Theorem sxbrsigalem4 34265

Description: The Borel algebra on (ℝ × ℝ) is generated by the dyadic closed-below, open-above rectangular subsets of (ℝ × ℝ). Proposition 1.1.5 of [Cohn] p. 4 . Note that the interval used in this formalization are closed-below, open-above instead of open-below, closed-above in the proof as they are ultimately generated by the floor function. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem4	⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘ran 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣   𝑅,𝑛,𝑥   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem sxbrsigalem4

Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . 3 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		dya2ioc.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3		dya2ioc.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
4	1, 2, 3	sxbrsigalem1 34263	. 2 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)
5	1, 2, 3	sxbrsigalem2 34264	. . . 4 ⊢ (sigaGen‘ran 𝑅) ⊆ (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))))
6	1	sxbrsigalem3 34250	. . . 4 ⊢ (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
7	5, 6	sstri 3968	. . 3 ⊢ (sigaGen‘ran 𝑅) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
8	1	tpr2tp 33881	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))
9	8	topontopi 22851	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
10		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
11	9, 10	unicls 33880	. . . 4 ⊢ ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
12		cldssbrsiga 34164	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top → (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
14		sigagenss2 34127	. . . 4 ⊢ ((∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top) → (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
15	11, 13, 9, 14	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
16	7, 15	sstri 3968	. 2 ⊢ (sigaGen‘ran 𝑅) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
17	4, 16	eqssi 3975	1 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘ran 𝑅)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3924   ⊆ wss 3926  ∪ cuni 4883   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652  ran crn 5655  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ∈ cmpo 7405  ℝcr 11126  1c1 11128   + caddc 11130  +∞cpnf 11264   / cdiv 11892  2c2 12293  ℤcz 12586  (,)cioo 13360  [,)cico 13362  ↑cexp 14077  topGenctg 17449  Topctop 22829  Clsdccld 22952   ×_t ctx 23496  sigaGencsigagen 34115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-ac2 10475  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-dju 9913  df-card 9951  df-acn 9954  df-ac 10128  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-fac 14290  df-bc 14319  df-hash 14347  df-shft 15084  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15485  df-clim 15502  df-rlim 15503  df-sum 15701  df-ef 16081  df-sin 16083  df-cos 16084  df-pi 16086  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-refld 21563  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-ntr 22956  df-cls 22957  df-nei 23034  df-lp 23072  df-perf 23073  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-haus 23251  df-cmp 23323  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-fil 23782  df-fm 23874  df-flim 23875  df-flf 23876  df-fcls 23877  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-cncf 24820  df-cfil 25205  df-cmet 25207  df-cms 25285  df-limc 25817  df-dv 25818  df-log 26515  df-cxp 26516  df-logb 26725  df-siga 34086  df-sigagen 34116  df-brsiga 34159

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem5  34266