MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpconncompss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgpconncompss 24123
Description: The identity component is a subset of any open subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconncomp.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
tgpconncomp.z 0 = (0g𝐺)
tgpconncomp.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpconncomp.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)}
Assertion
Ref Expression
tgpconncompss ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝐽) → 𝑆𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐽   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem tgpconncompss
StepHypRef Expression
1 tgpconncomp.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
2 tgpconncomp.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
31, 2tgptopon 24091 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
433ad2ant1 1133 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5 simp3 1138 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝐽) → 𝑇𝐽)
61opnsubg 24117 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝐽) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
75, 6elind 4199 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝐽) → 𝑇 ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)))
8 tgpconncomp.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
98subg0cl 19153 . . 3 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑇)
1093ad2ant2 1134 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝐽) → 0𝑇)
11 tgpconncomp.s . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0𝑥 ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Conn)}
1211conncompclo 23444 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑇 ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ∧ 0𝑇) → 𝑆𝑇)
134, 7, 10, 12syl3anc 1372 1 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝐽) → 𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  {crab 3435  cin 3949  wss 3950  𝒫 cpw 4599   cuni 4906  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  0gc0g 17485  SubGrpcsubg 19139  TopOnctopon 22917  Clsdccld 23025  Conncconn 23420  TopGrpctgp 24080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fi 9452  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-rest 17468  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-plusf 18653  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-conn 23421  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-tmd 24081  df-tgp 24082
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator