Theorem fargshiftfva 44895

Description: The values of a shifted function correspond to the value of the original function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
fargshift.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
fargshiftfva	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸   𝑘,𝐹,𝑙,𝑥   𝑥,𝑁   𝑘,𝐸   𝑘,𝐺   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝐸,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑙)

Proof of Theorem fargshiftfva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0add1fz1 13457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
2		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
3	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
4		2fveq3 6779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))))
5		csbeq1 3835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)
6	4, 5	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
8		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	9	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸))
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸))
12		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ (0..^𝑁))
13	12	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → 𝑙 ∈ (0..^𝑁))
14		fargshift.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
15	14	fargshiftfv 44891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑙) = (𝐹‘(𝑙 + 1))))
16	15	imp 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺‘𝑙) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
17	16	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑙 + 1)) = (𝐺‘𝑙))
18	11, 13, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → (𝐹‘(𝑙 + 1)) = (𝐺‘𝑙))
19	18	fveqeq2d 6782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
20	7, 19	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
21	3, 20	rspcdv 3553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
22	21	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)))
23	22	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)))
24	1, 23	mpancom 685	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)))
25	24	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))))
26	25	com24 95	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))))
27	26	imp31 418	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃) → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))
28	27	ralrimiv 3102	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃) → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃)
29	28	ex 413	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝑃 → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺‘𝑙)) = ⦋(𝑙 + 1) / 𝑥⦌𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ⦋csb 3832   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045

This theorem is referenced by: (None)