Theorem snlindsntorlem 48463

Description: Lemma for snlindsntor 48464. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
snlindsntor.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
snlindsntor.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
snlindsntorlem	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑋,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   · ,𝑓,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem snlindsntorlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩})
2		fsng 7112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠} ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩}))
3	2	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠} ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩} = {⟨𝑋, 𝑠⟩}))
4	1, 3	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶{𝑠})
5		snssi 4775	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → {𝑠} ⊆ 𝑆)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {𝑠} ⊆ 𝑆)
7	4, 6	fssd 6708	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆)
8		snlindsntor.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
9	8	fvexi 6875	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ V
10		snex 5394	. . . . . 6 ⊢ {𝑋} ∈ V
11	9, 10	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V)
12		elmapg 8815	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}) ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆))
13	11, 12	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}) ↔ {⟨𝑋, 𝑠⟩}:{𝑋}⟶𝑆))
14	7, 13	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → {⟨𝑋, 𝑠⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋}))
15		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}))
16	15	eqeq1d 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → ((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍))
17		fveq1 6860	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (𝑓‘𝑋) = ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋))
18	17	eqeq1d 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → ((𝑓‘𝑋) = 0 ↔ ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ))
19	16, 18	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩} → (((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) ↔ (({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 )))
20		snlindsntor.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
21		snlindsntor.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
22		snlindsntor.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
23	20, 21, 8, 22	lincvalsng 48409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = (𝑠 · 𝑋))
24	23	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = (𝑠 · 𝑋))
25	24	eqeq1d 2732	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 ↔ (𝑠 · 𝑋) = 𝑍))
26		fvsng 7157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 𝑠)
27	26	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 𝑠)
28	27	eqeq1d 2732	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ↔ 𝑠 = 0 ))
29	25, 28	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((({⟨𝑋, 𝑠⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → ({⟨𝑋, 𝑠⟩}‘𝑋) = 0 ) ↔ ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))
30	19, 29	sylan9bbr 510	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 = {⟨𝑋, 𝑠⟩}) → (((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) ↔ ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))
31	14, 30	rspcdv 3583	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∀𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) → ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))
32	31	ralrimdva 3134	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋})((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋}) = 𝑍 → (𝑓‘𝑋) = 0 ) → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠 · 𝑋) = 𝑍 → 𝑠 = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  {csn 4592  ⟨cop 4598  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  0_gc0g 17409  LModclmod 20773   linC clinc 48397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-lmod 20775  df-linc 48399

This theorem is referenced by:  snlindsntor  48464