Theorem imadomfi 43052

Description: An image of a function under a finite set is dominated by the set. (Contributed by SN, 10-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
imadomfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)

Proof of Theorem imadomfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5664	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		funfn 6570	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
3		resfnfinfin 9326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
4	2, 3	sylanb 593	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
5		dmfi 9324	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
7		funres 6582	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
8		funforn 6803	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
9	7, 8	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
11		fodomfi 9304	. . . . 5 ⊢ ((dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴)) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
12	6, 10, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
13	1, 12	eqbrtrid 5140	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
14		resdmss 6236	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴
15		ssdomfi 9211	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴))
16	14, 15	mpi 21	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴)
17		domtr 9034	. . . 4 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
18	16, 17	sylan2 605	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
19	13, 18	sylancom 600	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
20	19	ancoms 464	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  –onto→wfo 6536   ≼ cdom 8971  Fincfn 8973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8476  df-en 8974  df-dom 8975  df-fin 8977

This theorem is used by:  aks6d1c6lem5  43227