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Theorem clwwisshclwws 29268
Description: Cyclically shifting a closed walk as word results in a closed walk as word (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclwws ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))
Proof of Theorem clwwisshclwws
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
21clwwlkbp 29238 . . . . 5 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…))
3 cshw0 14744 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 0) = π‘Š)
433ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š cyclShift 0) = π‘Š)
54eleq1d 2819 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š cyclShift 0) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
65biimprd 247 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 0) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
72, 6mpcom 38 . . . 4 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 0) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))
8 oveq2 7417 . . . . 5 (𝑁 = 0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) = (π‘Š cyclShift 0))
98eleq1d 2819 . . . 4 (𝑁 = 0 β†’ ((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (π‘Š cyclShift 0) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
107, 9syl5ibrcom 246 . . 3 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 = 0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
1110adantr 482 . 2 ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝑁 = 0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
12 fzo1fzo0n0 13683 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑁 β‰  0))
13 cshwcl 14748 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
1413adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
15143ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
1615adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
17 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
18 elfzoelz 13632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
19 cshwlen 14749 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = (β™―β€˜π‘Š))
2017, 18, 19syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = (β™―β€˜π‘Š))
21 hasheq0 14323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 0 ↔ π‘Š = βˆ…))
2221bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š = βˆ… ↔ (β™―β€˜π‘Š) = 0))
2322necon3bid 2986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0))
2423biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0)
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0)
2620, 25eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) β‰  0)
2714adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
28 hasheq0 14323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = 0 ↔ (π‘Š cyclShift 𝑁) = βˆ…))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = 0 ↔ (π‘Š cyclShift 𝑁) = βˆ…))
3029necon3bid 2986 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) β‰  0 ↔ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…))
3126, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…)
32313ad2antl1 1186 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…)
3316, 32jca 513 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…))
34173ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
3534anim1i 616 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))))
36 3simpc 1151 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3736adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
38 clwwisshclwwslem 29267 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3935, 37, 38sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
40 elfzofz 13648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)))
41 lswcshw 14765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
4240, 41sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
43 fzo0ss1 13662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1..^(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š))
4443sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
45 cshwidx0 14756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0) = (π‘Šβ€˜π‘))
4644, 45sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0) = (π‘Šβ€˜π‘))
4742, 46preq12d 4746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)})
4847ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)}))
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)}))
50493ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)}))
5150imp 408 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)})
52 elfzo1elm1fzo0 13733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5352adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
54 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
5554adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) ∧ 𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
56 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
5718zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
5857adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
59 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ 1 ∈ β„‚)
6058, 59npcand 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
6160fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (π‘Šβ€˜π‘))
6256, 61sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) ∧ 𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜π‘))
6355, 62preq12d 4746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) ∧ 𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)})
6463eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) ∧ 𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ ({(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6553, 64rspcdv 3605 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6665a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
6766ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
6867adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
6968com24 95 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
70693imp1 1348 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ {(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘Šβ€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
7151, 70eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
7233, 39, 713jca 1129 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7372expcom 415 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
74 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
751, 74isclwwlk 29237 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
761, 74isclwwlk 29237 . . . . . . 7 ((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (((π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁) β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)) βˆ’ 1)){((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜π‘—), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜(𝑗 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(π‘Š cyclShift 𝑁)), ((π‘Š cyclShift 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7773, 75, 763imtr4g 296 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
7812, 77sylbir 234 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
7978expcom 415 . . . 4 (𝑁 β‰  0 β†’ (𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))))
8079com13 88 . . 3 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑁 β‰  0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))))
8180imp 408 . 2 ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝑁 β‰  0 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
8211, 81pm2.61dne 3029 1 ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323  {cpr 4631  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   βˆ’ cmin 11444  β„€cz 12558  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464  lastSclsw 14512   cyclShift ccsh 14738  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307  ClWWalkscclwwlk 29234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-csh 14739  df-clwwlk 29235
This theorem is referenced by:  clwwisshclwwsn  29269
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