Theorem fargshiftfva 48330

Description: The values of a shifted function correspond to the value of the original function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
fargshift.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
fargshiftfva	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸   𝑘,𝐹,𝑙,𝑥   𝑥,𝑁   𝑘,𝐸   𝑘,𝐺   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝐸,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥, 𝑙)

Proof of Theorem fargshiftfva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0add1fz1 13793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
2		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
3	2	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
4		2fveq3 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))))
5		csbeq1 3853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)
6	4, 5	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
7	6	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
8		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	9	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸))
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸))
12		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ (0..^𝑁))
13	12	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → 𝑙 ∈ (0..^𝑁))
14		fargshift.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
15	14	fargshiftfv 48326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑙) = (𝐹‘(𝑙 + 1))))
16	15	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺‘𝑙) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
17	16	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑙 + 1)) = (𝐺‘𝑙))
18	11, 13, 17	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → (𝐹‘(𝑙 + 1)) = (𝐺‘𝑙))
19	18	fveqeq2d 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
20	7, 19	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
21	3, 20	rspcdv 3571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
22	21	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)))
23	22	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)))
24	1, 23	mpancom 701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)))
25	24	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))))
26	25	com24 96	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))))
27	26	imp31 423	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃) → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
28	27	ralrimiv 3155	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃) → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)
29	28	ex 418	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ⦋csb 3850   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  ℕ₀cn0 12531  ...cfz 13563  ..^cfzo 13711  ♯chash 14396

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397

This theorem is used by: (None)