MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmimid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmimid 26574
Description: If we have a right angle, then the mirror point is the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (𝜑𝐴𝑃)
lmimid.s 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
lmimid.r (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
lmimid.a (𝜑𝐴𝐷)
lmimid.b (𝜑𝐵𝐷)
lmimid.c (𝜑𝐶𝑃)
lmimid.d (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
lmimid (𝜑 → (𝑀𝐶) = (𝑆𝐶))

Proof of Theorem lmimid
StepHypRef Expression
1 lmimid.s . . . . . . 7 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵))
32fveq1d 6667 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))
4 ismid.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 ismid.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
6 ismid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
7 ismid.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 ismid.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
9 lmimid.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
10 lmif.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11 eqid 2821 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
12 lmif.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
13 lmimid.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐷)
144, 10, 6, 7, 12, 13tglnpt 26329 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
154, 5, 6, 10, 11, 7, 14, 1, 9mircl 26441 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐶) ∈ 𝑃)
164, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 14ismidb 26558 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶) ↔ (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) = 𝐵))
173, 16mpbid 234 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) = 𝐵)
1817, 13eqeltrd 2913 . . 3 (𝜑 → (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) ∈ 𝐷)
19 df-ne 3017 . . . . . 6 (𝐶 ≠ (𝑆𝐶) ↔ ¬ 𝐶 = (𝑆𝐶))
207adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2112adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
229adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶𝑃)
2315adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → (𝑆𝐶) ∈ 𝑃)
24 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶 ≠ (𝑆𝐶))
254, 6, 10, 20, 22, 23, 24tgelrnln 26410 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → (𝐶𝐿(𝑆𝐶)) ∈ ran 𝐿)
2613adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵𝐷)
2714adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵𝑃)
284, 5, 6, 7, 8, 9, 15midbtwn 26559 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) ∈ (𝐶𝐼(𝑆𝐶)))
2917, 28eqeltrrd 2914 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼(𝑆𝐶)))
3029adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼(𝑆𝐶)))
314, 6, 10, 20, 22, 23, 27, 24, 30btwnlng1 26399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿(𝑆𝐶)))
3226, 31elind 4171 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷 ∩ (𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
33 lmimid.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
3433adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐴𝐷)
354, 6, 10, 20, 22, 23, 24tglinerflx1 26413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿(𝑆𝐶)))
36 lmimid.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
3736adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐴𝐵)
384, 5, 6, 10, 11, 7, 14, 1, 9mirinv 26446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = 𝐶𝐵 = 𝐶))
39 eqcom 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐵)
4038, 39syl6bb 289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = 𝐶𝐶 = 𝐵))
4140biimpar 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → (𝑆𝐶) = 𝐶)
4241eqcomd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = (𝑆𝐶))
4342ex 415 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 = 𝐵𝐶 = (𝑆𝐶)))
4443necon3d 3037 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ≠ (𝑆𝐶) → 𝐶𝐵))
4544imp 409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶𝐵)
46 lmimid.r . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
4746adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
484, 5, 6, 10, 20, 21, 25, 32, 34, 35, 37, 45, 47ragperp 26497 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶)))
4948ex 415 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ≠ (𝑆𝐶) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
5019, 49syl5bir 245 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐶 = (𝑆𝐶) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
5150orrd 859 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 = (𝑆𝐶) ∨ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
5251orcomd 867 . . 3 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶)) ∨ 𝐶 = (𝑆𝐶)))
53 lmif.m . . . 4 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
544, 5, 6, 7, 8, 53, 10, 12, 9, 15islmib 26567 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = (𝑀𝐶) ↔ ((𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶)) ∨ 𝐶 = (𝑆𝐶)))))
5518, 52, 54mpbir2and 711 . 2 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (𝑀𝐶))
5655eqcomd 2827 1 (𝜑 → (𝑀𝐶) = (𝑆𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  wo 843   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016   class class class wbr 5059  ran crn 5551  cfv 6350  (class class class)co 7150  2c2 11686  ⟨“cs3 14198  Basecbs 16477  distcds 16568  TarskiGcstrkg 26210  DimTarskiGcstrkgld 26214  Itvcitv 26216  LineGclng 26217  pInvGcmir 26432  ∟Gcrag 26473  ⟂Gcperpg 26475  midGcmid 26552  lInvGclmi 26553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13917  df-s1 13944  df-s2 14204  df-s3 14205  df-trkgc 26228  df-trkgb 26229  df-trkgcb 26230  df-trkgld 26232  df-trkg 26233  df-cgrg 26291  df-leg 26363  df-mir 26433  df-rag 26474  df-perpg 26476  df-mid 26554  df-lmi 26555
This theorem is referenced by:  hypcgrlem1  26579
  Copyright terms: Public domain W3C validator