MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2cwwk2dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2cwwk2dif 29861
Description: If a word represents a closed walk of length at least 2 in a multigraph, the first two symbols of the word must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
umgr2cwwk2dif ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (π‘Šβ€˜1) β‰  (π‘Šβ€˜0))

Proof of Theorem umgr2cwwk2dif
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2727 . . . 4 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
31, 2clwwlknp 29834 . . 3 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4 simpr 484 . . . . 5 (((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
5 uz2m1nn 12929 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
6 lbfzo0 13696 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
75, 6sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
8 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 0 β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜0))
98adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜0))
10 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 β†’ (𝑖 + 1) = (0 + 1))
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (𝑖 + 1) = (0 + 1))
12 0p1e1 12356 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
1311, 12eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (𝑖 + 1) = 1)
1413fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜1))
159, 14preq12d 4741 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑖 = 0) β†’ {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)})
1615eleq1d 2813 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑖 = 0) β†’ ({(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
177, 16rspcdv 3599 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
1817com12 32 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
19183ad2ant2 1132 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2019imp 406 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
2120adantr 480 . . . . 5 (((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) β†’ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
222umgredgne 28945 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘Šβ€˜0) β‰  (π‘Šβ€˜1))
2322necomd 2991 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘Šβ€˜1) β‰  (π‘Šβ€˜0))
244, 21, 23syl2anc 583 . . . 4 (((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) β†’ (π‘Šβ€˜1) β‰  (π‘Šβ€˜0))
2524exp31 419 . . 3 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (π‘Šβ€˜1) β‰  (π‘Šβ€˜0))))
263, 25syl 17 . 2 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (π‘Šβ€˜1) β‰  (π‘Šβ€˜0))))
27263imp31 1110 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (π‘Šβ€˜1) β‰  (π‘Šβ€˜0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  {cpr 4626  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   βˆ’ cmin 11466  β„•cn 12234  2c2 12289  β„€β‰₯cuz 12844  ..^cfzo 13651  β™―chash 14313  Word cword 14488  lastSclsw 14536  Vtxcvtx 28796  Edgcedg 28847  UMGraphcumgr 28881   ClWWalksN cclwwlkn 29821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-edg 28848  df-umgr 28883  df-clwwlk 29779  df-clwwlkn 29822
This theorem is referenced by:  umgr2cwwkdifex  29862
  Copyright terms: Public domain W3C validator