Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snlindsntorlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snlindsntorlem 45869
Description: Lemma for snlindsntor 45870. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
snlindsntor.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
snlindsntor.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
snlindsntor.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
snlindsntor.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
snlindsntorlem ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋}) = 𝑍 β†’ (π‘“β€˜π‘‹) = 0 ) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 ((𝑠 Β· 𝑋) = 𝑍 β†’ 𝑠 = 0 )))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑋,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   Β· ,𝑓,𝑠   0 ,𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem snlindsntorlem
StepHypRef Expression
1 eqidd 2737 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} = {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©})
2 fsng 7041 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}:{𝑋}⟢{𝑠} ↔ {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} = {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}))
32adantll 712 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}:{𝑋}⟢{𝑠} ↔ {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} = {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}))
41, 3mpbird 257 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}:{𝑋}⟢{𝑠})
5 snssi 4747 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ {𝑠} βŠ† 𝑆)
65adantl 483 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ {𝑠} βŠ† 𝑆)
74, 6fssd 6648 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}:{𝑋}βŸΆπ‘†)
8 snlindsntor.s . . . . . . 7 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
98fvexi 6818 . . . . . 6 𝑆 ∈ V
10 snex 5363 . . . . . 6 {𝑋} ∈ V
119, 10pm3.2i 472 . . . . 5 (𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V)
12 elmapg 8659 . . . . 5 ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V) β†’ ({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}) ↔ {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}:{𝑋}βŸΆπ‘†))
1311, 12mp1i 13 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}) ↔ {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}:{𝑋}βŸΆπ‘†))
147, 13mpbird 257 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}))
15 oveq1 7314 . . . . . 6 (𝑓 = {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋}) = ({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} ( linC β€˜π‘€){𝑋}))
1615eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝑓 = {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋}) = 𝑍 ↔ ({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} ( linC β€˜π‘€){𝑋}) = 𝑍))
17 fveq1 6803 . . . . . 6 (𝑓 = {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} β†’ (π‘“β€˜π‘‹) = ({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}β€˜π‘‹))
1817eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝑓 = {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} β†’ ((π‘“β€˜π‘‹) = 0 ↔ ({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}β€˜π‘‹) = 0 ))
1916, 18imbi12d 345 . . . 4 (𝑓 = {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} β†’ (((𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋}) = 𝑍 β†’ (π‘“β€˜π‘‹) = 0 ) ↔ (({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} ( linC β€˜π‘€){𝑋}) = 𝑍 β†’ ({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}β€˜π‘‹) = 0 )))
20 snlindsntor.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
21 snlindsntor.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
22 snlindsntor.t . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
2320, 21, 8, 22lincvalsng 45815 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} ( linC β€˜π‘€){𝑋}) = (𝑠 Β· 𝑋))
24233expa 1118 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} ( linC β€˜π‘€){𝑋}) = (𝑠 Β· 𝑋))
2524eqeq1d 2738 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} ( linC β€˜π‘€){𝑋}) = 𝑍 ↔ (𝑠 Β· 𝑋) = 𝑍))
26 fvsng 7084 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}β€˜π‘‹) = 𝑠)
2726adantll 712 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}β€˜π‘‹) = 𝑠)
2827eqeq1d 2738 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}β€˜π‘‹) = 0 ↔ 𝑠 = 0 ))
2925, 28imbi12d 345 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©} ( linC β€˜π‘€){𝑋}) = 𝑍 β†’ ({βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}β€˜π‘‹) = 0 ) ↔ ((𝑠 Β· 𝑋) = 𝑍 β†’ 𝑠 = 0 )))
3019, 29sylan9bbr 512 . . 3 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 = {βŸ¨π‘‹, π‘ βŸ©}) β†’ (((𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋}) = 𝑍 β†’ (π‘“β€˜π‘‹) = 0 ) ↔ ((𝑠 Β· 𝑋) = 𝑍 β†’ 𝑠 = 0 )))
3114, 30rspcdv 3558 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋}) = 𝑍 β†’ (π‘“β€˜π‘‹) = 0 ) β†’ ((𝑠 Β· 𝑋) = 𝑍 β†’ 𝑠 = 0 )))
3231ralrimdva 3148 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋}) = 𝑍 β†’ (π‘“β€˜π‘‹) = 0 ) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 ((𝑠 Β· 𝑋) = 𝑍 β†’ 𝑠 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3062  Vcvv 3437   βŠ† wss 3892  {csn 4565  βŸ¨cop 4571  βŸΆwf 6454  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307   ↑m cmap 8646  Basecbs 16957  Scalarcsca 17010   ·𝑠 cvsca 17011  0gc0g 17195  LModclmod 20168   linC clinc 45803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-seq 13768  df-hash 14091  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-grp 18625  df-mulg 18746  df-cntz 18968  df-lmod 20170  df-linc 45805
This theorem is referenced by:  snlindsntor  45870
  Copyright terms: Public domain W3C validator