MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmimid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmimid 27778
Description: If we have a right angle, then the mirror point is the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismid.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
ismid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ismid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
lmif.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
lmif.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
lmimid.s 𝑆 = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)
lmimid.r (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
lmimid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
lmimid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
lmimid.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
lmimid.d (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
Assertion
Ref Expression
lmimid (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΆ) = (π‘†β€˜πΆ))

Proof of Theorem lmimid
StepHypRef Expression
1 lmimid.s . . . . . . 7 𝑆 = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)
21a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅))
32fveq1d 6849 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜πΆ) = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ))
4 ismid.p . . . . . 6 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
5 ismid.d . . . . . 6 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
6 ismid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
7 ismid.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 ismid.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
9 lmimid.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
10 lmif.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
11 eqid 2737 . . . . . . 7 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
12 lmif.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
13 lmimid.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
144, 10, 6, 7, 12, 13tglnpt 27533 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
154, 5, 6, 10, 11, 7, 14, 1, 9mircl 27645 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜πΆ) ∈ 𝑃)
164, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 14ismidb 27762 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜πΆ) = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΅)β€˜πΆ) ↔ (𝐢(midGβ€˜πΊ)(π‘†β€˜πΆ)) = 𝐡))
173, 16mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)(π‘†β€˜πΆ)) = 𝐡)
1817, 13eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)(π‘†β€˜πΆ)) ∈ 𝐷)
19 df-ne 2945 . . . . . 6 (𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ) ↔ Β¬ 𝐢 = (π‘†β€˜πΆ))
207adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
2112adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
229adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
2315adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ (π‘†β€˜πΆ) ∈ 𝑃)
24 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ))
254, 6, 10, 20, 22, 23, 24tgelrnln 27614 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ (𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ)) ∈ ran 𝐿)
2613adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
2714adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
284, 5, 6, 7, 8, 9, 15midbtwn 27763 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢(midGβ€˜πΊ)(π‘†β€˜πΆ)) ∈ (𝐢𝐼(π‘†β€˜πΆ)))
2917, 28eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼(π‘†β€˜πΆ)))
3029adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼(π‘†β€˜πΆ)))
314, 6, 10, 20, 22, 23, 27, 24, 30btwnlng1 27603 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ)))
3226, 31elind 4159 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐷 ∩ (𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ))))
33 lmimid.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
3433adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
354, 6, 10, 20, 22, 23, 24tglinerflx1 27617 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ)))
36 lmimid.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
3736adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
384, 5, 6, 10, 11, 7, 14, 1, 9mirinv 27650 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜πΆ) = 𝐢 ↔ 𝐡 = 𝐢))
39 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 = 𝐢 ↔ 𝐢 = 𝐡)
4038, 39bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜πΆ) = 𝐢 ↔ 𝐢 = 𝐡))
4140biimpar 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐡) β†’ (π‘†β€˜πΆ) = 𝐢)
4241eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐡) β†’ 𝐢 = (π‘†β€˜πΆ))
4342ex 414 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐢 = 𝐡 β†’ 𝐢 = (π‘†β€˜πΆ)))
4443necon3d 2965 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ) β†’ 𝐢 β‰  𝐡))
4544imp 408 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
46 lmimid.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
4746adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
484, 5, 6, 10, 20, 21, 25, 32, 34, 35, 37, 45, 47ragperp 27701 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ)) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ)))
4948ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 β‰  (π‘†β€˜πΆ) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ))))
5019, 49biimtrrid 242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐢 = (π‘†β€˜πΆ) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ))))
5150orrd 862 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 = (π‘†β€˜πΆ) ∨ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ))))
5251orcomd 870 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ)) ∨ 𝐢 = (π‘†β€˜πΆ)))
53 lmif.m . . . 4 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
544, 5, 6, 7, 8, 53, 10, 12, 9, 15islmib 27771 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜πΆ) = (π‘€β€˜πΆ) ↔ ((𝐢(midGβ€˜πΊ)(π‘†β€˜πΆ)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿(π‘†β€˜πΆ)) ∨ 𝐢 = (π‘†β€˜πΆ)))))
5518, 52, 54mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜πΆ) = (π‘€β€˜πΆ))
5655eqcomd 2743 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΆ) = (π‘†β€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  2c2 12215  βŸ¨β€œcs3 14738  Basecbs 17090  distcds 17149  TarskiGcstrkg 27411  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27415  Itvcitv 27417  LineGclng 27418  pInvGcmir 27636  βˆŸGcrag 27677  βŸ‚Gcperpg 27679  midGcmid 27756  lInvGclmi 27757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-trkgc 27432  df-trkgb 27433  df-trkgcb 27434  df-trkgld 27436  df-trkg 27437  df-cgrg 27495  df-leg 27567  df-mir 27637  df-rag 27678  df-perpg 27680  df-mid 27758  df-lmi 27759
This theorem is referenced by:  hypcgrlem1  27783
  Copyright terms: Public domain W3C validator