Theorem imadomfi 43195

Description: An image of a function under a finite set is dominated by the set. (Contributed by SN, 10-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
imadomfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)

Proof of Theorem imadomfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5668	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		funfn 6579	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
3		resfnfinfin 9340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
4	2, 3	sylanb 593	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
5		dmfi 9338	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
7		funres 6591	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
8		funforn 6814	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
9	7, 8	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
11		fodomfi 9318	. . . . 5 ⊢ ((dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴)) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
12	6, 10, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
13	1, 12	eqbrtrid 5143	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
14		resdmss 6243	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴
15		ssdomfi 9225	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴))
16	14, 15	mpi 21	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴)
17		domtr 9048	. . . 4 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
18	16, 17	sylan2 605	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
19	13, 18	sylancom 600	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
20	19	ancoms 464	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ran crn 5656   ↾ cres 5657   “ cima 5658  Fun wfun 6541   Fn wfn 6542  –onto→wfo 6545   ≼ cdom 8985  Fincfn 8987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-1o 8490  df-en 8988  df-dom 8989  df-fin 8991

This theorem is used by:  aks6d1c6lem5  43370