Theorem colopp 29104

Description: Opposite sides of a line for colinear points. Theorem 9.18 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
colopp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colopp.p	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
colopp.1	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
colopp	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐶   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐴(𝑎, 𝑏)   𝐵(𝑎, 𝑏)   𝐶(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem colopp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgid.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpgid.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		hpgid.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		hpgid.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		hpgid.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		colopp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
11		hpgid.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
12		hpgid.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
13	12	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷))
15		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
16		eleq1w 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
17	16	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
18		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
19	15, 17, 18	rspcedvd 3585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
20	1, 10, 2, 11, 6, 8	islnopp 29073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
21	20	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝑂𝐵 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
22	14, 19, 21	mpbir2and 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑂𝐵)
23	1, 10, 2, 11, 3, 13, 5, 7, 9, 22	oppne3 29077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
24	1, 2, 3, 5, 7, 9, 23	tgelrnln 28956	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 23	tglinerflx1 28959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
26	14	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
27		nelne1 3057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
28	25, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
29	23	neneqd 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
30		colopp.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
31	30	orcomd 885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
32	31	ord 878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
33	32	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
34	29, 33	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
35		colopp.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
36	35	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
37	34, 36	elind 4153	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ 𝐷))
38	1, 3, 2, 5, 13, 15	tglnpt 28871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
39	1, 2, 3, 5, 7, 9, 38, 23, 18	btwnlng1 28945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
40	39, 15	elind 4153	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ 𝐷))
41	1, 2, 3, 5, 24, 13, 28, 37, 40	tglineineq 28969	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 = 𝑦)
42	41, 18	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
43	42	adantllr 732	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
44	16	cbvrexvw 3246	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
45	44	bilani 510	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
46	43, 45	r19.29a 3175	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
47	35	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
48		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝐶) → 𝑡 = 𝐶)
49	48	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝐶) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
50		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
51	47, 49, 50	rspcedvd 3585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
52	51	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
53	46, 52	impbida 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
54	53	pm5.32da 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
55		3anrot 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
56		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
57	55, 56	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
58	57	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
59	54, 20, 58	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   class class class wbr 5111  {copab 5175  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  distcds 17343  TarskiGcstrkg 28749  Itvcitv 28755  LineGclng 28756

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912  df-trkgc 28770  df-trkgb 28771  df-trkgcb 28772  df-trkg 28775  df-cgrg 28833

This theorem is used by:  colhp  29105