Theorem retopon 24811

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24809	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24810	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22965	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 232	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  ran crn 5644  ‘cfv 6516  ℝcr 11066  (,)cioo 13343  topGenctg 17457  Topctop 22941  TopOnctopon 22958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-ioo 13347  df-topgen 17463  df-top 22942  df-topon 22959  df-bases 22994

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24855  reconnlem1  24875  reconn  24877  cnmpopc  24978  cnrehmeo  25003  bndth  25008  evth2  25010  htpycc  25030  pcocn  25067  pcohtpylem  25069  pcopt  25072  pcopt2  25073  pcoass  25074  pcorevlem  25076  circcn  34096  tpr2tp  34162  sxbrsiga  34548  cvmliftlem8  35603  knoppcnlem10  36901  knoppcnlem11  36902  poimir  38113  broucube  38114  cnambfre  38128  reheibor  38299  rfcnpre1  45560  fcnre  45566  refsumcn  45571  refsum2cnlem1  45578  climreeq  46150  islptre  46156  icccncfext  46422  stoweidlem47  46582  dirkercncflem4  46641  dirkercncf  46642  fourierdlem62  46703