Theorem footne 28540

Description: Uniqueness of the foot point. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
footne.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
footne.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
footne.1	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
footne	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem footne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isperp.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		isperp.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		isperp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		footne.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
9	3, 4, 8	perpln1 28527	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
11		isperp.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12	1, 11, 2, 3, 4, 9, 6, 8	perpneq 28531	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ≠ 𝐴)
13	12	necomd 2993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
15		footne.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
17	1, 3, 2, 4, 6, 15	tglnpt 28366	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
18		footne.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
19	1, 2, 3, 4, 17, 18, 9	tglnne 28445	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
20	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19	tglinerflx1 28450	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
22	16, 21	elind 4194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
23		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
24	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19	tglinerflx2 28451	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
26	23, 25	elind 4194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
27	1, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 22, 26	tglineineq 28460	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 = 𝑌)
28	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ≠ 𝑌)
29	27, 28	pm2.21ddne 3023	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
30	29	pm2.01da 798	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937   class class class wbr 5148  ran crn 5679  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  distcds 17242  TarskiGcstrkg 28244  Itvcitv 28250  LineGclng 28251  ⟂Gcperpg 28512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-hash 14323  df-word 14498  df-concat 14554  df-s1 14579  df-s2 14832  df-s3 14833  df-trkgc 28265  df-trkgb 28266  df-trkgcb 28267  df-trkg 28270  df-cgrg 28328  df-mir 28470  df-rag 28511  df-perpg 28513

This theorem is referenced by:  footeq  28541  hlperpnel  28542  oppperpex  28570