Theorem colopp 28287

Description: Opposite sides of a line for colinear points. Theorem 9.18 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
colopp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colopp.p	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
colopp.1	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
colopp	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐶   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem colopp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgid.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpgid.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		hpgid.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		hpgid.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		hpgid.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		colopp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
11		hpgid.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
12		hpgid.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
13	12	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14		simpllr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷))
15		simplr 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
16		eleq1w 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
17	16	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
18		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
19	15, 17, 18	rspcedvd 3613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
20	1, 10, 2, 11, 6, 8	islnopp 28257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
21	20	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝑂𝐵 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
22	14, 19, 21	mpbir2and 709	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑂𝐵)
23	1, 10, 2, 11, 3, 13, 5, 7, 9, 22	oppne3 28261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
24	1, 2, 3, 5, 7, 9, 23	tgelrnln 28148	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 23	tglinerflx1 28151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
26	14	simpld 493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
27		nelne1 3037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
28	25, 26, 27	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
29	23	neneqd 2943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
30		colopp.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
31	30	orcomd 867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
32	31	ord 860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
33	32	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
34	29, 33	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
35		colopp.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
36	35	ad3antrrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
37	34, 36	elind 4193	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ 𝐷))
38	1, 3, 2, 5, 13, 15	tglnpt 28067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
39	1, 2, 3, 5, 7, 9, 38, 23, 18	btwnlng1 28137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
40	39, 15	elind 4193	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ 𝐷))
41	1, 2, 3, 5, 24, 13, 28, 37, 40	tglineineq 28161	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 = 𝑦)
42	41, 18	eqeltrd 2831	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
43	42	adantllr 715	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
44		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
45	16	cbvrexvw 3233	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
46	44, 45	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
47	43, 46	r19.29a 3160	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
48	35	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
49		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝐶) → 𝑡 = 𝐶)
50	49	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝐶) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
51		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
52	48, 50, 51	rspcedvd 3613	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
53	52	adantlr 711	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
54	47, 53	impbida 797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
55	54	pm5.32da 577	. 2 ⊢ (𝜑 → (((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
56		3anrot 1098	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
57		df-3an 1087	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
58	56, 57	bitri 274	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
59	58	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
60	55, 20, 59	3bitr4d 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   ∖ cdif 3944   class class class wbr 5147  {copab 5209  ran crn 5676  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27945  Itvcitv 27951  LineGclng 27952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 27966  df-trkgb 27967  df-trkgcb 27968  df-trkg 27971  df-cgrg 28029

This theorem is referenced by:  colhp  28288