Theorem footne 28779

Description: Uniqueness of the foot point. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
footne.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
footne.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
footne.1	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
footne	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem footne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isperp.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		isperp.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		isperp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		footne.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
9	3, 4, 8	perpln1 28766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
11		isperp.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12	1, 11, 2, 3, 4, 9, 6, 8	perpneq 28770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ≠ 𝐴)
13	12	necomd 2985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
15		footne.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
17	1, 3, 2, 4, 6, 15	tglnpt 28605	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
18		footne.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
19	1, 2, 3, 4, 17, 18, 9	tglnne 28684	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
20	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19	tglinerflx1 28689	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
22	16, 21	elind 4131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
23		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
24	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19	tglinerflx2 28690	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
26	23, 25	elind 4131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
27	1, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 22, 26	tglineineq 28699	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 = 𝑌)
28	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ≠ 𝑌)
29	27, 28	pm2.21ddne 3014	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
30	29	pm2.01da 799	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930   class class class wbr 5074  ran crn 5621  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  distcds 17218  TarskiGcstrkg 28483  Itvcitv 28489  LineGclng 28490  ⟂Gcperpg 28751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-concat 14522  df-s1 14548  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 28504  df-trkgb 28505  df-trkgcb 28506  df-trkg 28509  df-cgrg 28567  df-mir 28709  df-rag 28750  df-perpg 28752

This theorem is referenced by:  footeq  28780  hlperpnel  28781  oppperpex  28809