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Theorem clwwisshclwws 29812
Description: Cyclically shifting a closed walk as word results in a closed walk as word (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclwws ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))

Proof of Theorem clwwisshclwws
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
21clwwlkbp 29782 . . . . 5 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…))
3 cshw0 14768 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 0) = π‘Š)
433ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š cyclShift 0) = π‘Š)
54eleq1d 2813 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š cyclShift 0) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
65biimprd 247 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 0) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
72, 6mpcom 38 . . . 4 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 0) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))
8 oveq2 7422 . . . . 5 (𝑁 = 0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) = (π‘Š cyclShift 0))
98eleq1d 2813 . . . 4 (𝑁 = 0 β†’ ((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (π‘Š cyclShift 0) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
107, 9syl5ibrcom 246 . . 3 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 = 0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
1110adantr 480 . 2 ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝑁 = 0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
12 fzo1fzo0n0 13707 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑁 β‰  0))
13 cshwcl 14772 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
15143ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
1615adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
17 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
18 elfzoelz 13656 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
19 cshwlen 14773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = (β™―β€˜π‘Š))
2017, 18, 19syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = (β™―β€˜π‘Š))
21 hasheq0 14346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ↔ π‘Š = βˆ…))
2221bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š = βˆ… ↔ (β™―β€˜π‘Š) = 0))
2322necon3bid 2980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0))
2423biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0)
2620, 25eqnetrd 3003 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) β‰  0)
2714adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
28 hasheq0 14346 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = 0 ↔ (π‘Š cyclShift 𝑁) = βˆ…))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = 0 ↔ (π‘Š cyclShift 𝑁) = βˆ…))
3029necon3bid 2980 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) β‰  0 ↔ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…))
3126, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…)
32313ad2antl1 1183 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…)
3316, 32jca 511 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…))
34173ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
3534anim1i 614 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))))
36 3simpc 1148 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3736adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
38 clwwisshclwwslem 29811 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3935, 37, 38sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
40 elfzofz 13672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)))
41 lswcshw 14789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
4240, 41sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
43 fzo0ss1 13686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1..^(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š))
4443sseli 3974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
45 cshwidx0 14780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0) = (π‘Šβ€˜π‘))
4644, 45sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0) = (π‘Šβ€˜π‘))
4742, 46preq12d 4741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)})
4847ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)}))
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)}))
50493ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)}))
5150imp 406 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)})
52 elfzo1elm1fzo0 13757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
54 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) ∧ 𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
56 fvoveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
5718zcnd 12689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
59 1cnd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ 1 ∈ β„‚)
6058, 59npcand 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
6160fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (π‘Šβ€˜π‘))
6256, 61sylan9eqr 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) ∧ 𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜π‘))
6355, 62preq12d 4741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) ∧ 𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)})
6463eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) ∧ 𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ ({(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6553, 64rspcdv 3599 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6665a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
6766ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
6968com24 95 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
70693imp1 1345 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
7151, 70eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
7233, 39, 713jca 1126 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7372expcom 413 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
74 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
751, 74isclwwlk 29781 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
761, 74isclwwlk 29781 . . . . . . 7 ((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7773, 75, 763imtr4g 296 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
7812, 77sylbir 234 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
7978expcom 413 . . . 4 (𝑁 β‰  0 β†’ (𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))))
8079com13 88 . . 3 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑁 β‰  0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))))
8180imp 406 . 2 ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝑁 β‰  0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
8211, 81pm2.61dne 3023 1 ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469  βˆ…c0 4318  {cpr 4626  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   βˆ’ cmin 11466  β„€cz 12580  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  β™―chash 14313  Word cword 14488  lastSclsw 14536   cyclShift ccsh 14762  Vtxcvtx 28796  Edgcedg 28847  ClWWalkscclwwlk 29778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ico 13354  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-hash 14314  df-word 14489  df-lsw 14537  df-concat 14545  df-substr 14615  df-pfx 14645  df-csh 14763  df-clwwlk 29779
This theorem is referenced by:  clwwisshclwwsn  29813
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