Theorem colopp 28714

Description: Opposite sides of a line for colinear points. Theorem 9.18 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
colopp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colopp.p	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
colopp.1	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
colopp	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐶   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem colopp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgid.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpgid.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		hpgid.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		hpgid.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		hpgid.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		colopp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
11		hpgid.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
12		hpgid.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
13	12	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷))
15		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
16		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
19	15, 17, 18	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
20	1, 10, 2, 11, 6, 8	islnopp 28684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
21	20	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝑂𝐵 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
22	14, 19, 21	mpbir2and 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑂𝐵)
23	1, 10, 2, 11, 3, 13, 5, 7, 9, 22	oppne3 28688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
24	1, 2, 3, 5, 7, 9, 23	tgelrnln 28575	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 23	tglinerflx1 28578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
26	14	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
27		nelne1 3022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
28	25, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
29	23	neneqd 2930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
30		colopp.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
31	30	orcomd 871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
32	31	ord 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
33	32	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
34	29, 33	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
35		colopp.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
36	35	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
37	34, 36	elind 4151	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ 𝐷))
38	1, 3, 2, 5, 13, 15	tglnpt 28494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
39	1, 2, 3, 5, 7, 9, 38, 23, 18	btwnlng1 28564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
40	39, 15	elind 4151	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ 𝐷))
41	1, 2, 3, 5, 24, 13, 28, 37, 40	tglineineq 28588	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 = 𝑦)
42	41, 18	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
43	42	adantllr 719	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
44		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
45	16	cbvrexvw 3208	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
46	44, 45	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
47	43, 46	r19.29a 3137	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
48	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
49		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝐶) → 𝑡 = 𝐶)
50	49	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝐶) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
51		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
52	48, 50, 51	rspcedvd 3579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
53	52	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
54	47, 53	impbida 800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
55	54	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝜑 → (((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
56		3anrot 1099	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
57		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
58	56, 57	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
59	58	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
60	55, 20, 59	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3900   class class class wbr 5092  {copab 5154  ran crn 5620  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28372  Itvcitv 28378  LineGclng 28379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503  df-s2 14755  df-s3 14756  df-trkgc 28393  df-trkgb 28394  df-trkgcb 28395  df-trkg 28398  df-cgrg 28456

This theorem is referenced by:  colhp  28715