MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmimid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmimid 28045
Description: If we have a right angle, then the mirror point is the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismid.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
ismid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ismid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
lmif.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
lmif.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
lmimid.s 𝑆 = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)
lmimid.r (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
lmimid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
lmimid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
lmimid.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
lmimid.d (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
Assertion
Ref Expression
lmimid (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΆ) = (π‘†β€˜πΆ))

Proof of Theorem lmimid
StepHypRef Expression
1 lmimid.s . . . . . . 7 𝑆 = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)
21a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅))
32fveq1d 6894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜πΆ) = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ))
4 ismid.p . . . . . 6 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
5 ismid.d . . . . . 6 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
6 ismid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
7 ismid.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 ismid.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
9 lmimid.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
10 lmif.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
11 eqid 2733 . . . . . . 7 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
12 lmif.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
13 lmimid.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
144, 10, 6, 7, 12, 13tglnpt 27800 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
154, 5, 6, 10, 11, 7, 14, 1, 9mircl 27912 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜πΆ) ∈ 𝑃)
164, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 14ismidb 28029 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜πΆ) = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ) ↔ (𝐢(midGβ€˜πΊ)(π‘†β€˜πΆ)) = 𝐡))
173, 16mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)(π‘†β€˜πΆ)) = 𝐡)
1817, 13eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)(π‘†β€˜πΆ)) ∈ 𝐷)
19 df-ne 2942 . . . . . 6 (𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ) ↔ Β¬ 𝐢 = (π‘†β€˜πΆ))
207adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
2112adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
229adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
2315adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ (π‘†β€˜πΆ) ∈ 𝑃)
24 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ))
254, 6, 10, 20, 22, 23, 24tgelrnln 27881 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ (𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ)) ∈ ran 𝐿)
2613adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
2714adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
284, 5, 6, 7, 8, 9, 15midbtwn 28030 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)(π‘†β€˜πΆ)) ∈ (𝐢𝐼(π‘†β€˜πΆ)))
2917, 28eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼(π‘†β€˜πΆ)))
3029adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼(π‘†β€˜πΆ)))
314, 6, 10, 20, 22, 23, 27, 24, 30btwnlng1 27870 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ)))
3226, 31elind 4195 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐷 ∩ (𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ))))
33 lmimid.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
3433adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
354, 6, 10, 20, 22, 23, 24tglinerflx1 27884 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ)))
36 lmimid.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
3736adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
384, 5, 6, 10, 11, 7, 14, 1, 9mirinv 27917 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜πΆ) = 𝐢 ↔ 𝐡 = 𝐢))
39 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 = 𝐢 ↔ 𝐢 = 𝐡)
4038, 39bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜πΆ) = 𝐢 ↔ 𝐢 = 𝐡))
4140biimpar 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐡) β†’ (π‘†β€˜πΆ) = 𝐢)
4241eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐡) β†’ 𝐢 = (π‘†β€˜πΆ))
4342ex 414 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐢 = 𝐡 β†’ 𝐢 = (π‘†β€˜πΆ)))
4443necon3d 2962 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ) β†’ 𝐢 β‰  𝐡))
4544imp 408 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
46 lmimid.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
4746adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
484, 5, 6, 10, 20, 21, 25, 32, 34, 35, 37, 45, 47ragperp 27968 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ)))
4948ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ))))
5019, 49biimtrrid 242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐢 = (π‘†β€˜πΆ) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ))))
5150orrd 862 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 = (π‘†β€˜πΆ) ∨ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ))))
5251orcomd 870 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ)) ∨ 𝐢 = (π‘†β€˜πΆ)))
53 lmif.m . . . 4 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
544, 5, 6, 7, 8, 53, 10, 12, 9, 15islmib 28038 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜πΆ) = (π‘€β€˜πΆ) ↔ ((𝐢(midGβ€˜πΊ)(π‘†β€˜πΆ)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ)) ∨ 𝐢 = (π‘†β€˜πΆ)))))
5518, 52, 54mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜πΆ) = (π‘€β€˜πΆ))
5655eqcomd 2739 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΆ) = (π‘†β€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  2c2 12267  βŸ¨β€œcs3 14793  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27682  Itvcitv 27684  LineGclng 27685  pInvGcmir 27903  βˆŸGcrag 27944  βŸ‚Gcperpg 27946  midGcmid 28023  lInvGclmi 28024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkgld 27703  df-trkg 27704  df-cgrg 27762  df-leg 27834  df-mir 27904  df-rag 27945  df-perpg 27947  df-mid 28025  df-lmi 28026
This theorem is referenced by:  hypcgrlem1  28050
  Copyright terms: Public domain W3C validator