Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fargshiftfva Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fargshiftfva 44329
 Description: The values of a shifted function correspond to the value of the original function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
Assertion
Ref Expression
fargshiftfva ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸   𝑘,𝐹,𝑙,𝑥   𝑥,𝑁   𝑘,𝐸   𝑘,𝐺   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝐸,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑙)

Proof of Theorem fargshiftfva
StepHypRef Expression
1 fz0add1fz1 13157 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
2 simpl 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
32adantr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
4 2fveq3 6664 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))))
5 csbeq1 3809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑙 + 1) → 𝑘 / 𝑥𝑃 = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)
64, 5eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
76adantl 486 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
8 simpl 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
98adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
109anim1i 618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸))
1110adantr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸))
12 simpr 489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ (0..^𝑁))
1312ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → 𝑙 ∈ (0..^𝑁))
14 fargshift.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
1514fargshiftfv 44325 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑙) = (𝐹‘(𝑙 + 1))))
1615imp 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺𝑙) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1716eqcomd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑙 + 1)) = (𝐺𝑙))
1811, 13, 17syl2anc 588 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → (𝐹‘(𝑙 + 1)) = (𝐺𝑙))
1918fveqeq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
207, 19bitrd 282 . . . . . . . . . 10 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
213, 20rspcdv 3534 . . . . . . . . 9 ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
2221ex 417 . . . . . . . 8 (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)))
2322com23 86 . . . . . . 7 (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)))
241, 23mpancom 688 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)))
2524ex 417 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))))
2625com24 95 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))))
2726imp31 422 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃) → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
2827ralrimiv 3113 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃) → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)
2928ex 417 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  ⦋csb 3806   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5525  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  0cc0 10576  1c1 10577   + caddc 10579  ℕ0cn0 11935  ...cfz 12940  ..^cfzo 13083  ♯chash 13741 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-hash 13742 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator