Theorem tgpconncompss 22722

Description: The identity component is a subset of any open subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpconncomp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tgpconncomp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tgpconncomp.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpconncomp.s	⊢ 𝑆 = ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ 𝑥 ∧ (𝐽 ↾t 𝑥) ∈ Conn)}

Assertion

Ref	Expression
tgpconncompss	⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐽   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem tgpconncompss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpconncomp.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
2		tgpconncomp.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	tgptopon 22690	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4	3	3ad2ant1 1129	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		simp3 1134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑇 ∈ 𝐽)
6	1	opnsubg 22716	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
7	5, 6	elind 4171	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑇 ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)))
8		tgpconncomp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9	8	subg0cl 18287	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑇)
10	9	3ad2ant2 1130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 0 ∈ 𝑇)
11		tgpconncomp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ∪ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 0 ∈ 𝑥 ∧ (𝐽 ↾t 𝑥) ∈ Conn)}
12	11	conncompclo 22043	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑇 ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ∧ 0 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑇)
13	4, 7, 10, 12	syl3anc 1367	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539  ∪ cuni 4838  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483   ↾_t crest 16694  TopOpenctopn 16695  0_gc0g 16713  SubGrpcsubg 18273  TopOnctopon 21518  Clsdccld 21624  Conncconn 22019  TopGrpctgp 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fi 8875  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-rest 16696  df-0g 16715  df-topgen 16717  df-plusf 17851  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-conn 22020  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-tmd 22680  df-tgp 22681

This theorem is referenced by: (None)