Theorem colopp 28855

Description: Opposite sides of a line for colinear points. Theorem 9.18 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
colopp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colopp.p	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
colopp.1	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
colopp	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐶   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem colopp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgid.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpgid.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		hpgid.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		hpgid.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		hpgid.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		colopp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
11		hpgid.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
12		hpgid.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
13	12	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14		simpllr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷))
15		simplr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
16		eleq1w 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
18		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
19	15, 17, 18	rspcedvd 3562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
20	1, 10, 2, 11, 6, 8	islnopp 28825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
21	20	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝑂𝐵 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
22	14, 19, 21	mpbir2and 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑂𝐵)
23	1, 10, 2, 11, 3, 13, 5, 7, 9, 22	oppne3 28829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
24	1, 2, 3, 5, 7, 9, 23	tgelrnln 28716	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 23	tglinerflx1 28719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
26	14	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
27		nelne1 3031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
28	25, 26, 27	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
29	23	neneqd 2939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
30		colopp.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
31	30	orcomd 877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
32	31	ord 870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
33	32	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
34	29, 33	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
35		colopp.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
36	35	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
37	34, 36	elind 4129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ 𝐷))
38	1, 3, 2, 5, 13, 15	tglnpt 28635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
39	1, 2, 3, 5, 7, 9, 38, 23, 18	btwnlng1 28705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
40	39, 15	elind 4129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ 𝐷))
41	1, 2, 3, 5, 24, 13, 28, 37, 40	tglineineq 28729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 = 𝑦)
42	41, 18	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
43	42	adantllr 725	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
44	16	cbvrexvw 3218	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
45	44	bilani 505	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
46	43, 45	r19.29a 3147	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
47	35	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
48		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝐶) → 𝑡 = 𝐶)
49	48	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝐶) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
50		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
51	47, 49, 50	rspcedvd 3562	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
52	51	adantlr 721	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
53	46, 52	impbida 806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
54	53	pm5.32da 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
55		3anrot 1105	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
56		df-3an 1094	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
57	55, 56	bitri 276	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
58	57	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
59	54, 20, 58	3bitr4d 312	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880   class class class wbr 5072  {copab 5134  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  distcds 17220  TarskiGcstrkg 28513  Itvcitv 28519  LineGclng 28520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 28534  df-trkgb 28535  df-trkgcb 28536  df-trkg 28539  df-cgrg 28597

This theorem is referenced by:  colhp  28856