Theorem footne 29075

Description: Uniqueness of the foot point. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
footne.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
footne.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
footne.1	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
footne	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem footne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isperp.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		isperp.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		isperp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		footne.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
9	3, 4, 8	perpln1 29062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
11		isperp.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12	1, 11, 2, 3, 4, 9, 6, 8	perpneq 29066	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ≠ 𝐴)
13	12	necomd 3012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
15		footne.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
17	1, 3, 2, 4, 6, 15	tglnpt 28889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
18		footne.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
19	1, 2, 3, 4, 17, 18, 9	tglnne 28973	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
20	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19	tglinerflx1 28978	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
22	16, 21	elind 4149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
23		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
24	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19	tglinerflx2 28979	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
25	24	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
26	23, 25	elind 4149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
27	1, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 22, 26	tglineineq 28988	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 = 𝑌)
28	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ≠ 𝑌)
29	27, 28	pm2.21ddne 3041	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
30	29	pm2.01da 811	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  distcds 17355  TarskiGcstrkg 28766  Itvcitv 28772  LineGclng 28773  ⟂Gcperpg 29047

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-trkgc 28787  df-trkgb 28788  df-trkgcb 28789  df-trkg 28792  df-cgrg 28851  df-mir 29002  df-rag 29046  df-perpg 29048

This theorem is used by:  footeq  29076  hlperpnel  29078  oppperpex  29106  perpeq  29225