Theorem ssdomfi2 9197

Description: A set dominates its finite subsets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ssdomg 8993). (Contributed by BTernaryTau, 24-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomfi2	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem ssdomfi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6869	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		f1of1 6830	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴
4		f1ss 6791	. . 3 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
5	3, 4	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
6		f1domfi2 9182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
7	5, 6	syl3an3 1166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   I cid 5573   ↾ cres 5678  –1-1→wf1 6538  –1-1-onto→wf1o 6540   ≼ cdom 8934  Fincfn 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-om 7853  df-1o 8463  df-en 8937  df-dom 8938  df-fin 8940

This theorem is referenced by:  sucdom2  9203  nndomog  9213  nnsdomg  9299