Theorem ringurd 20330

Description: Deduce the unity element of a ring from its properties. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringurd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
ringurd.p	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
ringurd.z	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
ringurd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
ringurd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
ringurd	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ·   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ringurd

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dfur2 20329	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
5		ringurd.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
6		ringurd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7	5, 6	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
8		ringurd.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
9		ringurd.j	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
10	8, 9	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
11	10	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
12		ringurd.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
13	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → · = (.r‘𝑅))
14	13	oveqd 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
15	14	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
16	13	oveqd 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
17	16	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 1 ) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥))
18	15, 17	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ (( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)))
19	6, 18	raleqbidva 3327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)))
20	11, 19	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥))
21	6	eleq2d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ 𝐵 ↔ 𝑒 ∈ (Base‘𝑅)))
22	13	oveqd 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒(.r‘𝑅)𝑥))
23	22	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
24	13	oveqd 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑒) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑒))
25	24	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))
26	23, 25	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
27	6, 26	raleqbidva 3327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
28	21, 27	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))))
29	8	ralrimiva 3156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
31		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝑒 ∈ 𝐵)
32		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → 𝑥 = 𝑒)
33	32	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 · 𝑒))
34	33, 32	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
35	31, 34	rspcdv 3571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥 → ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
36	30, 35	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
37	36	adantrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
38	5	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 1 ∈ 𝐵)
39		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))
40		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒 · 1 ))
41		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1 )
42	40, 41	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒 · 1 ) = 1 ))
43		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑒) = ( 1 · 𝑒))
44	43, 41	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
45	42, 44	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 )))
46	45	rspcva 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
47	46	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
48	38, 39, 47	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
49	37, 48	eqtr3d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 𝑒 = 1 )
50	49	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
51	28, 50	sylbird 263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
52	51	alrimiv 1960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
53		eleq1 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 1 → (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
54		oveq1 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 1 → (𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
55	54	eqeq1d 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 1 → ((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
56	55	ovanraleqv 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 1 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)))
57	53, 56	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 1 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥))))
58	57	eqeu 3667	. . . . 5 ⊢ (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)) ∧ ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 )) → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
59	7, 7, 20, 52, 58	syl121anc 1402	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
60	57	iota2 6526	. . . 4 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
61	5, 59, 60	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
62	7, 20, 61	mpbi2and 725	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 )
63	4, 62	eqtr2id 2810	1 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2595  ∀wral 3078  ℩cio 6491  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349  1_rcur 20326

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgp 20280  df-ur 20327

This theorem is used by:  rngisomring1  20615  ress1r  33680