MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgpt1 23492
Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tgpt1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem tgpt1
StepHypRef Expression
1 haust1 22726 . 2 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ Fre)
2 tgpgrp 23452 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
53, 4grpidcl 18786 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
7 tgpt1.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
87, 3tgptopon 23456 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
9 toponuni 22286 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
116, 10eleqtrd 2836 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ βˆͺ 𝐽)
12 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1312t1sncld 22700 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Fre ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (Clsdβ€˜π½))
1413expcom 415 . . . 4 ((0gβ€˜πΊ) ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐽 ∈ Fre β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (Clsdβ€˜π½)))
1511, 14syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Fre β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (Clsdβ€˜π½)))
164, 7tgphaus 23491 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (Clsdβ€˜π½)))
1715, 16sylibrd 259 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Fre β†’ 𝐽 ∈ Haus))
181, 17impbid2 225 1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  TopOpenctopn 17311  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  TopOnctopon 22282  Clsdccld 22390  Frect1 22681  Hauscha 22682  TopGrpctgp 23445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fo 6506  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-plusf 18504  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-cn 22601  df-t1 22688  df-haus 22689  df-tx 22936  df-tmd 23446  df-tgp 23447
This theorem is referenced by:  tgpt0  23493
  Copyright terms: Public domain W3C validator