Theorem footeq 28899

Description: Uniqueness of the foot point. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
footeq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
footeq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
footeq.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
footeq.1	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
footeq.2	⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
footeq	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem footeq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7406	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑍𝐿𝑥) = (𝑍𝐿𝑋))
2	1	breq1d 5112	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑍𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴 ↔ (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)𝐴))
3		oveq2 7406	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑍𝐿𝑥) = (𝑍𝐿𝑌))
4	3	breq1d 5112	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑍𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴 ↔ (𝑍𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴))
5		isperp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		isperp.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		isperp.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		isperp.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		isperp.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		isperp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
11		footeq.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
12		footeq.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
13		footeq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
14	5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11, 13	footne 28898	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14	foot 28897	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 (𝑍𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
16		footeq.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
17	5, 8, 7, 9, 10, 12	tglnpt 28720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
18	8, 9, 13	perpln1 28885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
19	5, 7, 8, 9, 17, 11, 18	tglnne 28799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
20	5, 7, 8, 9, 17, 11, 19	tglinecom 28806	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑋))
21	20, 13	eqbrtrrd 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)𝐴)
22	5, 8, 7, 9, 10, 16	tglnpt 28720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
23		footeq.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
24	8, 9, 23	perpln1 28885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
25	5, 7, 8, 9, 22, 11, 24	tglnne 28799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
26	5, 7, 8, 9, 22, 11, 25	tglinecom 28806	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑌))
27	26, 23	eqbrtrrd 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
28	2, 4, 15, 12, 16, 21, 27	reu2eqd 3701	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ran crn 5650  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  distcds 17297  TarskiGcstrkg 28598  Itvcitv 28604  LineGclng 28605  ⟂Gcperpg 28870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-oadd 8443  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-hash 14346  df-word 14529  df-concat 14586  df-s1 14612  df-s2 14863  df-s3 14864  df-trkgc 28619  df-trkgb 28620  df-trkgcb 28621  df-trkg 28624  df-cgrg 28682  df-leg 28754  df-mir 28828  df-rag 28869  df-perpg 28871

This theorem is referenced by: (None)