Theorem imadomfi 41937

Description: An image of a function under a finite set is dominated by the set. (Contributed by SN, 10-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
imadomfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)

Proof of Theorem imadomfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5664	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		funfn 6562	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
3		resfnfinfin 9343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
4	2, 3	sylanb 581	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
5		dmfi 9341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
7		funres 6574	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
8		funforn 6793	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
9	7, 8	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
11		fodomfi 9316	. . . . 5 ⊢ ((dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴)) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
12	6, 10, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
13	1, 12	eqbrtrid 5151	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
14		resdmss 6221	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴
15		ssdomfi 9204	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴))
16	14, 15	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴)
17		domtr 9015	. . . 4 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
18	16, 17	sylan2 593	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
19	13, 18	sylancom 588	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
20	19	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3924   class class class wbr 5116  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654  Fun wfun 6521   Fn wfn 6522  –onto→wfo 6525   ≼ cdom 8951  Fincfn 8953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-1o 8474  df-en 8954  df-dom 8955  df-fin 8957

This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem5  42112