MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colopp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colopp 27808
Description: Opposite sides of a line for colinear points. Theorem 9.18 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpgid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpgid.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
hpgid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
colopp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
colopp.p (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
colopp.1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
Assertion
Ref Expression
colopp (πœ‘ β†’ (𝐴𝑂𝐡 ↔ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝐴   𝑑,𝐡   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐼,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑂,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑑   πœ‘,𝑑   𝑑,𝐢   𝐿,π‘Ž,𝑏,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐡(π‘Ž,𝑏)   𝐢(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem colopp
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpgid.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 hpgid.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 hpgid.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
4 hpgid.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 hpgid.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 colopp.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
11 hpgid.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
12 hpgid.d . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1312ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷))
15 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
16 eleq1w 2815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑦 β†’ (𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ 𝑑 = 𝑦) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
1915, 17, 18rspcedvd 3597 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
201, 10, 2, 11, 6, 8islnopp 27778 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑂𝐡 ↔ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡))))
2120ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐴𝑂𝐡 ↔ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡))))
2214, 19, 21mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴𝑂𝐡)
231, 10, 2, 11, 3, 13, 5, 7, 9, 22oppne3 27782 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
241, 2, 3, 5, 7, 9, 23tgelrnln 27669 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐴𝐿𝐡) ∈ ran 𝐿)
251, 2, 3, 5, 7, 9, 23tglinerflx1 27672 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐡))
2614simpld 495 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
27 nelne1 3038 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ (𝐴𝐿𝐡) β‰  𝐷)
2825, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐴𝐿𝐡) β‰  𝐷)
2923neneqd 2944 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ Β¬ 𝐴 = 𝐡)
30 colopp.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
3130orcomd 869 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝐡 ∨ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡)))
3231ord 862 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐴 = 𝐡 β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡)))
3332ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (Β¬ 𝐴 = 𝐡 β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡)))
3429, 33mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡))
35 colopp.p . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
3635ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
3734, 36elind 4174 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝐴𝐿𝐡) ∩ 𝐷))
381, 3, 2, 5, 13, 15tglnpt 27588 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
391, 2, 3, 5, 7, 9, 38, 23, 18btwnlng1 27658 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴𝐿𝐡))
4039, 15elind 4174 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ((𝐴𝐿𝐡) ∩ 𝐷))
411, 2, 3, 5, 24, 13, 28, 37, 40tglineineq 27682 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 = 𝑦)
4241, 18eqeltrd 2832 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
4342adantllr 717 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
44 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
4516cbvrexvw 3234 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
4644, 45sylib 217 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
4743, 46r19.29a 3161 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
4835adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
49 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ 𝑑 = 𝐢) β†’ 𝑑 = 𝐢)
5049eleq1d 2817 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ 𝑑 = 𝐢) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ↔ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
51 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
5248, 50, 51rspcedvd 3597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
5352adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
5447, 53impbida 799 . . 3 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ↔ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
5554pm5.32da 579 . 2 (πœ‘ β†’ (((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ↔ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))))
56 3anrot 1100 . . . 4 ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷) ↔ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷 ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
57 df-3an 1089 . . . 4 ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷 ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ↔ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
5856, 57bitri 274 . . 3 ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷) ↔ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
5958a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷) ↔ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))))
6055, 20, 593bitr4d 310 1 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑂𝐡 ↔ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3925   class class class wbr 5125  {copab 5187  ran crn 5654  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  distcds 17171  TarskiGcstrkg 27466  Itvcitv 27472  LineGclng 27473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8670  df-pm 8790  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-xnn0 12510  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-hash 14256  df-word 14430  df-concat 14486  df-s1 14511  df-s2 14764  df-s3 14765  df-trkgc 27487  df-trkgb 27488  df-trkgcb 27489  df-trkg 27492  df-cgrg 27550
This theorem is referenced by:  colhp  27809
  Copyright terms: Public domain W3C validator