Theorem evengpop3 47019

Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of an odd Goldbach number and 3. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
evengpop3	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑜,𝑁

Proof of Theorem evengpop3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3odd 46929	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ Odd
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ Odd )
3	2	anim1i 614	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
4	3	ancomd 461	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
5		emoo 46925	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
7		breq2 5145	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (5 < 𝑚 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
8		eleq1 2815	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ))
9	7, 8	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑁 − 3) → ((5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ 𝑚 = (𝑁 − 3)) → ((5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
11	6, 10	rspcdv 3598	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )))
12		eluz2 12829	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ↔ (9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁))
13		5p3e8 12370	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
14		8p1e9 12363	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 1) = 9
15		9cn 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℂ
16		ax-1cn 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		8cn 12310	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℂ
18	15, 16, 17	subadd2i 11549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 − 1) = 8 ↔ (8 + 1) = 9)
19	14, 18	mpbir 230	. . . . . . . 8 ⊢ (9 − 1) = 8
20	13, 19	eqtr4i 2757	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 3) = (9 − 1)
21		zlem1lt 12615	. . . . . . . 8 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 − 1) < 𝑁))
22	21	biimp3a 1465	. . . . . . 7 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (9 − 1) < 𝑁)
23	20, 22	eqbrtrid 5176	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (5 + 3) < 𝑁)
24		5re 12300	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 5 ∈ ℝ)
26		3re 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
28		zre 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
29	25, 27, 28	3jca 1125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
30	29	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → (5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
31		ltaddsub 11689	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((5 + 3) < 𝑁 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → ((5 + 3) < 𝑁 ↔ 5 < (𝑁 − 3)))
33	23, 32	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 9 ≤ 𝑁) → 5 < (𝑁 − 3))
34	12, 33	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 5 < (𝑁 − 3))
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 5 < (𝑁 − 3))
36		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW )
37		oveq1 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑜 + 3) = ((𝑁 − 3) + 3))
38	37	eqeq2d 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = (𝑁 − 3) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
39	38	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑜 = (𝑁 − 3)) → (𝑁 = (𝑜 + 3) ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3)))
40		eluzelcn 12835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 𝑁 ∈ ℂ)
41		3cn 12294	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ ℂ)
43	40, 42	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
45	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
46		npcan 11470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
47	46	eqcomd 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
48	45, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 = ((𝑁 − 3) + 3))
49	36, 39, 48	rspcedvd 3608	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3))
50	49	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
51	35, 50	embantd 59	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((5 < (𝑁 − 3) → (𝑁 − 3) ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
52	11, 51	syldc 48	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  ℝcr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11445  3c3 12269  5c5 12271  8c8 12274  9c9 12275  ℤcz 12559  ℤ_≥cuz 12823   Even ceven 46845   Odd codd 46846   GoldbachOddW cgbow 46967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-even 46847  df-odd 46848

This theorem is referenced by:  nnsum4primeseven  47021