Theorem hashcard 13922

Description: The size function of the cardinality function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashcard	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashcard

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardidm 9575	. . 3 ⊢ (card‘(card‘𝐴)) = (card‘𝐴)
2	1	fveq2i 6720	. 2 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(card‘𝐴))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴))
3		ficardom 9577	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4		ssid 3923	. . . 4 ⊢ (card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐴)
5		ssnnfi 8847	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐴)) → (card‘𝐴) ∈ Fin)
6	3, 4, 5	sylancl 589	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ Fin)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
8	7	hashgval 13899	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(card‘𝐴))) = (♯‘(card‘𝐴)))
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(card‘𝐴))) = (♯‘(card‘𝐴)))
10	7	hashgval 13899	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
11	2, 9, 10	3eqtr3a 2802	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866   ↦ cmpt 5135   ↾ cres 5553  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ωcom 7644  reccrdg 8145  Fincfn 8626  cardccrd 9551  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732  ♯chash 13896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-hash 13897

This theorem is referenced by:  ishashinf  14029  ackbijnn  15392