Theorem tgpt1 24033

Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgpt1.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgpt1	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem tgpt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23267	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		tgpgrp 23993	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	3, 4	grpidcl 18878	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
7		tgpt1.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
8	7, 3	tgptopon 23997	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
9		toponuni 22829	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) → (Base‘𝐺) = ∪ 𝐽)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (Base‘𝐺) = ∪ 𝐽)
11	6, 10	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽)
12		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13	12	t1sncld 23241	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽) → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽))
14	13	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽 → (𝐽 ∈ Fre → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
15	11, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
16	4, 7	tgphaus 24032	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
17	15, 16	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Haus))
18	1, 17	impbid2 226	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4573  ∪ cuni 4856  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  TopOpenctopn 17325  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18846  TopOnctopon 22825  Clsdccld 22931  Frect1 23222  Hauscha 23223  TopGrpctgp 23986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fo 6487  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8752  df-0g 17345  df-topgen 17347  df-plusf 18547  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-cn 23142  df-t1 23229  df-haus 23230  df-tx 23477  df-tmd 23987  df-tgp 23988

This theorem is referenced by:  tgpt0  24034