MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnp3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem metcnp3 24031
Description: Two ways to express that 𝐹 is continuous at 𝑃 for metric spaces. Proposition 14-4.2 of [Gleason] p. 240. (Contributed by NM, 17-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metcn.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metcnp3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐽,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑦,π‘Œ,𝑧   𝑦,𝐢,𝑧   𝑦,𝐷,𝑧   𝑦,𝑃,𝑧
Proof of Theorem metcnp3
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
21mopntopon 23927 . . . 4 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
323ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 metcn.4 . . . . 5 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
54mopnval 23926 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)))
653ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)))
74mopntopon 23927 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
873ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
9 simp3 1139 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
103, 6, 8, 9tgcnp 22739 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))))
11 simpll2 1214 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
12 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
13 simpll3 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
1412, 13ffvelcdmd 7083 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ)
15 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
16 blcntr 23901 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))
1711, 14, 15, 16syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))
18 rpxr 12979 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
1918adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
20 blelrn 23905 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) ∈ ran (ballβ€˜π·))
2111, 14, 19, 20syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) ∈ ran (ballβ€˜π·))
22 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
23 sseq2 4007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒 ↔ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
2423anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
2524rexbidv 3179 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
2622, 25imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))))
2726rspcv 3608 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) ∈ ran (ballβ€˜π·) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))))
2821, 27syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))))
2917, 28mpid 44 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
30 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
32 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ 𝑣 ∈ 𝐽)
33 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ 𝑃 ∈ 𝑣)
341mopni2 23984 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣)
36 sstr2 3988 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑣) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
37 imass2 6098 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣 β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑣))
3836, 37syl11 33 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣 β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
3938reximdv 3171 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4035, 39syl5com 31 . . . . . . . . 9 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4140expimpd 455 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4241expr 458 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑣 ∈ 𝐽 β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
4342rexlimdv 3154 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4429, 43syld 47 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4544ralrimdva 3155 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
46 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
47 blss 23913 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒)
48473expib 1123 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ ((𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒))
4946, 48syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒))
50 r19.29r 3117 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
5130ad5ant12 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5213ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
53 rpxr 12979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
5453ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
551blopn 23991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∈ 𝐽)
5651, 52, 54, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∈ 𝐽)
57 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
58 blcntr 23901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧))
5951, 52, 57, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧))
60 sstr 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)
6160ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) ∧ ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒)) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)
6261ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)
63 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) β†’ (𝑃 ∈ 𝑣 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)))
64 imaeq2 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) β†’ (𝐹 β€œ 𝑣) = (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)))
6564sseq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒 ↔ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒))
6663, 65anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)))
6766rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))
6856, 59, 62, 67syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))
6968expr 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7069rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7170expimpd 455 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7271rexlimdva 3156 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7350, 72syl5 34 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7473expd 417 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
7549, 74syld 47 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
7675com23 86 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
7776exp4a 433 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))))
7877ralrimdv 3153 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
7945, 78impbid 211 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
8079pm5.32da 580 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
8110, 80bitrd 279 1 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3947  ran crn 5676   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  β„*cxr 11243  β„+crp 12970  topGenctg 17379  βˆžMetcxmet 20914  ballcbl 20916  MetOpencmopn 20919  TopOnctopon 22394   CnP ccnp 22711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-topgen 17385  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-top 22378  df-topon 22395  df-bases 22431  df-cnp 22714
This theorem is referenced by:  metcnp  24032
  Copyright terms: Public domain W3C validator