MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringurd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringurd 20116
Description: Deduce the unity element of a ring from its properties. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ringurd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
ringurd.p (𝜑· = (.r𝑅))
ringurd.z (𝜑1𝐵)
ringurd.i ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
ringurd.j ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
Assertion
Ref Expression
ringurd (𝜑1 = (1r𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ·   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ringurd
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2727 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 eqid 2727 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
41, 2, 3dfur2 20115 . 2 (1r𝑅) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
5 ringurd.z . . . 4 (𝜑1𝐵)
6 ringurd.b . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
75, 6eleqtrd 2830 . . 3 (𝜑1 ∈ (Base‘𝑅))
8 ringurd.i . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
9 ringurd.j . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
108, 9jca 511 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
1110ralrimiva 3141 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
12 ringurd.p . . . . . . . . 9 (𝜑· = (.r𝑅))
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → · = (.r𝑅))
1413oveqd 7431 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 (.r𝑅)𝑥))
1514eqeq1d 2729 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
1613oveqd 7431 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = (𝑥(.r𝑅) 1 ))
1716eqeq1d 2729 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑥 · 1 ) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥))
1815, 17anbi12d 630 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → ((( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ (( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)))
196, 18raleqbidva 3322 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)))
2011, 19mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥))
216eleq2d 2814 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑒𝐵𝑒 ∈ (Base‘𝑅)))
2213oveqd 7431 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒(.r𝑅)𝑥))
2322eqeq1d 2729 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
2413oveqd 7431 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑒) = (𝑥(.r𝑅)𝑒))
2524eqeq1d 2729 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))
2623, 25anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
276, 26raleqbidva 3322 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
2821, 27anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))))
298ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → ∀𝑥𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
31 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐵) → 𝑒𝐵)
32 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → 𝑥 = 𝑒)
3332oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 · 𝑒))
3433, 32eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
3531, 34rspcdv 3599 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → (∀𝑥𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥 → ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
3630, 35mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒𝐵) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
3736adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
385adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 1𝐵)
39 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))
40 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒 · 1 ))
41 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1𝑥 = 1 )
4240, 41eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒 · 1 ) = 1 ))
43 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑒) = ( 1 · 𝑒))
4443, 41eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
4542, 44anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 )))
4645rspcva 3605 . . . . . . . . . . 11 (( 1𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
4746simprd 495 . . . . . . . . . 10 (( 1𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
4838, 39, 47syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
4937, 48eqtr3d 2769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 𝑒 = 1 )
5049ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
5128, 50sylbird 260 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
5251alrimiv 1923 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
53 eleq1 2816 . . . . . . 7 (𝑒 = 1 → (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
54 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 1 → (𝑒(.r𝑅)𝑥) = ( 1 (.r𝑅)𝑥))
5554eqeq1d 2729 . . . . . . . 8 (𝑒 = 1 → ((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
5655ovanraleqv 7438 . . . . . . 7 (𝑒 = 1 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)))
5753, 56anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑒 = 1 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥))))
5857eqeu 3699 . . . . 5 (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)) ∧ ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 )) → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
597, 7, 20, 52, 58syl121anc 1373 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
6057iota2 6531 . . . 4 (( 1𝐵 ∧ ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
615, 59, 60syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
627, 20, 61mpbi2and 711 . 2 (𝜑 → (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 )
634, 62eqtr2id 2780 1 (𝜑1 = (1r𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wal 1532   = wceq 1534  wcel 2099  ∃!weu 2557  wral 3056  cio 6492  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  .rcmulr 17225  1rcur 20112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-mgp 20066  df-ur 20113
This theorem is referenced by:  rngisomring1  20396  ress1r  32919
  Copyright terms: Public domain W3C validator