Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snlindsntorlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snlindsntorlem 44720
 Description: Lemma for snlindsntor 44721. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0 0 = (0g𝑅)
snlindsntor.z 𝑍 = (0g𝑀)
snlindsntor.t · = ( ·𝑠𝑀)
Assertion
Ref Expression
snlindsntorlem ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → (∀𝑓 ∈ (𝑆m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) → ∀𝑠𝑆 ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑋,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   · ,𝑓,𝑠   0 ,𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem snlindsntorlem
StepHypRef Expression
1 eqidd 2825 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩})
2 fsng 6880 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠} ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩}))
32adantll 713 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠} ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩}))
41, 3mpbird 260 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠})
5 snssi 4722 . . . . . 6 (𝑠𝑆 → {𝑠} ⊆ 𝑆)
65adantl 485 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {𝑠} ⊆ 𝑆)
74, 6fssd 6509 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆)
8 snlindsntor.s . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘𝑅)
98fvexi 6665 . . . . . 6 𝑆 ∈ V
10 snex 5313 . . . . . 6 {𝑋} ∈ V
119, 10pm3.2i 474 . . . . 5 (𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V)
12 elmapg 8402 . . . . 5 ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆m {𝑋}) ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆))
1311, 12mp1i 13 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆m {𝑋}) ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆))
147, 13mpbird 260 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆m {𝑋}))
15 oveq1 7145 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}))
1615eqeq1d 2826 . . . . 5 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → ((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍))
17 fveq1 6650 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (𝑓𝑋) = ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋))
1817eqeq1d 2826 . . . . 5 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → ((𝑓𝑋) = 0 ↔ ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ))
1916, 18imbi12d 348 . . . 4 (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) ↔ (({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 )))
20 snlindsntor.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
21 snlindsntor.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
22 snlindsntor.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑀)
2320, 21, 8, 22lincvalsng 44666 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = (𝑠 · 𝑋))
24233expa 1115 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = (𝑠 · 𝑋))
2524eqeq1d 2826 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 ↔ (𝑠 · 𝑋) = 𝑍))
26 fvsng 6923 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 𝑠)
2726adantll 713 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 𝑠)
2827eqeq1d 2826 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0𝑠 = 0 ))
2925, 28imbi12d 348 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → ((({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ) ↔ ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
3019, 29sylan9bbr 514 . . 3 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩}) → (((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) ↔ ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
3114, 30rspcdv 3600 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (∀𝑓 ∈ (𝑆m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) → ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
3231ralrimdva 3183 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → (∀𝑓 ∈ (𝑆m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓𝑋) = 0 ) → ∀𝑠𝑆 ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍𝑠 = 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132  Vcvv 3479   ⊆ wss 3918  {csn 4548  ⟨cop 4554  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138   ↑m cmap 8389  Basecbs 16472  Scalarcsca 16557   ·𝑠 cvsca 16558  0gc0g 16702  LModclmod 19620   linC clinc 44654 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13685  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-mulg 18214  df-cntz 18436  df-lmod 19622  df-linc 44656 This theorem is referenced by:  snlindsntor  44721
 Copyright terms: Public domain W3C validator