MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgpt1 22712
Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
tgpt1 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem tgpt1
StepHypRef Expression
1 haust1 21946 . 2 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2 tgpgrp 22672 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4 eqid 2824 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
53, 4grpidcl 18120 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
7 tgpt1.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
87, 3tgptopon 22676 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
9 toponuni 21508 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) → (Base‘𝐺) = 𝐽)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → (Base‘𝐺) = 𝐽)
116, 10eleqtrd 2918 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp → (0g𝐺) ∈ 𝐽)
12 eqid 2824 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
1312t1sncld 21920 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Fre ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐽) → {(0g𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽))
1413expcom 417 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝐽 → (𝐽 ∈ Fre → {(0g𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
1511, 14syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → {(0g𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
164, 7tgphaus 22711 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ {(0g𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
1715, 16sylibrd 262 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Haus))
181, 17impbid2 229 1 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  {csn 4548   cuni 4819  cfv 6336  Basecbs 16472  TopOpenctopn 16684  0gc0g 16702  Grpcgrp 18092  TopOnctopon 21504  Clsdccld 21610  Frect1 21901  Hauscha 21902  TopGrpctgp 22665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-fo 6342  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-map 8391  df-0g 16704  df-topgen 16706  df-plusf 17840  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-cld 21613  df-cn 21821  df-t1 21908  df-haus 21909  df-tx 22156  df-tmd 22666  df-tgp 22667
This theorem is referenced by:  tgpt0  22713
  Copyright terms: Public domain W3C validator