Theorem prct 33393

Description: An unordered pair is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prct	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)

Proof of Theorem prct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4591	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snct 33392	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≼ ω)
3		snct 33392	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐵} ≼ ω)
4		unctb 10319	. . 3 ⊢ (({𝐴} ≼ ω ∧ {𝐵} ≼ ω) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ω)
5	2, 3, 4	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ω)
6	1, 5	eqbrtrid 5144	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5106  ωcom 7909   ≼ cdom 9007

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-oi 9539  df-dju 10017  df-card 10055

This theorem is used by:  unelsiga  34870  unelldsys  34895  measxun2  34947  measssd  34952  carsgsigalem  35051  carsgclctun  35057  pmeasmono  35060  probun  35155