Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evengpop3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evengpop3 43467
Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of an odd Goldbach number and 3. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
evengpop3 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑜,𝑁

Proof of Theorem evengpop3
StepHypRef Expression
1 3odd 43377 . . . . . . 7 3 ∈ Odd
21a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ Odd )
32anim1i 614 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
43ancomd 462 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
5 emoo 43373 . . . 4 ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
7 breq2 4972 . . . . 5 (𝑚 = (𝑁 − 3) → (5 < 𝑚 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
8 eleq1 2872 . . . . 5 (𝑚 = (𝑁 − 3) → (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ))
97, 8imbi12d 346 . . . 4 (𝑚 = (𝑁 − 3) → ((5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
109adantl 482 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ 𝑚 = (𝑁 − 3)) → ((5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
116, 10rspcdv 3564 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
12 eluz2 12103 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ↔ (9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁))
13 5p3e8 11648 . . . . . . . 8 (5 + 3) = 8
14 8p1e9 11641 . . . . . . . . 9 (8 + 1) = 9
15 9cn 11591 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℂ
16 ax-1cn 10448 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
17 8cn 11588 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
1815, 16, 17subadd2i 10828 . . . . . . . . 9 ((9 − 1) = 8 ↔ (8 + 1) = 9)
1914, 18mpbir 232 . . . . . . . 8 (9 − 1) = 8
2013, 19eqtr4i 2824 . . . . . . 7 (5 + 3) = (9 − 1)
21 zlem1lt 11888 . . . . . . . 8 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 − 1) < 𝑁))
2221biimp3a 1461 . . . . . . 7 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (9 − 1) < 𝑁)
2320, 22eqbrtrid 5003 . . . . . 6 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (5 + 3) < 𝑁)
24 5re 11578 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 5 ∈ ℝ)
26 3re 11571 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
28 zre 11839 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2925, 27, 283jca 1121 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
30293ad2ant2 1127 . . . . . . 7 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
31 ltaddsub 10968 . . . . . . 7 ((5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((5 + 3) < 𝑁 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
3230, 31syl 17 . . . . . 6 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → ((5 + 3) < 𝑁 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
3323, 32mpbid 233 . . . . 5 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → 5 < (𝑁 − 3))
3412, 33sylbi 218 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 5 < (𝑁 − 3))
3534adantr 481 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 5 < (𝑁 − 3))
36 simpr 485 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )
37 oveq1 7030 . . . . . . 7 (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑜 + 3) = ((𝑁 − 3) + 3))
3837eqeq2d 2807 . . . . . 6 (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
3938adantl 482 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑜 = (𝑁 − 3)) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
40 eluzelcn 12109 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 𝑁 ∈ ℂ)
41 3cn 11572 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ ℂ)
4340, 42jca 512 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
4443adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
4544adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
46 npcan 10749 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
4746eqcomd 2803 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
4845, 47syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
4936, 39, 48rspcedvd 3568 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3))
5049ex 413 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
5135, 50embantd 59 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
5211, 51syldc 48 1 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  wrex 3108   class class class wbr 4968  cfv 6232  (class class class)co 7023  cc 10388  cr 10389  1c1 10391   + caddc 10393   < clt 10528  cle 10529  cmin 10723  3c3 11547  5c5 11549  8c8 11552  9c9 11553  cz 11835  cuz 12097   Even ceven 43293   Odd codd 43294   GoldbachOddW cgbow 43415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-even 43295  df-odd 43296
This theorem is referenced by:  nnsum4primeseven  43469
  Copyright terms: Public domain W3C validator