Theorem retopon 23908

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 23906	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 23907	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22047	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 229	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ran crn 5589  ‘cfv 6430  ℝcr 10854  (,)cioo 13061  topGenctg 17129  Topctop 22023  TopOnctopon 22040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-ioo 13065  df-topgen 17135  df-top 22024  df-topon 22041  df-bases 22077

This theorem is referenced by:  xrtgioo  23950  reconnlem1  23970  reconn  23972  cnmpopc  24072  cnrehmeo  24097  bndth  24102  evth2  24104  htpycc  24124  pcocn  24161  pcohtpylem  24163  pcopt  24166  pcopt2  24167  pcoass  24168  pcorevlem  24170  circcn  31767  tpr2tp  31833  sxbrsiga  32236  cvmliftlem8  33233  knoppcnlem10  34661  knoppcnlem11  34662  poimir  35789  broucube  35790  cnambfre  35804  reheibor  35976  rfcnpre1  42515  fcnre  42521  refsumcn  42526  refsum2cnlem1  42533  climreeq  43108  islptre  43114  icccncfext  43382  stoweidlem47  43542  dirkercncflem4  43601  dirkercncf  43602  fourierdlem62  43663