Theorem pwfiOLD 9044

Description: Obsolete version of pwfi 8923 as of 7-Sep-2024. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pwfiOLD	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem pwfiOLD

Dummy variables 𝑚 𝑘 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8719	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑚)
2		pweq 4546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = ∅ → 𝒫 𝑚 = 𝒫 ∅)
3	2	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 ∅ ∈ Fin))
4		pweq 4546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 𝑘)
5	4	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑘 ∈ Fin))
6		pweq 4546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 suc 𝑘)
7		df-suc 6257	. . . . . . . . 9 ⊢ suc 𝑘 = (𝑘 ∪ {𝑘})
8	7	pweqi 4548	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 suc 𝑘 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘})
9	6, 8	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}))
10	9	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
11		pw0 4742	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
12		df1o2 8279	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
13	11, 12	eqtr4i 2769	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 ∅ = 1o
14		1onn 8432	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ ω
15		ssid 3939	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ⊆ 1o
16		ssnnfi 8914	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 1o ⊆ 1o) → 1o ∈ Fin)
17	14, 15, 16	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ Fin
18	13, 17	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Fin
19		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘})) = (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘}))
20	19	pwfilem 8922	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin)
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
22	3, 5, 10, 18, 21	finds1 7722	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝒫 𝑚 ∈ Fin)
23		pwen 8886	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑚 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚)
24		enfii 8932	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝑚 ∈ Fin ∧ 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
25	22, 23, 24	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
26	25	rexlimiva 3209	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑚 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
27	1, 26	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
28		pwexr 7593	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
29		canth2g 8867	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
30		sdomdom 8723	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
31	28, 29, 30	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
32		domfi 8935	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
33	31, 32	mpdan 683	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
34	27, 33	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  suc csuc 6253  ωcom 7687  1_oc1o 8260   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689   ≺ csdm 8690  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695

This theorem is referenced by: (None)