Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fargshiftfva Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fargshiftfva 43085
Description: The values of a shifted function correspond to the value of the original function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
Assertion
Ref Expression
fargshiftfva ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸   𝑘,𝐹,𝑙,𝑥   𝑥,𝑁   𝑘,𝐸   𝑘,𝐺   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝐸,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑙)

Proof of Theorem fargshiftfva
StepHypRef Expression
1 fz0add1fz1 12957 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
2 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
32adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
4 2fveq3 6543 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))))
5 csbeq1 3814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑙 + 1) → 𝑘 / 𝑥𝑃 = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)
64, 5eqeq12d 2810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
76adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
8 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
98adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
109anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸))
1110adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸))
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ (0..^𝑁))
1312ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → 𝑙 ∈ (0..^𝑁))
14 fargshift.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
1514fargshiftfv 43081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑙) = (𝐹‘(𝑙 + 1))))
1615imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺𝑙) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1716eqcomd 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑙 + 1)) = (𝐺𝑙))
1811, 13, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → (𝐹‘(𝑙 + 1)) = (𝐺𝑙))
1918fveqeq2d 6546 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹‘(𝑙 + 1))) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
207, 19bitrd 280 . . . . . . . . . 10 (((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑘 = (𝑙 + 1)) → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 ↔ (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
213, 20rspcdv 3562 . . . . . . . . 9 ((((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
2221ex 413 . . . . . . . 8 (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)))
2322com23 86 . . . . . . 7 (((𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)))
241, 23mpancom 684 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)))
2524ex 413 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))))
2625com24 95 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))))
2726imp31 418 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃) → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) → (𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
2827ralrimiv 3148 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃) → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃)
2928ex 413 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘(𝐹𝑘)) = 𝑘 / 𝑥𝑃 → ∀𝑙 ∈ (0..^𝑁)(𝐸‘(𝐺𝑙)) = (𝑙 + 1) / 𝑥𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  csb 3811  cmpt 5041  dom cdm 5443  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386  0cn0 11745  ...cfz 12742  ..^cfzo 12883  chash 13540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-hash 13541
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator