Theorem tgpt1 24060

Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgpt1.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgpt1	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem tgpt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23294	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		tgpgrp 24020	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	3, 4	grpidcl 18893	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
7		tgpt1.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
8	7, 3	tgptopon 24024	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
9		toponuni 22856	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) → (Base‘𝐺) = ∪ 𝐽)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (Base‘𝐺) = ∪ 𝐽)
11	6, 10	eleqtrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽)
12		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13	12	t1sncld 23268	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽) → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽))
14	13	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽 → (𝐽 ∈ Fre → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
15	11, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
16	4, 7	tgphaus 24059	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
17	15, 16	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Haus))
18	1, 17	impbid2 226	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4578  ∪ cuni 4861  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  TopOpenctopn 17339  0_gc0g 17357  Grpcgrp 18861  TopOnctopon 22852  Clsdccld 22958  Frect1 23249  Hauscha 23250  TopGrpctgp 24013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fo 6496  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8763  df-0g 17359  df-topgen 17361  df-plusf 18562  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-cn 23169  df-t1 23256  df-haus 23257  df-tx 23504  df-tmd 24014  df-tgp 24015

This theorem is referenced by:  tgpt0  24061