Theorem ragperp 29072

Description: Deduce that two lines are perpendicular from a right angle statement. One direction of theorem 8.13 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
ragperp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
ragperp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
ragperp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
ragperp.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
ragperp.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑋)
ragperp.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑋)
ragperp.r	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ragperp	⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)

Proof of Theorem ragperp

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		isperp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		isperp.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6		isperp.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		ragperp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
10		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑣 ∈ 𝐵)
11	1, 4, 3, 7, 9, 10	tglnpt 28892	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
12		isperp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
14		ragperp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
15	14	elin1d 4153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
17	1, 4, 3, 7, 13, 16	tglnpt 28892	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
18		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑢 ∈ 𝐴)
19	1, 4, 3, 7, 13, 18	tglnpt 28892	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑢 ∈ 𝑃)
20		ragperp.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
22	1, 4, 3, 7, 9, 21	tglnpt 28892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
23		ragperp.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐴)
25	1, 4, 3, 7, 13, 24	tglnpt 28892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
26		ragperp.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
27	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28		ragperp.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑋)
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ≠ 𝑋)
30	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑢) → 𝑈 ∈ 𝐴)
31	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑢) → 𝐺 ∈ TarskiG)
32	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑢) → 𝑋 ∈ 𝑃)
33	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑢) → 𝑢 ∈ 𝑃)
34		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑢) → ¬ 𝑋 = 𝑢)
35	34	neqned 2964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑢) → 𝑋 ≠ 𝑢)
36	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑢) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
37	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑢) → 𝑋 ∈ 𝐴)
38	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑢) → 𝑢 ∈ 𝐴)
39	1, 3, 4, 31, 32, 33, 35, 35, 36, 37, 38	tglinethru 28984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑢) → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑢))
40	30, 39	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑢) → 𝑈 ∈ (𝑋𝐿𝑢))
41	40	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑋 = 𝑢 → 𝑈 ∈ (𝑋𝐿𝑢)))
42	41	orrd 877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → (𝑋 = 𝑢 ∨ 𝑈 ∈ (𝑋𝐿𝑢)))
43	42	orcomd 885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → (𝑈 ∈ (𝑋𝐿𝑢) ∨ 𝑋 = 𝑢))
44	1, 2, 3, 4, 5, 7, 25, 17, 22, 19, 27, 29, 43	ragcol 29054	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → ⟨“𝑢𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
45	1, 2, 3, 4, 5, 7, 19, 17, 22, 44	ragcom 29053	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → ⟨“𝑉𝑋𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
46		ragperp.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑋)
47	46	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ≠ 𝑋)
48	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → 𝑉 ∈ 𝐵)
49	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
50	17	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → 𝑋 ∈ 𝑃)
51	11	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃)
52		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → ¬ 𝑋 = 𝑣)
53	52	neqned 2964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → 𝑋 ≠ 𝑣)
54	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
55	14	elin2d 4154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
56	55	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → 𝑋 ∈ 𝐵)
57	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝐵)
58	1, 3, 4, 49, 50, 51, 53, 53, 54, 56, 57	tglinethru 28984	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑣))
59	48, 58	eleqtrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → 𝑉 ∈ (𝑋𝐿𝑣))
60	59	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑋 = 𝑣 → 𝑉 ∈ (𝑋𝐿𝑣)))
61	60	orrd 877	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → (𝑋 = 𝑣 ∨ 𝑉 ∈ (𝑋𝐿𝑣)))
62	61	orcomd 885	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → (𝑉 ∈ (𝑋𝐿𝑣) ∨ 𝑋 = 𝑣))
63	1, 2, 3, 4, 5, 7, 22, 17, 19, 11, 45, 47, 62	ragcol 29054	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → ⟨“𝑣𝑋𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
64	1, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 17, 19, 63	ragcom 29053	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
65	64	ralrimivva 3207	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
66	1, 2, 3, 4, 6, 12, 8, 14	isperp2 29070	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
67	65, 66	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   ∩ cin 3901   class class class wbr 5107  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ⟨“cs3 14915  Basecbs 17305  distcds 17355  TarskiGcstrkg 28769  Itvcitv 28775  LineGclng 28776  pInvGcmir 29004  ∟Gcrag 29048  ⟂Gcperpg 29050

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-trkgc 28790  df-trkgb 28791  df-trkgcb 28792  df-trkg 28795  df-cgrg 28854  df-mir 29005  df-rag 29049  df-perpg 29051

This theorem is used by:  footexALT  29073  footexlem2  29075  colperpexlem3  29088  mideulem2  29090  lmimid  29179  hypcgrlem1  29185  hypcgrlem2  29186  trgcopyeulem  29192  prlngmid2  29319