MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgpt1 24021
Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tgpt1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem tgpt1
StepHypRef Expression
1 haust1 23255 . 2 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ Fre)
2 tgpgrp 23981 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2728 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
53, 4grpidcl 18921 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
7 tgpt1.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
87, 3tgptopon 23985 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
9 toponuni 22815 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
116, 10eleqtrd 2831 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ βˆͺ 𝐽)
12 eqid 2728 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1312t1sncld 23229 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Fre ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (Clsdβ€˜π½))
1413expcom 413 . . . 4 ((0gβ€˜πΊ) ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐽 ∈ Fre β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (Clsdβ€˜π½)))
1511, 14syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Fre β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (Clsdβ€˜π½)))
164, 7tgphaus 24020 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (Clsdβ€˜π½)))
1715, 16sylibrd 259 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Fre β†’ 𝐽 ∈ Haus))
181, 17impbid2 225 1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4629  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6548  Basecbs 17179  TopOpenctopn 17402  0gc0g 17420  Grpcgrp 18889  TopOnctopon 22811  Clsdccld 22919  Frect1 23210  Hauscha 23211  TopGrpctgp 23974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fo 6554  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8846  df-0g 17422  df-topgen 17424  df-plusf 18598  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-cn 23130  df-t1 23217  df-haus 23218  df-tx 23465  df-tmd 23975  df-tgp 23976
This theorem is referenced by:  tgpt0  24022
  Copyright terms: Public domain W3C validator