Theorem perpdragALT 26505

Description: Deduce a right angle from perpendicular lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perpdrag.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
perpdrag.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
perpdrag.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
perpdrag.4	⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))

Assertion

Ref	Expression
perpdragALT	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem perpdragALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2820	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐴)
2		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
3		eqidd 2820	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐶)
4	1, 2, 3	s3eqd 14218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐴𝐶”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
5		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10		colperpex.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
11		perpdrag.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		perpdrag.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
13	8, 10, 12	perpln1 26488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14		perpdrag.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
15	5, 8, 7, 10, 13, 14	tglnpt 26327	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
16	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 11	ragtrivb 26480	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
17	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 15, 16	ragcom 26476	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐴𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
18	17	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐴𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
19	4, 18	eqeltrrd 2912	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
20	10	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	15	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		perpdrag.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
23	5, 8, 7, 10, 13, 22	tglnpt 26327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	23	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	22	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
26		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
27	13	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
28	14	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
29	5, 7, 8, 20, 21, 24, 26, 26, 27, 28, 25	tglinethru 26414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝐵))
30	25, 29	eleqtrd 2913	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
31	11	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
32	12	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
33	29, 32	eqbrtrrd 5081	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
34	5, 6, 7, 8, 20, 21, 24, 30, 31, 33	perprag 26504	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
35	19, 34	pm2.61dane 3102	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014   class class class wbr 5057  ran crn 5549  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ⟨“cs3 14196  Basecbs 16475  distcds 16566  TarskiGcstrkg 26208  Itvcitv 26214  LineGclng 26215  pInvGcmir 26430  ∟Gcrag 26471  ⟂Gcperpg 26473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-concat 13915  df-s1 13942  df-s2 14202  df-s3 14203  df-trkgc 26226  df-trkgb 26227  df-trkgcb 26228  df-trkg 26231  df-cgrg 26289  df-mir 26431  df-rag 26472  df-perpg 26474

This theorem is referenced by: (None)