Theorem footeq 26769

Description: Uniqueness of the foot point. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
footeq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
footeq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
footeq.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
footeq.1	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
footeq.2	⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
footeq	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem footeq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7199	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑍𝐿𝑥) = (𝑍𝐿𝑋))
2	1	breq1d 5049	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑍𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴 ↔ (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)𝐴))
3		oveq2 7199	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑍𝐿𝑥) = (𝑍𝐿𝑌))
4	3	breq1d 5049	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑍𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴 ↔ (𝑍𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴))
5		isperp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		isperp.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		isperp.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		isperp.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		isperp.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		isperp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
11		footeq.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
12		footeq.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
13		footeq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
14	5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11, 13	footne 26768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14	foot 26767	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 (𝑍𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
16		footeq.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
17	5, 8, 7, 9, 10, 12	tglnpt 26594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
18	8, 9, 13	perpln1 26755	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
19	5, 7, 8, 9, 17, 11, 18	tglnne 26673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
20	5, 7, 8, 9, 17, 11, 19	tglinecom 26680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑋))
21	20, 13	eqbrtrrd 5063	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)𝐴)
22	5, 8, 7, 9, 10, 16	tglnpt 26594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
23		footeq.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
24	8, 9, 23	perpln1 26755	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
25	5, 7, 8, 9, 22, 11, 24	tglnne 26673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
26	5, 7, 8, 9, 22, 11, 25	tglinecom 26680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑌))
27	26, 23	eqbrtrrd 5063	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
28	2, 4, 15, 12, 16, 21, 27	reu2eqd 3638	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  ran crn 5537  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  distcds 16758  TarskiGcstrkg 26475  Itvcitv 26481  LineGclng 26482  ⟂Gcperpg 26740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-oadd 8184  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-dju 9482  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-xnn0 12128  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-hash 13862  df-word 14035  df-concat 14091  df-s1 14118  df-s2 14378  df-s3 14379  df-trkgc 26493  df-trkgb 26494  df-trkgcb 26495  df-trkg 26498  df-cgrg 26556  df-leg 26628  df-mir 26698  df-rag 26739  df-perpg 26741

This theorem is referenced by: (None)