Theorem evengpop3 47786

Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of an odd Goldbach number and 3. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
evengpop3	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑜,𝑁

Proof of Theorem evengpop3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3odd 47696	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ Odd
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ Odd )
3	2	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
4	3	ancomd 461	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
5		emoo 47692	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
7		breq2 5096	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (5 < 𝑚 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
8		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ))
9	7, 8	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → ((5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ 𝑚 = (𝑁 − 3)) → ((5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
11	6, 10	rspcdv 3569	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
12		eluz2 12741	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ↔ (9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁))
13		5p3e8 12280	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
14		8p1e9 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 1) = 9
15		9cn 12228	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℂ
16		ax-1cn 11067	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		8cn 12225	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℂ
18	15, 16, 17	subadd2i 11452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 − 1) = 8 ↔ (8 + 1) = 9)
19	14, 18	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ (9 − 1) = 8
20	13, 19	eqtr4i 2755	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 3) = (9 − 1)
21		zlem1lt 12527	. . . . . . . 8 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 − 1) < 𝑁))
22	21	biimp3a 1471	. . . . . . 7 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (9 − 1) < 𝑁)
23	20, 22	eqbrtrid 5127	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (5 + 3) < 𝑁)
24		5re 12215	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 5 ∈ ℝ)
26		3re 12208	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
28		zre 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
29	25, 27, 28	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
30	29	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
31		ltaddsub 11594	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((5 + 3) < 𝑁 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → ((5 + 3) < 𝑁 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
33	23, 32	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → 5 < (𝑁 − 3))
34	12, 33	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 5 < (𝑁 − 3))
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 5 < (𝑁 − 3))
36		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )
37		oveq1 7356	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑜 + 3) = ((𝑁 − 3) + 3))
38	37	eqeq2d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
39	38	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑜 = (𝑁 − 3)) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
40		eluzelcn 12747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 𝑁 ∈ ℂ)
41		3cn 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ ℂ)
43	40, 42	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
45	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
46		npcan 11372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
47	46	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
48	45, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
49	36, 39, 48	rspcedvd 3579	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3))
50	49	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
51	35, 50	embantd 59	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
52	11, 51	syldc 48	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  3c3 12184  5c5 12186  8c8 12189  9c9 12190  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735   Even ceven 47612   Odd codd 47613   GoldbachOddW cgbow 47734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-even 47614  df-odd 47615

This theorem is referenced by:  nnsum4primeseven  47788