MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgpt1 22653
Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
tgpt1 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem tgpt1
StepHypRef Expression
1 haust1 21888 . 2 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2 tgpgrp 22614 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4 eqid 2818 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
53, 4grpidcl 18069 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
7 tgpt1.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
87, 3tgptopon 22618 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
9 toponuni 21450 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) → (Base‘𝐺) = 𝐽)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → (Base‘𝐺) = 𝐽)
116, 10eleqtrd 2912 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp → (0g𝐺) ∈ 𝐽)
12 eqid 2818 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
1312t1sncld 21862 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Fre ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐽) → {(0g𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽))
1413expcom 414 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝐽 → (𝐽 ∈ Fre → {(0g𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
1511, 14syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → {(0g𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
164, 7tgphaus 22652 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ {(0g𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
1715, 16sylibrd 260 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Haus))
181, 17impbid2 227 1 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557   cuni 4830  cfv 6348  Basecbs 16471  TopOpenctopn 16683  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  TopOnctopon 21446  Clsdccld 21552  Frect1 21843  Hauscha 21844  TopGrpctgp 22607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fo 6354  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-map 8397  df-0g 16703  df-topgen 16705  df-plusf 17839  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-cn 21763  df-t1 21850  df-haus 21851  df-tx 22098  df-tmd 22608  df-tgp 22609
This theorem is referenced by:  tgpt0  22654
  Copyright terms: Public domain W3C validator