MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgpt1 23966
Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tgpt1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem tgpt1
StepHypRef Expression
1 haust1 23200 . 2 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ Fre)
2 tgpgrp 23926 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3 eqid 2724 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2724 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
53, 4grpidcl 18891 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
7 tgpt1.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
87, 3tgptopon 23930 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
9 toponuni 22760 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
116, 10eleqtrd 2827 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ βˆͺ 𝐽)
12 eqid 2724 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1312t1sncld 23174 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Fre ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (Clsdβ€˜π½))
1413expcom 413 . . . 4 ((0gβ€˜πΊ) ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐽 ∈ Fre β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (Clsdβ€˜π½)))
1511, 14syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Fre β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (Clsdβ€˜π½)))
164, 7tgphaus 23965 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (Clsdβ€˜π½)))
1715, 16sylibrd 259 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Fre β†’ 𝐽 ∈ Haus))
181, 17impbid2 225 1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4621  βˆͺ cuni 4900  β€˜cfv 6534  Basecbs 17149  TopOpenctopn 17372  0gc0g 17390  Grpcgrp 18859  TopOnctopon 22756  Clsdccld 22864  Frect1 23155  Hauscha 23156  TopGrpctgp 23919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fo 6540  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-map 8819  df-0g 17392  df-topgen 17394  df-plusf 18568  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-cn 23075  df-t1 23162  df-haus 23163  df-tx 23410  df-tmd 23920  df-tgp 23921
This theorem is referenced by:  tgpt0  23967
  Copyright terms: Public domain W3C validator