MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragperp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ragperp 27948
Description: Deduce that two lines are perpendicular from a right angle statement. One direction of theorem 8.13 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
isperp.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
isperp.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
isperp.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
isperp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
ragperp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ran 𝐿)
ragperp.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
ragperp.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
ragperp.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
ragperp.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑋)
ragperp.2 (πœ‘ β†’ 𝑉 β‰  𝑋)
ragperp.r (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘ˆπ‘‹π‘‰β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
ragperp (πœ‘ β†’ 𝐴(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐡)
Proof of Theorem ragperp
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 isperp.d . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 isperp.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 isperp.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 eqid 2733 . . . 4 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
6 isperp.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 ragperp.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ran 𝐿)
98adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ran 𝐿)
10 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
111, 4, 3, 7, 9, 10tglnpt 27780 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑃)
12 isperp.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
1312adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
14 ragperp.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
1514elin1d 4197 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
1615adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
171, 4, 3, 7, 13, 16tglnpt 27780 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
18 simprl 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
191, 4, 3, 7, 13, 18tglnpt 27780 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑒 ∈ 𝑃)
20 ragperp.v . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
2120adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
221, 4, 3, 7, 9, 21tglnpt 27780 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ 𝑃)
23 ragperp.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
2423adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
251, 4, 3, 7, 13, 24tglnpt 27780 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
26 ragperp.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘ˆπ‘‹π‘‰β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
2726adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ βŸ¨β€œπ‘ˆπ‘‹π‘‰β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
28 ragperp.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑋)
2928adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ β‰  𝑋)
3023ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
316ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
3217adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
3319adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ 𝑃)
34 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ Β¬ 𝑋 = 𝑒)
3534neqned 2948 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝑋 β‰  𝑒)
3612ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
3715ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
3818adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
391, 3, 4, 31, 32, 33, 35, 35, 36, 37, 38tglinethru 27867 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝐴 = (𝑋𝐿𝑒))
4030, 39eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ π‘ˆ ∈ (𝑋𝐿𝑒))
4140ex 414 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ 𝑋 = 𝑒 β†’ π‘ˆ ∈ (𝑋𝐿𝑒)))
4241orrd 862 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 = 𝑒 ∨ π‘ˆ ∈ (𝑋𝐿𝑒)))
4342orcomd 870 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ˆ ∈ (𝑋𝐿𝑒) ∨ 𝑋 = 𝑒))
441, 2, 3, 4, 5, 7, 25, 17, 22, 19, 27, 29, 43ragcol 27930 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ βŸ¨β€œπ‘’π‘‹π‘‰β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
451, 2, 3, 4, 5, 7, 19, 17, 22, 44ragcom 27929 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ βŸ¨β€œπ‘‰π‘‹π‘’β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
46 ragperp.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 β‰  𝑋)
4746adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 β‰  𝑋)
4820ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
496ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5017adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
5111adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝑣 ∈ 𝑃)
52 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ Β¬ 𝑋 = 𝑣)
5352neqned 2948 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝑋 β‰  𝑣)
548ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝐡 ∈ ran 𝐿)
5514elin2d 4198 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5710adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
581, 3, 4, 49, 50, 51, 53, 53, 54, 56, 57tglinethru 27867 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝐡 = (𝑋𝐿𝑣))
5948, 58eleqtrd 2836 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝑉 ∈ (𝑋𝐿𝑣))
6059ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ 𝑋 = 𝑣 β†’ 𝑉 ∈ (𝑋𝐿𝑣)))
6160orrd 862 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 = 𝑣 ∨ 𝑉 ∈ (𝑋𝐿𝑣)))
6261orcomd 870 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑉 ∈ (𝑋𝐿𝑣) ∨ 𝑋 = 𝑣))
631, 2, 3, 4, 5, 7, 22, 17, 19, 11, 45, 47, 62ragcol 27930 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ βŸ¨β€œπ‘£π‘‹π‘’β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
641, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 17, 19, 63ragcom 27929 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ βŸ¨β€œπ‘’π‘‹π‘£β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
6564ralrimivva 3201 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘’π‘‹π‘£β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
661, 2, 3, 4, 6, 12, 8, 14isperp2 27946 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐡 ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘’π‘‹π‘£β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)))
6765, 66mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐴(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   ∩ cin 3946   class class class wbr 5147  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  βŸ¨β€œcs3 14789  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27658  Itvcitv 27664  LineGclng 27665  pInvGcmir 27883  βˆŸGcrag 27924  βŸ‚Gcperpg 27926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-trkgc 27679  df-trkgb 27680  df-trkgcb 27681  df-trkg 27684  df-cgrg 27742  df-mir 27884  df-rag 27925  df-perpg 27927
This theorem is referenced by:  footexALT  27949  footexlem2  27951  colperpexlem3  27963  mideulem2  27965  lmimid  28025  hypcgrlem1  28030  hypcgrlem2  28031  trgcopyeulem  28036
  Copyright terms: Public domain W3C validator