Theorem tgpt1 24005

Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgpt1.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgpt1	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem tgpt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23239	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		tgpgrp 23965	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	3, 4	grpidcl 18897	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
7		tgpt1.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
8	7, 3	tgptopon 23969	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
9		toponuni 22801	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) → (Base‘𝐺) = ∪ 𝐽)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (Base‘𝐺) = ∪ 𝐽)
11	6, 10	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽)
12		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13	12	t1sncld 23213	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽) → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽))
14	13	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽 → (𝐽 ∈ Fre → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
15	11, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
16	4, 7	tgphaus 24004	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
17	15, 16	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Haus))
18	1, 17	impbid2 226	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4589  ∪ cuni 4871  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  TopOpenctopn 17384  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18865  TopOnctopon 22797  Clsdccld 22903  Frect1 23194  Hauscha 23195  TopGrpctgp 23958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fo 6517  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8801  df-0g 17404  df-topgen 17406  df-plusf 18566  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-cn 23114  df-t1 23201  df-haus 23202  df-tx 23449  df-tmd 23959  df-tgp 23960

This theorem is referenced by:  tgpt0  24006