MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmimid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmimid 28477
Description: If we have a right angle, then the mirror point is the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (𝜑𝐴𝑃)
lmimid.s 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
lmimid.r (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
lmimid.a (𝜑𝐴𝐷)
lmimid.b (𝜑𝐵𝐷)
lmimid.c (𝜑𝐶𝑃)
lmimid.d (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
lmimid (𝜑 → (𝑀𝐶) = (𝑆𝐶))

Proof of Theorem lmimid
StepHypRef Expression
1 lmimid.s . . . . . . 7 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵))
32fveq1d 6893 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))
4 ismid.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 ismid.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
6 ismid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
7 ismid.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 ismid.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
9 lmimid.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
10 lmif.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11 eqid 2731 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
12 lmif.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
13 lmimid.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐷)
144, 10, 6, 7, 12, 13tglnpt 28232 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
154, 5, 6, 10, 11, 7, 14, 1, 9mircl 28344 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐶) ∈ 𝑃)
164, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 14ismidb 28461 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶) ↔ (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) = 𝐵))
173, 16mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) = 𝐵)
1817, 13eqeltrd 2832 . . 3 (𝜑 → (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) ∈ 𝐷)
19 df-ne 2940 . . . . . 6 (𝐶 ≠ (𝑆𝐶) ↔ ¬ 𝐶 = (𝑆𝐶))
207adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2112adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
229adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶𝑃)
2315adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → (𝑆𝐶) ∈ 𝑃)
24 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶 ≠ (𝑆𝐶))
254, 6, 10, 20, 22, 23, 24tgelrnln 28313 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → (𝐶𝐿(𝑆𝐶)) ∈ ran 𝐿)
2613adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵𝐷)
2714adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵𝑃)
284, 5, 6, 7, 8, 9, 15midbtwn 28462 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) ∈ (𝐶𝐼(𝑆𝐶)))
2917, 28eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼(𝑆𝐶)))
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼(𝑆𝐶)))
314, 6, 10, 20, 22, 23, 27, 24, 30btwnlng1 28302 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿(𝑆𝐶)))
3226, 31elind 4194 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷 ∩ (𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
33 lmimid.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐴𝐷)
354, 6, 10, 20, 22, 23, 24tglinerflx1 28316 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿(𝑆𝐶)))
36 lmimid.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
3736adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐴𝐵)
384, 5, 6, 10, 11, 7, 14, 1, 9mirinv 28349 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = 𝐶𝐵 = 𝐶))
39 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐵)
4038, 39bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = 𝐶𝐶 = 𝐵))
4140biimpar 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → (𝑆𝐶) = 𝐶)
4241eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = (𝑆𝐶))
4342ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 = 𝐵𝐶 = (𝑆𝐶)))
4443necon3d 2960 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ≠ (𝑆𝐶) → 𝐶𝐵))
4544imp 406 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶𝐵)
46 lmimid.r . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
4746adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
484, 5, 6, 10, 20, 21, 25, 32, 34, 35, 37, 45, 47ragperp 28400 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶)))
4948ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ≠ (𝑆𝐶) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
5019, 49biimtrrid 242 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐶 = (𝑆𝐶) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
5150orrd 860 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 = (𝑆𝐶) ∨ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
5251orcomd 868 . . 3 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶)) ∨ 𝐶 = (𝑆𝐶)))
53 lmif.m . . . 4 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
544, 5, 6, 7, 8, 53, 10, 12, 9, 15islmib 28470 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = (𝑀𝐶) ↔ ((𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶)) ∨ 𝐶 = (𝑆𝐶)))))
5518, 52, 54mpbir2and 710 . 2 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (𝑀𝐶))
5655eqcomd 2737 1 (𝜑 → (𝑀𝐶) = (𝑆𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939   class class class wbr 5148  ran crn 5677  cfv 6543  (class class class)co 7412  2c2 12274  ⟨“cs3 14800  Basecbs 17151  distcds 17213  TarskiGcstrkg 28110  DimTarskiGcstrkgld 28114  Itvcitv 28116  LineGclng 28117  pInvGcmir 28335  ∟Gcrag 28376  ⟂Gcperpg 28378  midGcmid 28455  lInvGclmi 28456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-s1 14553  df-s2 14806  df-s3 14807  df-trkgc 28131  df-trkgb 28132  df-trkgcb 28133  df-trkgld 28135  df-trkg 28136  df-cgrg 28194  df-leg 28266  df-mir 28336  df-rag 28377  df-perpg 28379  df-mid 28457  df-lmi 28458
This theorem is referenced by:  hypcgrlem1  28482
  Copyright terms: Public domain W3C validator