Theorem tgpt1 23981

Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgpt1.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgpt1	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem tgpt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23215	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		tgpgrp 23941	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	3, 4	grpidcl 18873	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
7		tgpt1.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
8	7, 3	tgptopon 23945	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
9		toponuni 22777	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) → (Base‘𝐺) = ∪ 𝐽)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (Base‘𝐺) = ∪ 𝐽)
11	6, 10	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽)
12		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13	12	t1sncld 23189	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽) → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽))
14	13	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ ∪ 𝐽 → (𝐽 ∈ Fre → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
15	11, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
16	4, 7	tgphaus 23980	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ {(0g‘𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
17	15, 16	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Haus))
18	1, 17	impbid2 226	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4585  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  TopOpenctopn 17360  0_gc0g 17378  Grpcgrp 18841  TopOnctopon 22773  Clsdccld 22879  Frect1 23170  Hauscha 23171  TopGrpctgp 23934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fo 6505  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-map 8778  df-0g 17380  df-topgen 17382  df-plusf 18542  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-cn 23090  df-t1 23177  df-haus 23178  df-tx 23425  df-tmd 23935  df-tgp 23936

This theorem is referenced by:  tgpt0  23982