MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  footne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem footne 28650
Description: Uniqueness of the foot point. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
footne.x (𝜑𝑋𝐴)
footne.y (𝜑𝑌𝑃)
footne.1 (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
Assertion
Ref Expression
footne (𝜑 → ¬ 𝑌𝐴)

Proof of Theorem footne
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 isperp.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 isperp.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 isperp.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 isperp.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
76adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8 footne.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
93, 4, 8perpln1 28637 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
109adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐴) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
11 isperp.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
121, 11, 2, 3, 4, 9, 6, 8perpneq 28641 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ≠ 𝐴)
1312necomd 2986 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
1413adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
15 footne.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐴)
1615adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
171, 3, 2, 4, 6, 15tglnpt 28476 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑃)
18 footne.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑃)
191, 2, 3, 4, 17, 18, 9tglnne 28555 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑌)
201, 2, 3, 4, 17, 18, 19tglinerflx1 28560 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2120adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2216, 21elind 4195 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
23 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑌𝐴)
241, 2, 3, 4, 17, 18, 19tglinerflx2 28561 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2524adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2623, 25elind 4195 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
271, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 22, 26tglineineq 28570 . . 3 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑋 = 𝑌)
2819adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑋𝑌)
2927, 28pm2.21ddne 3016 . 2 ((𝜑𝑌𝐴) → ¬ 𝑌𝐴)
3029pm2.01da 797 1 (𝜑 → ¬ 𝑌𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5153  ran crn 5683  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  distcds 17275  TarskiGcstrkg 28354  Itvcitv 28360  LineGclng 28361  ⟂Gcperpg 28622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-concat 14579  df-s1 14604  df-s2 14857  df-s3 14858  df-trkgc 28375  df-trkgb 28376  df-trkgcb 28377  df-trkg 28380  df-cgrg 28438  df-mir 28580  df-rag 28621  df-perpg 28623
This theorem is referenced by:  footeq  28651  hlperpnel  28652  oppperpex  28680
  Copyright terms: Public domain W3C validator