MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  footne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem footne 28468
Description: Uniqueness of the foot point. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
isperp.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
isperp.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
isperp.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
isperp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
footne.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
footne.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
footne.1 (πœ‘ β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
Assertion
Ref Expression
footne (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem footne
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 isperp.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 isperp.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
4 isperp.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 isperp.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
76adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8 footne.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
93, 4, 8perpln1 28455 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) ∈ ran 𝐿)
109adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) ∈ ran 𝐿)
11 isperp.d . . . . . . 7 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
121, 11, 2, 3, 4, 9, 6, 8perpneq 28459 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) β‰  𝐴)
1312necomd 2988 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  (π‘‹πΏπ‘Œ))
1413adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 β‰  (π‘‹πΏπ‘Œ))
15 footne.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
1615adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
171, 3, 2, 4, 6, 15tglnpt 28294 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
18 footne.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
191, 2, 3, 4, 17, 18, 9tglnne 28373 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
201, 2, 3, 4, 17, 18, 19tglinerflx1 28378 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ))
2120adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ))
2216, 21elind 4187 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)))
23 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
241, 2, 3, 4, 17, 18, 19tglinerflx2 28379 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ))
2524adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ))
2623, 25elind 4187 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ (𝐴 ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)))
271, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 22, 26tglineineq 28388 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
2819adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
2927, 28pm2.21ddne 3018 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝐴)
3029pm2.01da 796 1 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   class class class wbr 5139  ran crn 5668  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  distcds 17211  TarskiGcstrkg 28172  Itvcitv 28178  LineGclng 28179  βŸ‚Gcperpg 28440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-hash 14292  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 28193  df-trkgb 28194  df-trkgcb 28195  df-trkg 28198  df-cgrg 28256  df-mir 28398  df-rag 28439  df-perpg 28441
This theorem is referenced by:  footeq  28469  hlperpnel  28470  oppperpex  28498
  Copyright terms: Public domain W3C validator