Theorem umgr2cwwk2dif 30083

Description: If a word represents a closed walk of length at least 2 in a multigraph, the first two symbols of the word must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgr2cwwk2dif	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))

Proof of Theorem umgr2cwwk2dif

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clwwlknp 30056	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → 𝐺 ∈ UMGraph)
5		uz2m1nn 12965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
6		lbfzo0 13739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
10		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
12		0p1e1 12388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) = 1
13	11, 12	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 + 1) = 1)
14	13	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘1))
15	9, 14	preq12d 4741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑖 = 0) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
16	15	eleq1d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑖 = 0) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
17	7, 16	rspcdv 3614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
18	17	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
19	18	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
20	19	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
22	2	umgredgne 29162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊‘0) ≠ (𝑊‘1))
23	22	necomd 2996	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
24	4, 21, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
25	24	exp31 419	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))))
26	3, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))))
27	26	3imp31 1112	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {cpr 4628  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  ℤ_≥cuz 12878  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552  lastSclsw 14600  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  UMGraphcumgr 29098   ClWWalksN cclwwlkn 30043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-edg 29065  df-umgr 29100  df-clwwlk 30001  df-clwwlkn 30044

This theorem is referenced by:  umgr2cwwkdifex  30084