Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmimid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmimid 26574
 Description: If we have a right angle, then the mirror point is the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (𝜑𝐴𝑃)
lmimid.s 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
lmimid.r (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
lmimid.a (𝜑𝐴𝐷)
lmimid.b (𝜑𝐵𝐷)
lmimid.c (𝜑𝐶𝑃)
lmimid.d (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
lmimid (𝜑 → (𝑀𝐶) = (𝑆𝐶))

Proof of Theorem lmimid
StepHypRef Expression
1 lmimid.s . . . . . . 7 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵))
32fveq1d 6667 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))
4 ismid.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 ismid.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
6 ismid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
7 ismid.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 ismid.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
9 lmimid.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
10 lmif.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11 eqid 2821 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
12 lmif.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
13 lmimid.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐷)
144, 10, 6, 7, 12, 13tglnpt 26329 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
154, 5, 6, 10, 11, 7, 14, 1, 9mircl 26441 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐶) ∈ 𝑃)
164, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 14ismidb 26558 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶) ↔ (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) = 𝐵))
173, 16mpbid 234 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) = 𝐵)
1817, 13eqeltrd 2913 . . 3 (𝜑 → (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) ∈ 𝐷)
19 df-ne 3017 . . . . . 6 (𝐶 ≠ (𝑆𝐶) ↔ ¬ 𝐶 = (𝑆𝐶))
207adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2112adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
229adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶𝑃)
2315adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → (𝑆𝐶) ∈ 𝑃)
24 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶 ≠ (𝑆𝐶))
254, 6, 10, 20, 22, 23, 24tgelrnln 26410 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → (𝐶𝐿(𝑆𝐶)) ∈ ran 𝐿)
2613adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵𝐷)
2714adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵𝑃)
284, 5, 6, 7, 8, 9, 15midbtwn 26559 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) ∈ (𝐶𝐼(𝑆𝐶)))
2917, 28eqeltrrd 2914 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼(𝑆𝐶)))
3029adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼(𝑆𝐶)))
314, 6, 10, 20, 22, 23, 27, 24, 30btwnlng1 26399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿(𝑆𝐶)))
3226, 31elind 4171 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐷 ∩ (𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
33 lmimid.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
3433adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐴𝐷)
354, 6, 10, 20, 22, 23, 24tglinerflx1 26413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿(𝑆𝐶)))
36 lmimid.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
3736adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐴𝐵)
384, 5, 6, 10, 11, 7, 14, 1, 9mirinv 26446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = 𝐶𝐵 = 𝐶))
39 eqcom 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐵)
4038, 39syl6bb 289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = 𝐶𝐶 = 𝐵))
4140biimpar 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → (𝑆𝐶) = 𝐶)
4241eqcomd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = (𝑆𝐶))
4342ex 415 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 = 𝐵𝐶 = (𝑆𝐶)))
4443necon3d 3037 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ≠ (𝑆𝐶) → 𝐶𝐵))
4544imp 409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐶𝐵)
46 lmimid.r . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
4746adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
484, 5, 6, 10, 20, 21, 25, 32, 34, 35, 37, 45, 47ragperp 26497 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ≠ (𝑆𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶)))
4948ex 415 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ≠ (𝑆𝐶) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
5019, 49syl5bir 245 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐶 = (𝑆𝐶) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
5150orrd 859 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 = (𝑆𝐶) ∨ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶))))
5251orcomd 867 . . 3 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶)) ∨ 𝐶 = (𝑆𝐶)))
53 lmif.m . . . 4 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
544, 5, 6, 7, 8, 53, 10, 12, 9, 15islmib 26567 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝐶) = (𝑀𝐶) ↔ ((𝐶(midG‘𝐺)(𝑆𝐶)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿(𝑆𝐶)) ∨ 𝐶 = (𝑆𝐶)))))
5518, 52, 54mpbir2and 711 . 2 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (𝑀𝐶))
5655eqcomd 2827 1 (𝜑 → (𝑀𝐶) = (𝑆𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5059  ran crn 5551  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  2c2 11686  ⟨“cs3 14198  Basecbs 16477  distcds 16568  TarskiGcstrkg 26210  DimTarskiG≥cstrkgld 26214  Itvcitv 26216  LineGclng 26217  pInvGcmir 26432  ∟Gcrag 26473  ⟂Gcperpg 26475  midGcmid 26552  lInvGclmi 26553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13917  df-s1 13944  df-s2 14204  df-s3 14205  df-trkgc 26228  df-trkgb 26229  df-trkgcb 26230  df-trkgld 26232  df-trkg 26233  df-cgrg 26291  df-leg 26363  df-mir 26433  df-rag 26474  df-perpg 26476  df-mid 26554  df-lmi 26555 This theorem is referenced by:  hypcgrlem1  26579
 Copyright terms: Public domain W3C validator