Theorem tgpconncompss 24236

Description: The identity component is a subset of any open subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpconncomp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tgpconncomp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tgpconncomp.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpconncomp.s	⊢ 𝑆 = ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ 𝑥 ∧ (𝐽 ↾t 𝑥) ∈ Conn)}

Assertion

Ref	Expression
tgpconncompss	⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐽   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem tgpconncompss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpconncomp.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
2		tgpconncomp.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	tgptopon 24204	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4	3	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑇 ∈ 𝐽)
6	1	opnsubg 24230	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
7	5, 6	elind 4161	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑇 ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)))
8		tgpconncomp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9	8	subg0cl 19196	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑇)
10	9	3ad2ant2 1150	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 0 ∈ 𝑇)
11		tgpconncomp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ 𝑥 ∧ (𝐽 ↾t 𝑥) ∈ Conn)}
12	11	conncompclo 23557	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑇 ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ∧ 0 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑇)
13	4, 7, 10, 12	syl3anc 1396	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4564  ∪ cuni 4873  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265   ↾_t crest 17469  TopOpenctopn 17470  0_gc0g 17488  SubGrpcsubg 19182  TopOnctopon 23032  Clsdccld 23138  Conncconn 23533  TopGrpctgp 24193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-rest 17471  df-0g 17490  df-topgen 17492  df-plusf 18693  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-conn 23534  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-tmd 24194  df-tgp 24195

This theorem is referenced by: (None)