Theorem ssdomfi2 9161

Description: A set dominates its finite subsets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ssdomg 8971). (Contributed by BTernaryTau, 24-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomfi2	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem ssdomfi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6838	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		f1of1 6799	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴
4		f1ss 6761	. . 3 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
6		f1domfi2 9146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
7	5, 6	syl3an3 1165	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   I cid 5532   ↾ cres 5640  –1-1→wf1 6508  –1-1-onto→wf1o 6510   ≼ cdom 8916  Fincfn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-en 8919  df-dom 8920  df-fin 8922

This theorem is referenced by:  sucdom2  9167  nndomog  9177  nnsdomg  9246  fisdomnn  42232