Theorem ringurd 20120

Description: Deduce the unity element of a ring from its properties. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringurd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
ringurd.p	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
ringurd.z	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
ringurd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
ringurd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
ringurd	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ·   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ringurd

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dfur2 20119	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
5		ringurd.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
6		ringurd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7	5, 6	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
8		ringurd.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
9		ringurd.j	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
10	8, 9	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
11	10	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
12		ringurd.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → · = (.r‘𝑅))
14	13	oveqd 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
15	14	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
16	13	oveqd 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
17	16	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 1 ) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥))
18	15, 17	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ (( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)))
19	6, 18	raleqbidva 3302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)))
20	11, 19	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥))
21	6	eleq2d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ 𝐵 ↔ 𝑒 ∈ (Base‘𝑅)))
22	13	oveqd 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒(.r‘𝑅)𝑥))
23	22	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
24	13	oveqd 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑒) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑒))
25	24	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))
26	23, 25	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
27	6, 26	raleqbidva 3302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
28	21, 27	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))))
29	8	ralrimiva 3128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝑒 ∈ 𝐵)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → 𝑥 = 𝑒)
33	32	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 · 𝑒))
34	33, 32	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
35	31, 34	rspcdv 3568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥 → ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
36	30, 35	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
37	36	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
38	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 1 ∈ 𝐵)
39		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))
40		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒 · 1 ))
41		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1 )
42	40, 41	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒 · 1 ) = 1 ))
43		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑒) = ( 1 · 𝑒))
44	43, 41	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
45	42, 44	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 )))
46	45	rspcva 3574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
47	46	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
48	38, 39, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
49	37, 48	eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 𝑒 = 1 )
50	49	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
51	28, 50	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
52	51	alrimiv 1928	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
53		eleq1 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 1 → (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
54		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 1 → (𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
55	54	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 1 → ((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
56	55	ovanraleqv 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 1 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)))
57	53, 56	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 1 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥))))
58	57	eqeu 3664	. . . . 5 ⊢ (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)) ∧ ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 )) → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
59	7, 7, 20, 52, 58	syl121anc 1377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥)))
60	57	iota2 6481	. . . 4 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
61	5, 59, 60	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
62	7, 20, 61	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 )
63	4, 62	eqtr2id 2784	1 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃!weu 2568  ∀wral 3051  ℩cio 6446  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  1_rcur 20116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgp 20076  df-ur 20117

This theorem is referenced by:  rngisomring1  20404  ress1r  33315