Theorem evengpop3 47986

Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of an odd Goldbach number and 3. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
evengpop3	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑜,𝑁

Proof of Theorem evengpop3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3odd 47896	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ Odd
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ Odd )
3	2	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
4	3	ancomd 461	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
5		emoo 47892	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
7		breq2 5100	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (5 < 𝑚 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
8		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ))
9	7, 8	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → ((5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ 𝑚 = (𝑁 − 3)) → ((5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
11	6, 10	rspcdv 3566	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
12		eluz2 12755	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ↔ (9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁))
13		5p3e8 12295	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
14		8p1e9 12288	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 1) = 9
15		9cn 12243	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℂ
16		ax-1cn 11082	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		8cn 12240	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℂ
18	15, 16, 17	subadd2i 11467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 − 1) = 8 ↔ (8 + 1) = 9)
19	14, 18	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ (9 − 1) = 8
20	13, 19	eqtr4i 2760	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 3) = (9 − 1)
21		zlem1lt 12541	. . . . . . . 8 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 − 1) < 𝑁))
22	21	biimp3a 1471	. . . . . . 7 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (9 − 1) < 𝑁)
23	20, 22	eqbrtrid 5131	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (5 + 3) < 𝑁)
24		5re 12230	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 5 ∈ ℝ)
26		3re 12223	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
28		zre 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
29	25, 27, 28	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
30	29	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
31		ltaddsub 11609	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((5 + 3) < 𝑁 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → ((5 + 3) < 𝑁 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
33	23, 32	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → 5 < (𝑁 − 3))
34	12, 33	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 5 < (𝑁 − 3))
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 5 < (𝑁 − 3))
36		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )
37		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑜 + 3) = ((𝑁 − 3) + 3))
38	37	eqeq2d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
39	38	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑜 = (𝑁 − 3)) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
40		eluzelcn 12761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 𝑁 ∈ ℂ)
41		3cn 12224	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ ℂ)
43	40, 42	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
45	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
46		npcan 11387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
47	46	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
48	45, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
49	36, 39, 48	rspcedvd 3576	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3))
50	49	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
51	35, 50	embantd 59	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
52	11, 51	syldc 48	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  1c1 11025   + caddc 11027   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362  3c3 12199  5c5 12201  8c8 12204  9c9 12205  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749   Even ceven 47812   Odd codd 47813   GoldbachOddW cgbow 47934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-even 47814  df-odd 47815

This theorem is referenced by:  nnsum4primeseven  47988