MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfiOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwfiOLD 9250
Description: Obsolete version of pwfi 9081 as of 7-Sep-2024. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pwfiOLD (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem pwfiOLD
Dummy variables 𝑚 𝑘 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8875 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
2 pweq 4573 . . . . . . 7 (𝑚 = ∅ → 𝒫 𝑚 = 𝒫 ∅)
32eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑚 = ∅ → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 ∅ ∈ Fin))
4 pweq 4573 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 𝑘)
54eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑘 ∈ Fin))
6 pweq 4573 . . . . . . . 8 (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 suc 𝑘)
7 df-suc 6322 . . . . . . . . 9 suc 𝑘 = (𝑘 ∪ {𝑘})
87pweqi 4575 . . . . . . . 8 𝒫 suc 𝑘 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘})
96, 8eqtrdi 2794 . . . . . . 7 (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}))
109eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑚 = suc 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
11 pw0 4771 . . . . . . . 8 𝒫 ∅ = {∅}
12 df1o2 8412 . . . . . . . 8 1o = {∅}
1311, 12eqtr4i 2769 . . . . . . 7 𝒫 ∅ = 1o
14 1onn 8579 . . . . . . . 8 1o ∈ ω
15 ssid 3965 . . . . . . . 8 1o ⊆ 1o
16 ssnnfi 9072 . . . . . . . 8 ((1o ∈ ω ∧ 1o ⊆ 1o) → 1o ∈ Fin)
1714, 15, 16mp2an 691 . . . . . . 7 1o ∈ Fin
1813, 17eqeltri 2835 . . . . . 6 𝒫 ∅ ∈ Fin
19 eqid 2738 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘})) = (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘}))
2019pwfilem 9080 . . . . . . 7 (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin)
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
223, 5, 10, 18, 21finds1 7831 . . . . 5 (𝑚 ∈ ω → 𝒫 𝑚 ∈ Fin)
23 pwen 9053 . . . . 5 (𝐴𝑚 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚)
24 enfii 9092 . . . . 5 ((𝒫 𝑚 ∈ Fin ∧ 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
2522, 23, 24syl2an 597 . . . 4 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
2625rexlimiva 3143 . . 3 (∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
271, 26sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
28 pwexr 7692 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
29 canth2g 9034 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
30 sdomdom 8879 . . . 4 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
3128, 29, 303syl 18 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
32 domfi 9095 . . 3 ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3331, 32mpdan 686 . 2 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
3427, 33impbii 208 1 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3072  Vcvv 3444  cun 3907  wss 3909  c0 4281  𝒫 cpw 4559  {csn 4585   class class class wbr 5104  cmpt 5187  suc csuc 6318  ωcom 7795  1oc1o 8398  cen 8839  cdom 8840  csdm 8841  Fincfn 8842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8607  df-map 8726  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator