Theorem perpdragALT 27378

Description: Deduce a right angle from perpendicular lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perpdrag.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
perpdrag.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
perpdrag.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
perpdrag.4	⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))

Assertion

Ref	Expression
perpdragALT	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem perpdragALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐴)
2		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
3		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐶)
4	1, 2, 3	s3eqd 14677	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐴𝐶”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
5		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10		colperpex.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
11		perpdrag.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		perpdrag.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
13	8, 10, 12	perpln1 27361	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14		perpdrag.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
15	5, 8, 7, 10, 13, 14	tglnpt 27200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
16	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 11	ragtrivb 27353	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
17	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 15, 16	ragcom 27349	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐴𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
18	17	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐴𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
19	4, 18	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
20	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	15	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		perpdrag.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
23	5, 8, 7, 10, 13, 22	tglnpt 27200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	23	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	22	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
26		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
27	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
28	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
29	5, 7, 8, 20, 21, 24, 26, 26, 27, 28, 25	tglinethru 27287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝐵))
30	25, 29	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
31	11	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
32	12	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
33	29, 32	eqbrtrrd 5117	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
34	5, 6, 7, 8, 20, 21, 24, 30, 31, 33	perprag 27377	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
35	19, 34	pm2.61dane 3029	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   class class class wbr 5093  ran crn 5622  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  ⟨“cs3 14655  Basecbs 17010  distcds 17069  TarskiGcstrkg 27078  Itvcitv 27084  LineGclng 27085  pInvGcmir 27303  ∟Gcrag 27344  ⟂Gcperpg 27346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-oadd 8372  df-er 8570  df-map 8689  df-pm 8690  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-dju 9759  df-card 9797  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-n0 12336  df-xnn0 12408  df-z 12422  df-uz 12685  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-hash 14147  df-word 14319  df-concat 14375  df-s1 14401  df-s2 14661  df-s3 14662  df-trkgc 27099  df-trkgb 27100  df-trkgcb 27101  df-trkg 27104  df-cgrg 27162  df-mir 27304  df-rag 27345  df-perpg 27347

This theorem is referenced by: (None)