Theorem pwfiOLD 9417

Description: Obsolete version of pwfi 9385 as of 7-Sep-2024. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pwfiOLD	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem pwfiOLD

Dummy variables 𝑚 𝑘 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 9036	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑚)
2		pweq 4636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = ∅ → 𝒫 𝑚 = 𝒫 ∅)
3	2	eleq1d 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 ∅ ∈ Fin))
4		pweq 4636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 𝑘)
5	4	eleq1d 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑘 ∈ Fin))
6		pweq 4636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 suc 𝑘)
7		df-suc 6401	. . . . . . . . 9 ⊢ suc 𝑘 = (𝑘 ∪ {𝑘})
8	7	pweqi 4638	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 suc 𝑘 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘})
9	6, 8	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}))
10	9	eleq1d 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
11		pw0 4837	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
12		df1o2 8529	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
13	11, 12	eqtr4i 2771	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 ∅ = 1o
14		1onn 8696	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ ω
15		ssid 4031	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ⊆ 1o
16		ssnnfi 9235	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 1o ⊆ 1o) → 1o ∈ Fin)
17	14, 15, 16	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ Fin
18	13, 17	eqeltri 2840	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Fin
19		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘})) = (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘}))
20	19	pwfilem 9384	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin)
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
22	3, 5, 10, 18, 21	finds1 7939	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝒫 𝑚 ∈ Fin)
23		pwen 9216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑚 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚)
24		enfii 9252	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝑚 ∈ Fin ∧ 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
25	22, 23, 24	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
26	25	rexlimiva 3153	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑚 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
27	1, 26	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
28		pwexr 7800	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
29		canth2g 9197	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
30		sdomdom 9040	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
31	28, 29, 30	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
32		domfi 9255	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
33	31, 32	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
34	27, 33	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  suc csuc 6397  ωcom 7903  1_oc1o 8515   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001   ≺ csdm 9002  Fincfn 9003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007

This theorem is referenced by: (None)