Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snlindsntorlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snlindsntorlem 44519
Description: Lemma for snlindsntor 44520. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0 0 = (0g𝑅)
snlindsntor.z 𝑍 = (0g𝑀)
snlindsntor.t · = ( ·𝑠𝑀)
Assertion
Ref Expression
snlindsntorlem ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → (∀𝑓 ∈ (𝑆m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) → ∀𝑠𝑆 ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑋,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   · ,𝑓,𝑠   0 ,𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem snlindsntorlem
StepHypRef Expression
1 eqidd 2822 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩})
2 fsng 6893 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠} ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩}))
32adantll 712 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠} ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩}))
41, 3mpbird 259 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠})
5 snssi 4734 . . . . . 6 (𝑠𝑆 → {𝑠} ⊆ 𝑆)
65adantl 484 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {𝑠} ⊆ 𝑆)
74, 6fssd 6522 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆)
8 snlindsntor.s . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘𝑅)
98fvexi 6678 . . . . . 6 𝑆 ∈ V
10 snex 5323 . . . . . 6 {𝑋} ∈ V
119, 10pm3.2i 473 . . . . 5 (𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V)
12 elmapg 8413 . . . . 5 ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆m {𝑋}) ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆))
1311, 12mp1i 13 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆m {𝑋}) ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆))
147, 13mpbird 259 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆m {𝑋}))
15 oveq1 7157 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}))
1615eqeq1d 2823 . . . . 5 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → ((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍))
17 fveq1 6663 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (𝑓𝑋) = ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋))
1817eqeq1d 2823 . . . . 5 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → ((𝑓𝑋) = 0 ↔ ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ))
1916, 18imbi12d 347 . . . 4 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) ↔ (({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 )))
20 snlindsntor.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
21 snlindsntor.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
22 snlindsntor.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑀)
2320, 21, 8, 22lincvalsng 44465 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = (𝑠 · 𝑋))
24233expa 1114 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = (𝑠 · 𝑋))
2524eqeq1d 2823 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 ↔ (𝑠 · 𝑋) = 𝑍))
26 fvsng 6936 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 𝑠)
2726adantll 712 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 𝑠)
2827eqeq1d 2823 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0𝑠 = 0 ))
2925, 28imbi12d 347 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ((({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ) ↔ ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
3019, 29sylan9bbr 513 . . 3 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩}) → (((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) ↔ ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
3114, 30rspcdv 3614 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (∀𝑓 ∈ (𝑆m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) → ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
3231ralrimdva 3189 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → (∀𝑓 ∈ (𝑆m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) → ∀𝑠𝑆 ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  Vcvv 3494  wss 3935  {csn 4560  cop 4566  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7150  m cmap 8400  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562   ·𝑠 cvsca 16563  0gc0g 16707  LModclmod 19628   linC clinc 44453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-lmod 19630  df-linc 44455
This theorem is referenced by:  snlindsntor  44520
  Copyright terms: Public domain W3C validator