Theorem snlindsntorlem 48581

Description: Lemma for snlindsntor 48582. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
snlindsntor.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
snlindsntor.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
snlindsntorlem	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑋,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   · ,𝑓,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem snlindsntorlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩})
2		fsng 7070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠} ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩}))
3	2	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠} ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩}))
4	1, 3	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠})
5		snssi 4757	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → {𝑠} ⊆ 𝑆)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {𝑠} ⊆ 𝑆)
7	4, 6	fssd 6668	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆)
8		snlindsntor.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
9	8	fvexi 6836	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ V
10		snex 5372	. . . . . 6 ⊢ {𝑋} ∈ V
11	9, 10	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V)
12		elmapg 8763	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}) ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆))
13	11, 12	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}) ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆))
14	7, 13	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}))
15		oveq1 7353	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}))
16	15	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → ((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍))
17		fveq1 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (𝑓‘𝑋) = ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋))
18	17	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → ((𝑓‘𝑋) = 0 ↔ ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ))
19	16, 18	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) ↔ (({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 )))
20		snlindsntor.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
21		snlindsntor.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
22		snlindsntor.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
23	20, 21, 8, 22	lincvalsng 48527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = (𝑠 · 𝑋))
24	23	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = (𝑠 · 𝑋))
25	24	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 ↔ (𝑠 · 𝑋) = 𝑍))
26		fvsng 7114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 𝑠)
27	26	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 𝑠)
28	27	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ↔ 𝑠 = 0 ))
29	25, 28	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ) ↔ ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))
30	19, 29	sylan9bbr 510	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩}) → (((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) ↔ ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))
31	14, 30	rspcdv 3564	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∀𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) → ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))
32	31	ralrimdva 3132	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  {csn 4573  ⟨cop 4579  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  LModclmod 20793   linC clinc 48515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-lmod 20795  df-linc 48517

This theorem is referenced by:  snlindsntor  48582