Theorem perpdragALT 28809

Description: Deduce a right angle from perpendicular lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perpdrag.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
perpdrag.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
perpdrag.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
perpdrag.4	⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))

Assertion

Ref	Expression
perpdragALT	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem perpdragALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐴)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
3		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐶)
4	1, 2, 3	s3eqd 14817	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐴𝐶”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
5		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10		colperpex.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
11		perpdrag.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		perpdrag.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
13	8, 10, 12	perpln1 28792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14		perpdrag.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
15	5, 8, 7, 10, 13, 14	tglnpt 28631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
16	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 11	ragtrivb 28784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
17	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 15, 16	ragcom 28780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐴𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐴𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
19	4, 18	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
20	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		perpdrag.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
23	5, 8, 7, 10, 13, 22	tglnpt 28631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
26		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
27	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
28	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
29	5, 7, 8, 20, 21, 24, 26, 26, 27, 28, 25	tglinethru 28718	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝐵))
30	25, 29	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
31	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
32	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
33	29, 32	eqbrtrrd 5110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
34	5, 6, 7, 8, 20, 21, 24, 30, 31, 33	perprag 28808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
35	19, 34	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ⟨“cs3 14795  Basecbs 17170  distcds 17220  TarskiGcstrkg 28509  Itvcitv 28515  LineGclng 28516  pInvGcmir 28734  ∟Gcrag 28775  ⟂Gcperpg 28777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 28530  df-trkgb 28531  df-trkgcb 28532  df-trkg 28535  df-cgrg 28593  df-mir 28735  df-rag 28776  df-perpg 28778

This theorem is referenced by: (None)