MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragperp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ragperp 28236
Description: Deduce that two lines are perpendicular from a right angle statement. One direction of theorem 8.13 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
isperp.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
isperp.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
isperp.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
isperp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
ragperp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ran 𝐿)
ragperp.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
ragperp.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
ragperp.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
ragperp.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑋)
ragperp.2 (πœ‘ β†’ 𝑉 β‰  𝑋)
ragperp.r (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘ˆπ‘‹π‘‰β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
ragperp (πœ‘ β†’ 𝐴(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐡)
Proof of Theorem ragperp
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 isperp.d . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 isperp.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 isperp.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 eqid 2731 . . . 4 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
6 isperp.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 ragperp.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ran 𝐿)
98adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ran 𝐿)
10 simprr 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
111, 4, 3, 7, 9, 10tglnpt 28068 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑃)
12 isperp.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
1312adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
14 ragperp.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
1514elin1d 4198 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
1615adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
171, 4, 3, 7, 13, 16tglnpt 28068 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
18 simprl 768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
191, 4, 3, 7, 13, 18tglnpt 28068 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑒 ∈ 𝑃)
20 ragperp.v . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
221, 4, 3, 7, 9, 21tglnpt 28068 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ 𝑃)
23 ragperp.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
251, 4, 3, 7, 13, 24tglnpt 28068 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
26 ragperp.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘ˆπ‘‹π‘‰β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ βŸ¨β€œπ‘ˆπ‘‹π‘‰β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
28 ragperp.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑋)
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ β‰  𝑋)
3023ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
316ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
3217adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
3319adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ 𝑃)
34 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ Β¬ 𝑋 = 𝑒)
3534neqned 2946 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝑋 β‰  𝑒)
3612ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
3715ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
3818adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
391, 3, 4, 31, 32, 33, 35, 35, 36, 37, 38tglinethru 28155 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ 𝐴 = (𝑋𝐿𝑒))
4030, 39eleqtrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑒) β†’ π‘ˆ ∈ (𝑋𝐿𝑒))
4140ex 412 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ 𝑋 = 𝑒 β†’ π‘ˆ ∈ (𝑋𝐿𝑒)))
4241orrd 860 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 = 𝑒 ∨ π‘ˆ ∈ (𝑋𝐿𝑒)))
4342orcomd 868 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ˆ ∈ (𝑋𝐿𝑒) ∨ 𝑋 = 𝑒))
441, 2, 3, 4, 5, 7, 25, 17, 22, 19, 27, 29, 43ragcol 28218 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ βŸ¨β€œπ‘’π‘‹π‘‰β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
451, 2, 3, 4, 5, 7, 19, 17, 22, 44ragcom 28217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ βŸ¨β€œπ‘‰π‘‹π‘’β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
46 ragperp.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 β‰  𝑋)
4746adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 β‰  𝑋)
4820ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
496ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5017adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
5111adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝑣 ∈ 𝑃)
52 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ Β¬ 𝑋 = 𝑣)
5352neqned 2946 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝑋 β‰  𝑣)
548ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝐡 ∈ ran 𝐿)
5514elin2d 4199 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5655ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5710adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
581, 3, 4, 49, 50, 51, 53, 53, 54, 56, 57tglinethru 28155 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝐡 = (𝑋𝐿𝑣))
5948, 58eleqtrd 2834 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑋 = 𝑣) β†’ 𝑉 ∈ (𝑋𝐿𝑣))
6059ex 412 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ 𝑋 = 𝑣 β†’ 𝑉 ∈ (𝑋𝐿𝑣)))
6160orrd 860 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 = 𝑣 ∨ 𝑉 ∈ (𝑋𝐿𝑣)))
6261orcomd 868 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑉 ∈ (𝑋𝐿𝑣) ∨ 𝑋 = 𝑣))
631, 2, 3, 4, 5, 7, 22, 17, 19, 11, 45, 47, 62ragcol 28218 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ βŸ¨β€œπ‘£π‘‹π‘’β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
641, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 17, 19, 63ragcom 28217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ βŸ¨β€œπ‘’π‘‹π‘£β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
6564ralrimivva 3199 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘’π‘‹π‘£β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
661, 2, 3, 4, 6, 12, 8, 14isperp2 28234 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐡 ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘’π‘‹π‘£β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)))
6765, 66mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐴(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   ∩ cin 3947   class class class wbr 5148  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  βŸ¨β€œcs3 14798  Basecbs 17149  distcds 17211  TarskiGcstrkg 27946  Itvcitv 27952  LineGclng 27953  pInvGcmir 28171  βˆŸGcrag 28212  βŸ‚Gcperpg 28214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-trkgc 27967  df-trkgb 27968  df-trkgcb 27969  df-trkg 27972  df-cgrg 28030  df-mir 28172  df-rag 28213  df-perpg 28215
This theorem is referenced by:  footexALT  28237  footexlem2  28239  colperpexlem3  28251  mideulem2  28253  lmimid  28313  hypcgrlem1  28318  hypcgrlem2  28319  trgcopyeulem  28324
  Copyright terms: Public domain W3C validator