Theorem snlindsntorlem 49092

Description: Lemma for snlindsntor 49093. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
snlindsntor.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
snlindsntor.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
snlindsntorlem	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑋,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   · ,𝑓,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem snlindsntorlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩})
2		fsng 7119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠} ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩}))
3	2	adantll 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠} ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩}))
4	1, 3	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠})
5		snssi 4744	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → {𝑠} ⊆ 𝑆)
6	5	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {𝑠} ⊆ 𝑆)
7	4, 6	fssd 6709	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆)
8		snlindsntor.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
9	8	fvexi 6881	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ V
10		snex 5396	. . . . . 6 ⊢ {𝑋} ∈ V
11	9, 10	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V)
12		elmapg 8820	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}) ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆))
13	11, 12	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}) ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆))
14	7, 13	mpbird 259	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}))
15		oveq1 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}))
16	15	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → ((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍))
17		fveq1 6866	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (𝑓‘𝑋) = ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋))
18	17	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → ((𝑓‘𝑋) = 0 ↔ ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ))
19	16, 18	imbi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) ↔ (({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 )))
20		snlindsntor.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
21		snlindsntor.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
22		snlindsntor.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
23	20, 21, 8, 22	lincvalsng 49038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = (𝑠 · 𝑋))
24	23	3expa 1131	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = (𝑠 · 𝑋))
25	24	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 ↔ (𝑠 · 𝑋) = 𝑍))
26		fvsng 7164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 𝑠)
27	26	adantll 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 𝑠)
28	27	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ↔ 𝑠 = 0 ))
29	25, 28	imbi12d 346	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ) ↔ ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))
30	19, 29	sylan9bbr 518	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩}) → (((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) ↔ ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))
31	14, 30	rspcdv 3573	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∀𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) → ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))
32	31	ralrimdva 3162	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  {csn 4582  ⟨cop 4588  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  Basecbs 17245  Scalarcsca 17289   ·_𝑠 cvsca 17290  0_gc0g 17468  LModclmod 20927   linC clinc 49026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-lmod 20929  df-linc 49028

This theorem is referenced by:  snlindsntor  49093