqeq12d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → ((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))))
146		simp3 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))
147	143	sneqd 4534	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → {(𝑄‘𝑗)} = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))})
148	146, 147	eqeq12d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → ((𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}))
149	143, 144	preq12d 4634	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))})
150	149, 146	sseq12d 3925	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → ({(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) ↔ {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))))
151	145, 148, 150	ifpbi123d 1075	. . . 4 ⊢ (((𝑄‘𝑗) = (𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)) ∧ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆)))) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
152	73, 76, 142, 151	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑃‘(𝑗 + 𝑆)) = (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆)), (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))) = {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆))}, {(𝑃‘(𝑗 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑗 + 1) + 𝑆))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘(𝑗 + 𝑆))))))
153	69, 152	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))) → if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
154	153	ralrimiva 3113	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  if-wif 1058   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070   ⊆ wss 3858  ifcif 4420  {csn 4522  {cpr 4524   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908  ℕcn 11674  ℕ₀cn0 11934  ℤcz 12020  ℤ_≥cuz 12282  ...cfz 12939  ..^cfzo 13082   mod cmo 13286  ♯chash 13740  Word cword 13913   cyclShift ccsh 14197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-hash 13741  df-word 13914  df-concat 13970  df-substr 14050  df-pfx 14080  df-csh 14198

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem7  27701