Theorem clwwisshclwws 30217

Description: Cyclically shifting a closed walk as word results in a closed walk as word (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwisshclwws	⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

Proof of Theorem clwwisshclwws

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	clwwlkbp 30187	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅))
3		cshw0 14807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
4	3	3ad2ant2 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
5	4	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 cyclShift 0) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
6	5	biimprd 250	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 0) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
7	2, 6	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 0) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
8		oveq2 7404	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift 0))
9	8	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 cyclShift 0) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
10	7, 9	syl5ibrcom 249	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑁 = 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
11	10	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 = 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
12		fzo1fzo0n0 13721	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ≠ 0))
13		cshwcl 14811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
14	13	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
15	14	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
16	15	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
17		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18		elfzoelz 13664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		cshwlen 14812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
20	17, 18, 19	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
21		hasheq0 14376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
22	21	bicomd 225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
23	22	necon3bid 3001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑊) ≠ 0))
24	23	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ≠ 0)
25	24	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ≠ 0)
26	20, 25	eqnetrd 3024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) ≠ 0)
27	14	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
28		hasheq0 14376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = 0 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁) = ∅))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = 0 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁) = ∅))
30	29	necon3bid 3001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) ≠ 0 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅))
31	26, 30	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅)
32	31	3ad2antl1 1199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅)
33	16, 32	jca 519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅))
34	17	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
35	34	anim1i 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))))
36		3simpc 1163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
37	36	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
38		clwwisshclwwslem 30216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
39	35, 37, 38	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
40		elfzofz 13681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
41		lswcshw 14828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
42	40, 41	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
43		fzo0ss1 13695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))
44	43	sseli 3932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
45		cshwidx0 14819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))
46	44, 45	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))
47	42, 46	preq12d 4700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)})
48	47	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)}))
49	48	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)}))
50	49	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)}))
51	50	imp 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)})
52		elfzo1elm1fzo0 13774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
53	52	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
54		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
55	54	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
56		fvoveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘((𝑁 − 1) + 1)))
57	18	zcnd 12678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
58	57	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℂ)
59		1cnd 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → 1 ∈ ℂ)
60	58, 59	npcand 11546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
61	60	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑊‘𝑁))
62	56, 61	sylan9eqr 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘𝑁))
63	55, 62	preq12d 4700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)})
64	63	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 = (𝑁 − 1)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
65	53, 64	rspcdv 3573	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
66	65	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
67	66	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
68	67	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
69	68	com24 95	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
70	69	3imp1 1361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))
71	51, 70	eqeltrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
72	33, 39, 71	3jca 1141	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
73	72	expcom 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
74		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
75	1, 74	isclwwlk 30186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
76	1, 74	isclwwlk 30186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑊 cyclShift 𝑁)), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
77	73, 75, 76	3imtr4g 298	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
78	12, 77	sylbir 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
79	78	expcom 417	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
80	79	com13 88	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
81	80	imp 410	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
82	11, 81	pm2.61dne 3043	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  Vcvv 3454  ∅c0 4285  {cpr 4584  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   − cmin 11414  ℤcz 12568  ...cfz 13512  ..^cfzo 13659  ♯chash 14343  Word cword 14526  lastSclsw 14575   cyclShift ccsh 14801  Vtxcvtx 29197  Edgcedg 29248  ClWWalkscclwwlk 30183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-ico 13355  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-hash 14344  df-word 14527  df-lsw 14576  df-concat 14584  df-substr 14655  df-pfx 14685  df-csh 14802  df-clwwlk 30184

This theorem is referenced by:  clwwisshclwwsn  30218