Theorem clwwisshclwws 29994

Description: Cyclically shifting a closed walk as word results in a closed walk as word (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwisshclwws	⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

Proof of Theorem clwwisshclwws

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	clwwlkbp 29964	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅))
3		cshw0 14735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
5	4	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 cyclShift 0) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
6	5	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 0) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
7	2, 6	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 0) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
8		oveq2 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift 0))
9	8	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 cyclShift 0) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
10	7, 9	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑁 = 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
11	10	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 = 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
12		fzo1fzo0n0 13652	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ≠ 0))
13		cshwcl 14739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
17		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18		elfzoelz 13596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		cshwlen 14740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
20	17, 18, 19	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
21		hasheq0 14304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
22	21	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
23	22	necon3bid 2969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑊) ≠ 0))
24	23	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ≠ 0)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ≠ 0)
26	20, 25	eqnetrd 2992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) ≠ 0)
27	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
28		hasheq0 14304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = 0 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁) = ∅))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = 0 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁) = ∅))
30	29	necon3bid 2969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) ≠ 0 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅))
31	26, 30	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅)
32	31	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅)
33	16, 32	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅))
34	17	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
35	34	anim1i 615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))))
36		3simpc 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
38		clwwisshclwwslem 29993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
39	35, 37, 38	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
40		elfzofz 13612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
41		lswcshw 14756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
42	40, 41	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
43		fzo0ss1 13626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))
44	43	sseli 3939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
45		cshwidx0 14747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))
46	44, 45	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))
47	42, 46	preq12d 4701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)})
48	47	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)}))
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)}))
50	49	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)}))
51	50	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)})
52		elfzo1elm1fzo0 13705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
54		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
56		fvoveq1 7392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘((𝑁 − 1) + 1)))
57	18	zcnd 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℂ)
59		1cnd 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → 1 ∈ ℂ)
60	58, 59	npcand 11513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
61	60	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑊‘𝑁))
62	56, 61	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘𝑁))
63	55, 62	preq12d 4701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)})
64	63	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
65	53, 64	rspcdv 3577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
66	65	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
67	66	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
69	68	com24 95	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
70	69	3imp1 1348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))
71	51, 70	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
72	33, 39, 71	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
73	72	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
74		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
75	1, 74	isclwwlk 29963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
76	1, 74	isclwwlk 29963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
77	73, 75, 76	3imtr4g 296	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
78	12, 77	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
79	78	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
80	79	com13 88	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
81	80	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
82	11, 81	pm2.61dne 3011	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3444  ∅c0 4292  {cpr 4587  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   − cmin 11381  ℤcz 12505  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591  ♯chash 14271  Word cword 14454  lastSclsw 14503   cyclShift ccsh 14729  Vtxcvtx 28976  Edgcedg 29027  ClWWalkscclwwlk 29960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-hash 14272  df-word 14455  df-lsw 14504  df-concat 14512  df-substr 14582  df-pfx 14612  df-csh 14730  df-clwwlk 29961

This theorem is referenced by:  clwwisshclwwsn  29995