Theorem retopon 24280

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24278	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24279	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22419	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 229	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  ran crn 5678  ‘cfv 6544  ℝcr 11109  (,)cioo 13324  topGenctg 17383  Topctop 22395  TopOnctopon 22412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24322  reconnlem1  24342  reconn  24344  cnmpopc  24444  cnrehmeo  24469  bndth  24474  evth2  24476  htpycc  24496  pcocn  24533  pcohtpylem  24535  pcopt  24538  pcopt2  24539  pcoass  24540  pcorevlem  24542  circcn  32818  tpr2tp  32884  sxbrsiga  33289  cvmliftlem8  34283  gg-cnrehmeo  35171  knoppcnlem10  35378  knoppcnlem11  35379  poimir  36521  broucube  36522  cnambfre  36536  reheibor  36707  rfcnpre1  43703  fcnre  43709  refsumcn  43714  refsum2cnlem1  43721  climreeq  44329  islptre  44335  icccncfext  44603  stoweidlem47  44763  dirkercncflem4  44822  dirkercncf  44823  fourierdlem62  44884