Theorem colopp 28854

Description: Opposite sides of a line for colinear points. Theorem 9.18 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
colopp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colopp.p	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
colopp.1	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
colopp	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐶   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem colopp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgid.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpgid.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		hpgid.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		hpgid.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		hpgid.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		colopp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
11		hpgid.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
12		hpgid.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
13	12	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷))
15		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
16		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
19	15, 17, 18	rspcedvd 3567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
20	1, 10, 2, 11, 6, 8	islnopp 28824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
21	20	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝑂𝐵 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
22	14, 19, 21	mpbir2and 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑂𝐵)
23	1, 10, 2, 11, 3, 13, 5, 7, 9, 22	oppne3 28828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
24	1, 2, 3, 5, 7, 9, 23	tgelrnln 28715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 23	tglinerflx1 28718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
26	14	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
27		nelne1 3030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
28	25, 26, 27	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
29	23	neneqd 2938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
30		colopp.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
31	30	orcomd 872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
32	31	ord 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
33	32	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
34	29, 33	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
35		colopp.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
36	35	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
37	34, 36	elind 4141	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ 𝐷))
38	1, 3, 2, 5, 13, 15	tglnpt 28634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
39	1, 2, 3, 5, 7, 9, 38, 23, 18	btwnlng1 28704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
40	39, 15	elind 4141	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ 𝐷))
41	1, 2, 3, 5, 24, 13, 28, 37, 40	tglineineq 28728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 = 𝑦)
42	41, 18	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
43	42	adantllr 720	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
44		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
45	16	cbvrexvw 3217	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
46	44, 45	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
47	43, 46	r19.29a 3146	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
48	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
49		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝐶) → 𝑡 = 𝐶)
50	49	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝐶) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
51		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
52	48, 50, 51	rspcedvd 3567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
53	52	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
54	47, 53	impbida 801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
55	54	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝜑 → (((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
56		3anrot 1100	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
57		df-3an 1089	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
58	56, 57	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
59	58	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
60	55, 20, 59	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887   class class class wbr 5086  {copab 5148  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  distcds 17223  TarskiGcstrkg 28512  Itvcitv 28518  LineGclng 28519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-hash 14287  df-word 14470  df-concat 14527  df-s1 14553  df-s2 14804  df-s3 14805  df-trkgc 28533  df-trkgb 28534  df-trkgcb 28535  df-trkg 28538  df-cgrg 28596

This theorem is referenced by:  colhp  28855