Theorem snlindsntorlem 48830

Description: Lemma for snlindsntor 48831. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
snlindsntor.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
snlindsntor.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
snlindsntorlem	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑋,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   · ,𝑓,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem snlindsntorlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩})
2		fsng 7092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠} ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩}))
3	2	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠} ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩}))
4	1, 3	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠})
5		snssi 4766	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → {𝑠} ⊆ 𝑆)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {𝑠} ⊆ 𝑆)
7	4, 6	fssd 6687	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆)
8		snlindsntor.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
9	8	fvexi 6856	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ V
10		snex 5385	. . . . . 6 ⊢ {𝑋} ∈ V
11	9, 10	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V)
12		elmapg 8788	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}) ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆))
13	11, 12	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}) ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆))
14	7, 13	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}))
15		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}))
16	15	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → ((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍))
17		fveq1 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (𝑓‘𝑋) = ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋))
18	17	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → ((𝑓‘𝑋) = 0 ↔ ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ))
19	16, 18	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) ↔ (({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 )))
20		snlindsntor.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
21		snlindsntor.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
22		snlindsntor.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
23	20, 21, 8, 22	lincvalsng 48776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = (𝑠 · 𝑋))
24	23	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = (𝑠 · 𝑋))
25	24	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 ↔ (𝑠 · 𝑋) = 𝑍))
26		fvsng 7136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 𝑠)
27	26	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 𝑠)
28	27	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ↔ 𝑠 = 0 ))
29	25, 28	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ) ↔ ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))
30	19, 29	sylan9bbr 510	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩}) → (((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) ↔ ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))
31	14, 30	rspcdv 3570	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∀𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) → ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))
32	31	ralrimdva 3138	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ⟨cop 4588  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  0_gc0g 17371  LModclmod 20823   linC clinc 48764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-lmod 20825  df-linc 48766

This theorem is referenced by:  snlindsntor  48831