Theorem fargshiftfva 46706

Description: The values of a shifted function correspond to the value of the original function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
fargshift.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
fargshiftfva	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸   𝑘,𝐹,𝑙,𝑥   𝑥,𝑁   𝑘,𝐸   𝑘,𝐺   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝐸,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑙)

Proof of Theorem fargshiftfva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0add1fz1 13726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
2		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
4		2fveq3 6896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))))
5		csbeq1 3892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)
6	4, 5	eqeq12d 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
8		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	9	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸))
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ (0..^𝑁))
13	12	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → 𝑙 ∈ (0..^𝑁))
14		fargshift.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
15	14	fargshiftfv 46702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑙) = (𝐹‘(𝑙 + 1))))
16	15	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺‘𝑙) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
17	16	eqcomd 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑙 + 1)) = (𝐺‘𝑙))
18	11, 13, 17	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → (𝐹‘(𝑙 + 1)) = (𝐺‘𝑙))
19	18	fveqeq2d 6899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
20	7, 19	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
21	3, 20	rspcdv 3599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
22	21	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)))
23	22	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)))
24	1, 23	mpancom 687	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)))
25	24	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))))
26	25	com24 95	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))))
27	26	imp31 417	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃) → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
28	27	ralrimiv 3140	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃) → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)
29	28	ex 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ⦋csb 3889   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  ℕ₀cn0 12494  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  ♯chash 14313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314

This theorem is referenced by: (None)