Theorem umgr2cwwk2dif 30149

Description: If a word represents a closed walk of length at least 2 in a multigraph, the first two symbols of the word must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgr2cwwk2dif	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))

Proof of Theorem umgr2cwwk2dif

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clwwlknp 30122	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → 𝐺 ∈ UMGraph)
5		uz2m1nn 12864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
6		lbfzo0 13645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
10		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
12		0p1e1 12289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) = 1
13	11, 12	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 + 1) = 1)
14	13	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘1))
15	9, 14	preq12d 4686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑖 = 0) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
16	15	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑖 = 0) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
17	7, 16	rspcdv 3557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
18	17	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
19	18	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
20	19	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
22	2	umgredgne 29228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊‘0) ≠ (𝑊‘1))
23	22	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
24	4, 21, 23	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
25	24	exp31 419	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))))
26	3, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))))
27	26	3imp31 1112	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {cpr 4570  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  ℤ_≥cuz 12779  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466  lastSclsw 14515  Vtxcvtx 29079  Edgcedg 29130  UMGraphcumgr 29164   ClWWalksN cclwwlkn 30109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-edg 29131  df-umgr 29166  df-clwwlk 30067  df-clwwlkn 30110

This theorem is referenced by:  umgr2cwwkdifex  30150