Theorem ssdomfi2 9106

Description: A set dominates its finite subsets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ssdomg 8922). (Contributed by BTernaryTau, 24-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomfi2	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem ssdomfi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6801	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		f1of1 6762	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴
4		f1ss 6724	. . 3 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
6		f1domfi2 9091	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
7	5, 6	syl3an3 1165	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   I cid 5508   ↾ cres 5616  –1-1→wf1 6478  –1-1-onto→wf1o 6480   ≼ cdom 8867  Fincfn 8869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-en 8870  df-dom 8871  df-fin 8873

This theorem is referenced by:  sucdom2  9112  nndomog  9122  nnsdomg  9183  fisdomnn  42285