Theorem pwfiOLD 9114

Description: Obsolete version of pwfi 8961 as of 7-Sep-2024. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pwfiOLD	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem pwfiOLD

Dummy variables 𝑚 𝑘 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8764	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑚)
2		pweq 4549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = ∅ → 𝒫 𝑚 = 𝒫 ∅)
3	2	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 ∅ ∈ Fin))
4		pweq 4549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 𝑘)
5	4	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑘 ∈ Fin))
6		pweq 4549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 suc 𝑘)
7		df-suc 6272	. . . . . . . . 9 ⊢ suc 𝑘 = (𝑘 ∪ {𝑘})
8	7	pweqi 4551	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 suc 𝑘 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘})
9	6, 8	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}))
10	9	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
11		pw0 4745	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
12		df1o2 8304	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
13	11, 12	eqtr4i 2769	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 ∅ = 1o
14		1onn 8470	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ ω
15		ssid 3943	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ⊆ 1o
16		ssnnfi 8952	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 1o ⊆ 1o) → 1o ∈ Fin)
17	14, 15, 16	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ Fin
18	13, 17	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Fin
19		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘})) = (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘}))
20	19	pwfilem 8960	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin)
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
22	3, 5, 10, 18, 21	finds1 7748	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝒫 𝑚 ∈ Fin)
23		pwen 8937	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑚 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚)
24		enfii 8972	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝑚 ∈ Fin ∧ 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
25	22, 23, 24	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
26	25	rexlimiva 3210	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑚 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
27	1, 26	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
28		pwexr 7615	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
29		canth2g 8918	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
30		sdomdom 8768	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
31	28, 29, 30	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
32		domfi 8975	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
33	31, 32	mpdan 684	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
34	27, 33	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  suc csuc 6268  ωcom 7712  1_oc1o 8290   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731   ≺ csdm 8732  Fincfn 8733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737

This theorem is referenced by: (None)