Theorem clwwisshclwws 28667

Description: Cyclically shifting a closed walk as word results in a closed walk as word (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwisshclwws	⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

Proof of Theorem clwwisshclwws

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	clwwlkbp 28637	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅))
3		cshw0 14606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
5	4	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 cyclShift 0) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
6	5	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 0) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
7	2, 6	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 0) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
8		oveq2 7350	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift 0))
9	8	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 cyclShift 0) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
10	7, 9	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑁 = 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
11	10	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 = 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
12		fzo1fzo0n0 13544	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ≠ 0))
13		cshwcl 14610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
14	13	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
16	15	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
17		simpl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18		elfzoelz 13493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		cshwlen 14611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
20	17, 18, 19	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
21		hasheq0 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
22	21	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
23	22	necon3bid 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑊) ≠ 0))
24	23	biimpa 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ≠ 0)
25	24	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ≠ 0)
26	20, 25	eqnetrd 3009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) ≠ 0)
27	14	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
28		hasheq0 14183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = 0 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁) = ∅))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = 0 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁) = ∅))
30	29	necon3bid 2986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) ≠ 0 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅))
31	26, 30	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅)
32	31	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅)
33	16, 32	jca 513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅))
34	17	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
35	34	anim1i 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))))
36		3simpc 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
37	36	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
38		clwwisshclwwslem 28666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
39	35, 37, 38	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
40		elfzofz 13509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
41		lswcshw 14627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
42	40, 41	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
43		fzo0ss1 13523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))
44	43	sseli 3932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
45		cshwidx0 14618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))
46	44, 45	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))
47	42, 46	preq12d 4694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)})
48	47	ex 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)}))
49	48	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)}))
50	49	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)}))
51	50	imp 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)})
52		elfzo1elm1fzo0 13594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
53	52	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
54		fveq2 6830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
55	54	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
56		fvoveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘((𝑁 − 1) + 1)))
57	18	zcnd 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
58	57	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℂ)
59		1cnd 11076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → 1 ∈ ℂ)
60	58, 59	npcand 11442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
61	60	fveq2d 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑊‘𝑁))
62	56, 61	sylan9eqr 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘𝑁))
63	55, 62	preq12d 4694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)})
64	63	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
65	53, 64	rspcdv 3566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
66	65	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
67	66	ex 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
68	67	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
69	68	com24 95	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
70	69	3imp1 1347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))
71	51, 70	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
72	33, 39, 71	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
73	72	expcom 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
74		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
75	1, 74	isclwwlk 28636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
76	1, 74	isclwwlk 28636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
77	73, 75, 76	3imtr4g 296	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
78	12, 77	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
79	78	expcom 415	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
80	79	com13 88	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
81	80	imp 408	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
82	11, 81	pm2.61dne 3029	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  Vcvv 3442  ∅c0 4274  {cpr 4580  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  ℂcc 10975  0cc0 10977  1c1 10978   + caddc 10980   − cmin 11311  ℤcz 12425  ...cfz 13345  ..^cfzo 13488  ♯chash 14150  Word cword 14322  lastSclsw 14370   cyclShift ccsh 14600  Vtxcvtx 27655  Edgcedg 27706  ClWWalkscclwwlk 28633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-sup 9304  df-inf 9305  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-rp 12837  df-ico 13191  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-fl 13618  df-mod 13696  df-hash 14151  df-word 14323  df-lsw 14371  df-concat 14379  df-substr 14453  df-pfx 14483  df-csh 14601  df-clwwlk 28634

This theorem is referenced by:  clwwisshclwwsn  28668