MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  footne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem footne 26496
Description: Uniqueness of the foot point. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
footne.x (𝜑𝑋𝐴)
footne.y (𝜑𝑌𝑃)
footne.1 (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
Assertion
Ref Expression
footne (𝜑 → ¬ 𝑌𝐴)

Proof of Theorem footne
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 isperp.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 isperp.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 isperp.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 isperp.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
76adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8 footne.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
93, 4, 8perpln1 26483 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
109adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐴) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
11 isperp.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
121, 11, 2, 3, 4, 9, 6, 8perpneq 26487 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ≠ 𝐴)
1312necomd 3061 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
1413adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
15 footne.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐴)
1615adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
171, 3, 2, 4, 6, 15tglnpt 26322 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑃)
18 footne.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑃)
191, 2, 3, 4, 17, 18, 9tglnne 26401 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑌)
201, 2, 3, 4, 17, 18, 19tglinerflx1 26406 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2120adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2216, 21elind 4149 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
23 simpr 487 . . . . 5 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑌𝐴)
241, 2, 3, 4, 17, 18, 19tglinerflx2 26407 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2524adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2623, 25elind 4149 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
271, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 22, 26tglineineq 26416 . . 3 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑋 = 𝑌)
2819adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑌𝐴) → 𝑋𝑌)
2927, 28pm2.21ddne 3090 . 2 ((𝜑𝑌𝐴) → ¬ 𝑌𝐴)
3029pm2.01da 797 1 (𝜑 → ¬ 𝑌𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006   class class class wbr 5042  ran crn 5532  cfv 6331  (class class class)co 7133  Basecbs 16462  distcds 16553  TarskiGcstrkg 26203  Itvcitv 26209  LineGclng 26210  ⟂Gcperpg 26468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-dju 9308  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-hash 13676  df-word 13847  df-concat 13903  df-s1 13930  df-s2 14190  df-s3 14191  df-trkgc 26221  df-trkgb 26222  df-trkgcb 26223  df-trkg 26226  df-cgrg 26284  df-mir 26426  df-rag 26467  df-perpg 26469
This theorem is referenced by:  footeq  26497  hlperpnel  26498  oppperpex  26526
  Copyright terms: Public domain W3C validator