Theorem ringurd 20268

Description: Deduce the unity element of a ring from its properties. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringurd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
ringurd.p	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
ringurd.z	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
ringurd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
ringurd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
ringurd	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ·   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ringurd

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dfur2 20267	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
5		ringurd.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
6		ringurd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7	5, 6	eleqtrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
8		ringurd.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
9		ringurd.j	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
10	8, 9	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
11	10	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
12		ringurd.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
13	12	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → · = (.r‘𝑅))
14	13	oveqd 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
15	14	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
16	13	oveqd 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
17	16	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 1 ) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥))
18	15, 17	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ (( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)))
19	6, 18	raleqbidva 3329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)))
20	11, 19	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥))
21	6	eleq2d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ 𝐵 ↔ 𝑒 ∈ (Base‘𝑅)))
22	13	oveqd 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒(.r‘𝑅)𝑥))
23	22	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
24	13	oveqd 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑒) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑒))
25	24	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))
26	23, 25	anbi12d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
27	6, 26	raleqbidva 3329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
28	21, 27	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))))
29	8	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
30	29	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
31		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝑒 ∈ 𝐵)
32		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → 𝑥 = 𝑒)
33	32	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 · 𝑒))
34	33, 32	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
35	31, 34	rspcdv 3574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥 → ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
36	30, 35	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
37	36	adantrr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
38	5	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 1 ∈ 𝐵)
39		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))
40		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒 · 1 ))
41		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1 )
42	40, 41	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒 · 1 ) = 1 ))
43		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑒) = ( 1 · 𝑒))
44	43, 41	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
45	42, 44	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 )))
46	45	rspcva 3580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
47	46	simprd 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
48	38, 39, 47	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
49	37, 48	eqtr3d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 𝑒 = 1 )
50	49	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
51	28, 50	sylbird 263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
52	51	alrimiv 1957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
53		eleq1 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 1 → (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
54		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 1 → (𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
55	54	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 1 → ((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
56	55	ovanraleqv 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 1 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)))
57	53, 56	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 1 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥))))
58	57	eqeu 3670	. . . . 5 ⊢ (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)) ∧ ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 )) → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
59	7, 7, 20, 52, 58	syl121anc 1402	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
60	57	iota2 6527	. . . 4 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
61	5, 59, 60	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
62	7, 20, 61	mpbi2and 724	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 )
63	4, 62	eqtr2id 2811	1 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃!weu 2596  ∀wral 3079  ℩cio 6492  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  1_rcur 20264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-mgp 20218  df-ur 20265

This theorem is referenced by:  rngisomring1  20551  ress1r  33530