MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colopp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colopp 27540
Description: Opposite sides of a line for colinear points. Theorem 9.18 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
colopp.b (𝜑𝐵𝑃)
colopp.p (𝜑𝐶𝐷)
colopp.1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
Assertion
Ref Expression
colopp (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐶   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem colopp
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpgid.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpgid.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 hpgid.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 hpgid.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 hpgid.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑃)
76ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
8 colopp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑃)
98ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
10 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
11 hpgid.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
12 hpgid.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
1312ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷))
15 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦𝐷)
16 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
1915, 17, 18rspcedvd 3581 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
201, 10, 2, 11, 6, 8islnopp 27510 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
2120ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝑂𝐵 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
2214, 19, 21mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑂𝐵)
231, 10, 2, 11, 3, 13, 5, 7, 9, 22oppne3 27514 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝐵)
241, 2, 3, 5, 7, 9, 23tgelrnln 27401 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
251, 2, 3, 5, 7, 9, 23tglinerflx1 27404 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2614simpld 495 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴𝐷)
27 nelne1 3039 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
2825, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
2923neneqd 2946 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
30 colopp.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
3130orcomd 869 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
3231ord 862 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
3332ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
3429, 33mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
35 colopp.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝐷)
3635ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶𝐷)
3734, 36elind 4152 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ 𝐷))
381, 3, 2, 5, 13, 15tglnpt 27320 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦𝑃)
391, 2, 3, 5, 7, 9, 38, 23, 18btwnlng1 27390 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
4039, 15elind 4152 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ 𝐷))
411, 2, 3, 5, 24, 13, 28, 37, 40tglineineq 27414 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 = 𝑦)
4241, 18eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
4342adantllr 717 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
44 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
4516cbvrexvw 3224 . . . . . 6 (∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ ∃𝑦𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
4644, 45sylib 217 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑦𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
4743, 46r19.29a 3157 . . . 4 (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
4835adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶𝐷)
49 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝐶) → 𝑡 = 𝐶)
5049eleq1d 2822 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝐶) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
51 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
5248, 50, 51rspcedvd 3581 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
5352adantlr 713 . . . 4 (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
5447, 53impbida 799 . . 3 ((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → (∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
5554pm5.32da 579 . 2 (𝜑 → (((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
56 3anrot 1100 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ↔ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
57 df-3an 1089 . . . 4 ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
5856, 57bitri 274 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
5958a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
6055, 20, 593bitr4d 310 1 (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wrex 3071  cdif 3905   class class class wbr 5103  {copab 5165  ran crn 5632  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17043  distcds 17102  TarskiGcstrkg 27198  Itvcitv 27204  LineGclng 27205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-oadd 8408  df-er 8606  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-dju 9795  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-xnn0 12444  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-hash 14185  df-word 14357  df-concat 14413  df-s1 14438  df-s2 14695  df-s3 14696  df-trkgc 27219  df-trkgb 27220  df-trkgcb 27221  df-trkg 27224  df-cgrg 27282
This theorem is referenced by:  colhp  27541
  Copyright terms: Public domain W3C validator