MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwisshclwws Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwisshclwws 29864
Description: Cyclically shifting a closed walk as word results in a closed walk as word (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclwws ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))

Proof of Theorem clwwisshclwws
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
21clwwlkbp 29834 . . . . 5 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…))
3 cshw0 14771 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 0) = π‘Š)
433ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š cyclShift 0) = π‘Š)
54eleq1d 2810 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š cyclShift 0) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
65biimprd 247 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 0) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
72, 6mpcom 38 . . . 4 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 0) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))
8 oveq2 7421 . . . . 5 (𝑁 = 0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) = (π‘Š cyclShift 0))
98eleq1d 2810 . . . 4 (𝑁 = 0 β†’ ((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (π‘Š cyclShift 0) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
107, 9syl5ibrcom 246 . . 3 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 = 0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
1110adantr 479 . 2 ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝑁 = 0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
12 fzo1fzo0n0 13710 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑁 β‰  0))
13 cshwcl 14775 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
1413adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
15143ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
1615adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
17 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
18 elfzoelz 13659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
19 cshwlen 14776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = (β™―β€˜π‘Š))
2017, 18, 19syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = (β™―β€˜π‘Š))
21 hasheq0 14349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ↔ π‘Š = βˆ…))
2221bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š = βˆ… ↔ (β™―β€˜π‘Š) = 0))
2322necon3bid 2975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0))
2423biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0)
2524adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0)
2620, 25eqnetrd 2998 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) β‰  0)
2714adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
28 hasheq0 14349 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = 0 ↔ (π‘Š cyclShift 𝑁) = βˆ…))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = 0 ↔ (π‘Š cyclShift 𝑁) = βˆ…))
3029necon3bid 2975 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) β‰  0 ↔ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…))
3126, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…)
32313ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…)
3316, 32jca 510 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…))
34173ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
3534anim1i 613 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))))
36 3simpc 1147 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3736adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
38 clwwisshclwwslem 29863 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3935, 37, 38sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
40 elfzofz 13675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)))
41 lswcshw 14792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
4240, 41sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
43 fzo0ss1 13689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1..^(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š))
4443sseli 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
45 cshwidx0 14783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0) = (π‘Šβ€˜π‘))
4644, 45sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0) = (π‘Šβ€˜π‘))
4742, 46preq12d 4742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)})
4847ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)}))
4948adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)}))
50493ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)}))
5150imp 405 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)})
52 elfzo1elm1fzo0 13760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5352adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
54 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
5554adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) ∧ 𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
56 fvoveq1 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
5718zcnd 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
5857adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
59 1cnd 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ 1 ∈ β„‚)
6058, 59npcand 11600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
6160fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (π‘Šβ€˜π‘))
6256, 61sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) ∧ 𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜π‘))
6355, 62preq12d 4742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) ∧ 𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)})
6463eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) ∧ 𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ ({(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6553, 64rspcdv 3595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6665a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
6766ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
6867adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
6968com24 95 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
70693imp1 1344 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
7151, 70eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
7233, 39, 713jca 1125 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7372expcom 412 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
74 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
751, 74isclwwlk 29833 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
761, 74isclwwlk 29833 . . . . . . 7 ((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7773, 75, 763imtr4g 295 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
7812, 77sylbir 234 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
7978expcom 412 . . . 4 (𝑁 β‰  0 β†’ (𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))))
8079com13 88 . . 3 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑁 β‰  0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))))
8180imp 405 . 2 ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝑁 β‰  0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
8211, 81pm2.61dne 3018 1 ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463  βˆ…c0 4319  {cpr 4627  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„‚cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   βˆ’ cmin 11469  β„€cz 12583  ...cfz 13511  ..^cfzo 13654  β™―chash 14316  Word cword 14491  lastSclsw 14539   cyclShift ccsh 14765  Vtxcvtx 28848  Edgcedg 28899  ClWWalkscclwwlk 29830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ico 13357  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-hash 14317  df-word 14492  df-lsw 14540  df-concat 14548  df-substr 14618  df-pfx 14648  df-csh 14766  df-clwwlk 29831
This theorem is referenced by:  clwwisshclwwsn  29865
  Copyright terms: Public domain W3C validator