Theorem imadomfi 42372

Description: An image of a function under a finite set is dominated by the set. (Contributed by SN, 10-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
imadomfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)

Proof of Theorem imadomfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5645	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		funfn 6530	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
3		resfnfinfin 9249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
4	2, 3	sylanb 582	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
5		dmfi 9247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
7		funres 6542	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
8		funforn 6761	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
9	7, 8	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
11		fodomfi 9224	. . . . 5 ⊢ ((dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴)) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
12	6, 10, 11	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
13	1, 12	eqbrtrid 5135	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
14		resdmss 6201	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴
15		ssdomfi 9132	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴))
16	14, 15	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴)
17		domtr 8956	. . . 4 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
18	16, 17	sylan2 594	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
19	13, 18	sylancom 589	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
20	19	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ran crn 5633   ↾ cres 5634   “ cima 5635  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  –onto→wfo 6498   ≼ cdom 8893  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-1o 8407  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem5  42547