Theorem footne 26517

Description: Uniqueness of the foot point. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
footne.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
footne.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
footne.1	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
footne	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem footne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isperp.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		isperp.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		isperp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		footne.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
9	3, 4, 8	perpln1 26504	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
10	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
11		isperp.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12	1, 11, 2, 3, 4, 9, 6, 8	perpneq 26508	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ≠ 𝐴)
13	12	necomd 3042	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
14	13	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
15		footne.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
16	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
17	1, 3, 2, 4, 6, 15	tglnpt 26343	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
18		footne.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
19	1, 2, 3, 4, 17, 18, 9	tglnne 26422	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
20	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19	tglinerflx1 26427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
21	20	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
22	16, 21	elind 4121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
23		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
24	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19	tglinerflx2 26428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
25	24	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
26	23, 25	elind 4121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
27	1, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 22, 26	tglineineq 26437	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 = 𝑌)
28	19	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ≠ 𝑌)
29	27, 28	pm2.21ddne 3071	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
30	29	pm2.01da 798	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  distcds 16566  TarskiGcstrkg 26224  Itvcitv 26230  LineGclng 26231  ⟂Gcperpg 26489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-trkgc 26242  df-trkgb 26243  df-trkgcb 26244  df-trkg 26247  df-cgrg 26305  df-mir 26447  df-rag 26488  df-perpg 26490

This theorem is referenced by:  footeq  26518  hlperpnel  26519  oppperpex  26547