Theorem tgpt1 23621

Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgpt1.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgpt1	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem tgpt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 22855	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		tgpgrp 23581	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	3, 4	grpidcl 18849	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
7		tgpt1.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
8	7, 3	tgptopon 23585	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
9		toponuni 22415	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) → (Base‘𝐺) = ∪ 𝐽)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (Base‘𝐺) = ∪ 𝐽)
11	6, 10	eleqtrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽)
12		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13	12	t1sncld 22829	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽) → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽))
14	13	expcom 414	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽 → (𝐽 ∈ Fre → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
15	11, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
16	4, 7	tgphaus 23620	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
17	15, 16	sylibrd 258	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Haus))
18	1, 17	impbid2 225	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4628  ∪ cuni 4908  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  TopOpenctopn 17366  0_gc0g 17384  Grpcgrp 18818  TopOnctopon 22411  Clsdccld 22519  Frect1 22810  Hauscha 22811  TopGrpctgp 23574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fo 6549  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-plusf 18559  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-cn 22730  df-t1 22817  df-haus 22818  df-tx 23065  df-tmd 23575  df-tgp 23576

This theorem is referenced by:  tgpt0  23622