Theorem footeq 28812

Description: Uniqueness of the foot point. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
footeq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
footeq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
footeq.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
footeq.1	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
footeq.2	⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
footeq	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem footeq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7367	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑍𝐿𝑥) = (𝑍𝐿𝑋))
2	1	breq1d 5084	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑍𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴 ↔ (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)𝐴))
3		oveq2 7367	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑍𝐿𝑥) = (𝑍𝐿𝑌))
4	3	breq1d 5084	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑍𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴 ↔ (𝑍𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴))
5		isperp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		isperp.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		isperp.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		isperp.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		isperp.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		isperp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
11		footeq.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
12		footeq.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
13		footeq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
14	5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11, 13	footne 28811	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14	foot 28810	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 (𝑍𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
16		footeq.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
17	5, 8, 7, 9, 10, 12	tglnpt 28637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
18	8, 9, 13	perpln1 28798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
19	5, 7, 8, 9, 17, 11, 18	tglnne 28716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
20	5, 7, 8, 9, 17, 11, 19	tglinecom 28723	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑋))
21	20, 13	eqbrtrrd 5098	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)𝐴)
22	5, 8, 7, 9, 10, 16	tglnpt 28637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
23		footeq.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
24	8, 9, 23	perpln1 28798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
25	5, 7, 8, 9, 22, 11, 24	tglnne 28716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
26	5, 7, 8, 9, 22, 11, 25	tglinecom 28723	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑌))
27	26, 23	eqbrtrrd 5098	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
28	2, 4, 15, 12, 16, 21, 27	reu2eqd 3678	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5074  ran crn 5621  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Basecbs 17174  distcds 17224  TarskiGcstrkg 28515  Itvcitv 28521  LineGclng 28522  ⟂Gcperpg 28783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 28536  df-trkgb 28537  df-trkgcb 28538  df-trkg 28541  df-cgrg 28599  df-leg 28671  df-mir 28741  df-rag 28782  df-perpg 28784

This theorem is referenced by: (None)