Theorem hashcard 14500

Description: The size function of the cardinality function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashcard	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashcard

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardidm 10041	. . 3 ⊢ (card‘(card‘𝐴)) = (card‘𝐴)
2	1	fveq2i 6889	. 2 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(card‘𝐴))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴))
3		ficardom 10043	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4		ssid 3951	. . . 4 ⊢ (card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐴)
5		ssnnfi 9186	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐴)) → (card‘𝐴) ∈ Fin)
6	3, 4, 5	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ Fin)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
8	7	hashgval 14478	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(card‘𝐴))) = (♯‘(card‘𝐴)))
9	6, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(card‘𝐴))) = (♯‘(card‘𝐴)))
10	7	hashgval 14478	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
11	2, 9, 10	3eqtr3a 2820	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3914   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ωcom 7878  reccrdg 8418  Fincfn 8974  cardccrd 10017  0cc0 11201  1c1 11202   + caddc 11204  ♯chash 14475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-hash 14476

This theorem is used by:  ishashinf  14609  ackbijnn  15998