MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2cwwk2dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2cwwk2dif 29050
Description: If a word represents a closed walk of length at least 2 in a multigraph, the first two symbols of the word must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
umgr2cwwk2dif ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (π‘Šβ€˜1) β‰  (π‘Šβ€˜0))

Proof of Theorem umgr2cwwk2dif
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2733 . . . 4 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
31, 2clwwlknp 29023 . . 3 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4 simpr 486 . . . . 5 (((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
5 uz2m1nn 12853 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
6 lbfzo0 13618 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
75, 6sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
8 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 0 β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜0))
98adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜0))
10 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 β†’ (𝑖 + 1) = (0 + 1))
1110adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (𝑖 + 1) = (0 + 1))
12 0p1e1 12280 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
1311, 12eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (𝑖 + 1) = 1)
1413fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜1))
159, 14preq12d 4703 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑖 = 0) β†’ {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)})
1615eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑖 = 0) β†’ ({(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
177, 16rspcdv 3572 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
1817com12 32 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
19183ad2ant2 1135 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2019imp 408 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
2120adantr 482 . . . . 5 (((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) β†’ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
222umgredgne 28138 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘Šβ€˜0) β‰  (π‘Šβ€˜1))
2322necomd 2996 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜1)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘Šβ€˜1) β‰  (π‘Šβ€˜0))
244, 21, 23syl2anc 585 . . . 4 (((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) β†’ (π‘Šβ€˜1) β‰  (π‘Šβ€˜0))
2524exp31 421 . . 3 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (π‘Šβ€˜1) β‰  (π‘Šβ€˜0))))
263, 25syl 17 . 2 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (π‘Šβ€˜1) β‰  (π‘Šβ€˜0))))
27263imp31 1113 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (π‘Šβ€˜1) β‰  (π‘Šβ€˜0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {cpr 4589  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  2c2 12213  β„€β‰₯cuz 12768  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408  lastSclsw 14456  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040  UMGraphcumgr 28074   ClWWalksN cclwwlkn 29010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-hash 14237  df-word 14409  df-edg 28041  df-umgr 28076  df-clwwlk 28968  df-clwwlkn 29011
This theorem is referenced by:  umgr2cwwkdifex  29051
  Copyright terms: Public domain W3C validator