MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perpcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perpcom 26024
Description: The "perpendicular" relation commutes. Theorem 8.12 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp.b (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
perpcom.1 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
Assertion
Ref Expression
perpcom (𝜑𝐵(⟂G‘𝐺)𝐴)

Proof of Theorem perpcom
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 perpcom.1 . 2 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
2 incom 4031 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
4 ralcom 3307 . . . . 5 (∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ∀𝑣𝐵𝑢𝐴 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
5 isperp.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 isperp.d . . . . . . . 8 = (dist‘𝐺)
7 isperp.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8 isperp.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9 eqid 2824 . . . . . . . 8 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10 isperp.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
1110ad3antrrr 723 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12 isperp.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
1312ad3antrrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
14 simplrr 798 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑢𝐴)
155, 8, 7, 11, 13, 14tglnpt 25860 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑢𝑃)
16 inss1 4056 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
17 simpllr 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
1816, 17sseldi 3824 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑥𝐴)
195, 8, 7, 11, 13, 18tglnpt 25860 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑥𝑃)
20 isperp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
2120ad3antrrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
22 simplrl 797 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑣𝐵)
235, 8, 7, 11, 21, 22tglnpt 25860 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑣𝑃)
24 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
255, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 19, 23, 24ragcom 26009 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2610ad3antrrr 723 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2720ad3antrrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
28 simplrl 797 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑣𝐵)
295, 8, 7, 26, 27, 28tglnpt 25860 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑣𝑃)
3012ad3antrrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
31 simpllr 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
3216, 31sseldi 3824 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑥𝐴)
335, 8, 7, 26, 30, 32tglnpt 25860 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑥𝑃)
34 simplrr 798 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑢𝐴)
355, 8, 7, 26, 30, 34tglnpt 25860 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑢𝑃)
36 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
375, 6, 7, 8, 9, 26, 29, 33, 35, 36ragcom 26009 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
3825, 37impbida 837 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
39382ralbidva 3196 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → (∀𝑣𝐵𝑢𝐴 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ∀𝑣𝐵𝑢𝐴 ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
404, 39syl5bb 275 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → (∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ∀𝑣𝐵𝑢𝐴 ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
413, 40rexeqbidva 3366 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐵𝐴)∀𝑣𝐵𝑢𝐴 ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
425, 6, 7, 8, 10, 12, 20isperp 26023 . . 3 (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
435, 6, 7, 8, 10, 20, 12isperp 26023 . . 3 (𝜑 → (𝐵(⟂G‘𝐺)𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐵𝐴)∀𝑣𝐵𝑢𝐴 ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
4441, 42, 433bitr4d 303 . 2 (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵𝐵(⟂G‘𝐺)𝐴))
451, 44mpbid 224 1 (𝜑𝐵(⟂G‘𝐺)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3116  wrex 3117  cin 3796   class class class wbr 4872  ran crn 5342  cfv 6122  ⟨“cs3 13962  Basecbs 16221  distcds 16313  TarskiGcstrkg 25741  Itvcitv 25747  LineGclng 25748  pInvGcmir 25963  ∟Gcrag 26004  ⟂Gcperpg 26006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-n0 11618  df-xnn0 11690  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-hash 13410  df-word 13574  df-concat 13630  df-s1 13655  df-s2 13968  df-s3 13969  df-trkgc 25759  df-trkgb 25760  df-trkgcb 25761  df-trkg 25764  df-mir 25964  df-rag 26005  df-perpg 26007
This theorem is referenced by:  hlperpnel  26033  colperpexlem3  26040  mideulem2  26042  midex  26045  opphllem5  26059  opphllem6  26060  opphl  26062  lmieu  26092  lnperpex  26111  trgcopy  26112
  Copyright terms: Public domain W3C validator