Theorem evengpop3 49032

Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of an odd Goldbach number and 3. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
evengpop3	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑜,𝑁

Proof of Theorem evengpop3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3odd 48942	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ Odd
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ Odd )
3	2	anim1i 627	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
4	3	ancomd 467	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
5		emoo 48938	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
7		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (5 < 𝑚 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
8		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ))
9	7, 8	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → ((5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
10	9	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ 𝑚 = (𝑁 − 3)) → ((5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
11	6, 10	rspcdv 3568	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
12		eluz2 12978	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ↔ (9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁))
13		5p3e8 12506	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
14		8p1e9 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 1) = 9
15		9cn 12450	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℂ
16		ax-1cn 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		8cn 12447	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℂ
18	15, 16, 17	subadd2i 11653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 − 1) = 8 ↔ (8 + 1) = 9)
19	14, 18	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ (9 − 1) = 8
20	13, 19	eqtr4i 2786	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 3) = (9 − 1)
21		zlem1lt 12755	. . . . . . . 8 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 − 1) < 𝑁))
22	21	biimp3a 1498	. . . . . . 7 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (9 − 1) < 𝑁)
23	20, 22	eqbrtrid 5139	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (5 + 3) < 𝑁)
24		5re 12437	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 5 ∈ ℝ)
26		3re 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
28		zre 12704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
29	25, 27, 28	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
30	29	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
31		ltaddsub 11797	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((5 + 3) < 𝑁 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
32	30, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → ((5 + 3) < 𝑁 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
33	23, 32	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → 5 < (𝑁 − 3))
34	12, 33	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 5 < (𝑁 − 3))
35	34	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 5 < (𝑁 − 3))
36		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )
37		oveq1 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑜 + 3) = ((𝑁 − 3) + 3))
38	37	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
39	38	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑜 = (𝑁 − 3)) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
40		eluzelcn 12984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 𝑁 ∈ ℂ)
41		3cn 12431	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ ℂ)
43	40, 42	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
44	43	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
45	44	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
46		npcan 11573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
47	46	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
48	45, 47	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
49	36, 39, 48	rspcedvd 3578	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3))
50	49	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
51	35, 50	embantd 60	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
52	11, 51	syldc 49	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  1c1 11208   + caddc 11210   < clt 11350   ≤ cle 11351   − cmin 11548  3c3 12405  5c5 12407  8c8 12410  9c9 12411  ℤcz 12700  ℤ_≥cuz 12972   Even ceven 48858   Odd codd 48859   GoldbachOddW cgbow 48980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-even 48860  df-odd 48861

This theorem is used by:  nnsum4primeseven  49034