Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imadomfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imadomfi 42004
Description: An image of a function under a finite set is dominated by the set. (Contributed by SN, 10-May-2025.)
Assertion
Ref Expression
imadomfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐹) → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)

Proof of Theorem imadomfi
StepHypRef Expression
1 df-ima 5697 . . . 4 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
2 funfn 6595 . . . . . . 7 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
3 resfnfinfin 9378 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴) ∈ Fin)
42, 3sylanb 581 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴) ∈ Fin)
5 dmfi 9376 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ∈ Fin → dom (𝐹𝐴) ∈ Fin)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ Fin) → dom (𝐹𝐴) ∈ Fin)
7 funres 6607 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
8 funforn 6826 . . . . . . 7 (Fun (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
97, 8sylib 218 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
109adantr 480 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
11 fodomfi 9351 . . . . 5 ((dom (𝐹𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴)) → ran (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴))
126, 10, 11syl2anc 584 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ Fin) → ran (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴))
131, 12eqbrtrid 5177 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴))
14 resdmss 6254 . . . . 5 dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴
15 ssdomfi 9237 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
1614, 15mpi 20 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
17 domtr 9048 . . . 4 (((𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴) → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
1816, 17sylan2 593 . . 3 (((𝐹𝐴) ≼ dom (𝐹𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
1913, 18sylancom 588 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ Fin) → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
2019ancoms 458 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐹) → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2107  wss 3950   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  ran crn 5685  cres 5686  cima 5687  Fun wfun 6554   Fn wfn 6555  ontowfo 6558  cdom 8984  Fincfn 8986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-1o 8507  df-en 8987  df-dom 8988  df-fin 8990
This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem5  42179
  Copyright terms: Public domain W3C validator