Theorem imadomfi 42487

Description: An image of a function under a finite set is dominated by the set. (Contributed by SN, 10-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
imadomfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)

Proof of Theorem imadomfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5631	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		funfn 6515	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
3		resfnfinfin 9237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
4	2, 3	sylanb 587	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
5		dmfi 9235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin)
7		funres 6527	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
8		funforn 6746	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
9	7, 8	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴))
11		fodomfi 9212	. . . . 5 ⊢ ((dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)–onto→ran (𝐹 ↾ 𝐴)) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
12	6, 10, 11	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
13	1, 12	eqbrtrid 5107	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
14		resdmss 6186	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴
15		ssdomfi 9120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴))
16	14, 15	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴)
17		domtr 8944	. . . 4 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
18	16, 17	sylan2 599	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ≼ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
19	13, 18	sylancom 594	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
20	19	ancoms 459	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072  dom cdm 5618  ran crn 5619   ↾ cres 5620   “ cima 5621  Fun wfun 6479   Fn wfn 6480  –onto→wfo 6483   ≼ cdom 8881  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-1o 8395  df-en 8884  df-dom 8885  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem5  42662