Theorem ringurd 20203

Description: Deduce the unity element of a ring from its properties. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringurd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
ringurd.p	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
ringurd.z	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
ringurd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
ringurd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
ringurd	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ·   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ringurd

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dfur2 20202	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
5		ringurd.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
6		ringurd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7	5, 6	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
8		ringurd.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
9		ringurd.j	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
10	8, 9	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
11	10	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
12		ringurd.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → · = (.r‘𝑅))
14	13	oveqd 7448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
15	14	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
16	13	oveqd 7448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
17	16	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 1 ) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥))
18	15, 17	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ (( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)))
19	6, 18	raleqbidva 3330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)))
20	11, 19	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥))
21	6	eleq2d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ 𝐵 ↔ 𝑒 ∈ (Base‘𝑅)))
22	13	oveqd 7448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒(.r‘𝑅)𝑥))
23	22	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
24	13	oveqd 7448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑒) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑒))
25	24	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))
26	23, 25	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
27	6, 26	raleqbidva 3330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
28	21, 27	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))))
29	8	ralrimiva 3144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝑒 ∈ 𝐵)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → 𝑥 = 𝑒)
33	32	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 · 𝑒))
34	33, 32	eqeq12d 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
35	31, 34	rspcdv 3614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥 → ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
36	30, 35	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
37	36	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
38	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 1 ∈ 𝐵)
39		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))
40		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒 · 1 ))
41		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1 )
42	40, 41	eqeq12d 2751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒 · 1 ) = 1 ))
43		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑒) = ( 1 · 𝑒))
44	43, 41	eqeq12d 2751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
45	42, 44	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 )))
46	45	rspcva 3620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
47	46	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
48	38, 39, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
49	37, 48	eqtr3d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 𝑒 = 1 )
50	49	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
51	28, 50	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
52	51	alrimiv 1925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
53		eleq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 1 → (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
54		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 1 → (𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
55	54	eqeq1d 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 1 → ((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
56	55	ovanraleqv 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 1 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)))
57	53, 56	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 1 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥))))
58	57	eqeu 3715	. . . . 5 ⊢ (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)) ∧ ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 )) → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
59	7, 7, 20, 52, 58	syl121anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
60	57	iota2 6552	. . . 4 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
61	5, 59, 60	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
62	7, 20, 61	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 )
63	4, 62	eqtr2id 2788	1 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃!weu 2566  ∀wral 3059  ℩cio 6514  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  1_rcur 20199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgp 20153  df-ur 20200

This theorem is referenced by:  rngisomring1  20485  ress1r  33224