MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringurd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringurd 20008
Description: Deduce the unity element of a ring from its properties. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ringurd.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
ringurd.p (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
ringurd.z (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
ringurd.i ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
ringurd.j ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท 1 ) = ๐‘ฅ)
Assertion
Ref Expression
ringurd (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ, 1   ๐‘ฅ, ยท   ๐œ‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem ringurd
Dummy variable ๐‘’ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
2 eqid 2733 . . 3 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
3 eqid 2733 . . 3 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
41, 2, 3dfur2 20007 . 2 (1rโ€˜๐‘…) = (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ)))
5 ringurd.z . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
6 ringurd.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
75, 6eleqtrd 2836 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8 ringurd.i . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
9 ringurd.j . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท 1 ) = ๐‘ฅ)
108, 9jca 513 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท 1 ) = ๐‘ฅ))
1110ralrimiva 3147 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท 1 ) = ๐‘ฅ))
12 ringurd.p . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
1312adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
1413oveqd 7426 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ( 1 (.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
1514eqeq1d 2735 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” ( 1 (.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
1613oveqd 7426 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท 1 ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…) 1 ))
1716eqeq1d 2735 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ ยท 1 ) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘ฅ))
1815, 17anbi12d 632 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท 1 ) = ๐‘ฅ) โ†” (( 1 (.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘ฅ)))
196, 18raleqbidva 3328 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท 1 ) = ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(( 1 (.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘ฅ)))
2011, 19mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(( 1 (.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘ฅ))
216eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘’ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
2213oveqd 7426 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
2322eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
2413oveqd 7426 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’))
2524eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ))
2623, 25anbi12d 632 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ) โ†” ((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ)))
276, 26raleqbidva 3328 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ)))
2821, 27anbi12d 632 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ))))
298ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
3029adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
31 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘’ โˆˆ ๐ต)
32 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘’) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘’)
3332oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘’) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ( 1 ยท ๐‘’))
3433, 32eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘’) โ†’ (( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” ( 1 ยท ๐‘’) = ๐‘’))
3531, 34rspcdv 3605 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†’ ( 1 ยท ๐‘’) = ๐‘’))
3630, 35mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘’ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘’) = ๐‘’)
3736adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ))) โ†’ ( 1 ยท ๐‘’) = ๐‘’)
385adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ))) โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
39 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ))
40 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘’ ยท 1 ))
41 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ = 1 )
4240, 41eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘’ ยท 1 ) = 1 ))
43 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ( 1 ยท ๐‘’))
4443, 41eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ โ†” ( 1 ยท ๐‘’) = 1 ))
4542, 44anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ) โ†” ((๐‘’ ยท 1 ) = 1 โˆง ( 1 ยท ๐‘’) = 1 )))
4645rspcva 3611 . . . . . . . . . . 11 (( 1 โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘’ ยท 1 ) = 1 โˆง ( 1 ยท ๐‘’) = 1 ))
4746simprd 497 . . . . . . . . . 10 (( 1 โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ)) โ†’ ( 1 ยท ๐‘’) = 1 )
4838, 39, 47syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ))) โ†’ ( 1 ยท ๐‘’) = 1 )
4937, 48eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘’ = 1 )
5049ex 414 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘’ = 1 ))
5128, 50sylbird 260 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘’ = 1 ))
5251alrimiv 1931 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘’((๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘’ = 1 ))
53 eleq1 2822 . . . . . . 7 (๐‘’ = 1 โ†’ (๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†” 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
54 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘’ = 1 โ†’ (๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ( 1 (.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
5554eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (๐‘’ = 1 โ†’ ((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” ( 1 (.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
5655ovanraleqv 7433 . . . . . . 7 (๐‘’ = 1 โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(( 1 (.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘ฅ)))
5753, 56anbi12d 632 . . . . . 6 (๐‘’ = 1 โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ)) โ†” ( 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(( 1 (.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘ฅ))))
5857eqeu 3703 . . . . 5 (( 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ( 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(( 1 (.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘ฅ)) โˆง โˆ€๐‘’((๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘’ = 1 )) โ†’ โˆƒ!๐‘’(๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ)))
597, 7, 20, 52, 58syl121anc 1376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ!๐‘’(๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ)))
6057iota2 6533 . . . 4 (( 1 โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ!๐‘’(๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ))) โ†’ (( 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(( 1 (.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘ฅ)) โ†” (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ))) = 1 ))
615, 59, 60syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (( 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(( 1 (.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘ฅ)) โ†” (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ))) = 1 ))
627, 20, 61mpbi2and 711 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘’(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘’) = ๐‘ฅ))) = 1 )
634, 62eqtr2id 2786 1 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397  โˆ€wal 1540   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒ!weu 2563  โˆ€wral 3062  โ„ฉcio 6494  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  1rcur 20004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgp 19988  df-ur 20005
This theorem is referenced by:  ress1r  32383  rngisomring1  46720
  Copyright terms: Public domain W3C validator