Theorem retopon 23936

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 23934	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 23935	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22075	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 229	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  ran crn 5591  ‘cfv 6437  ℝcr 10879  (,)cioo 13088  topGenctg 17157  Topctop 22051  TopOnctopon 22068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-ioo 13092  df-topgen 17163  df-top 22052  df-topon 22069  df-bases 22105

This theorem is referenced by:  xrtgioo  23978  reconnlem1  23998  reconn  24000  cnmpopc  24100  cnrehmeo  24125  bndth  24130  evth2  24132  htpycc  24152  pcocn  24189  pcohtpylem  24191  pcopt  24194  pcopt2  24195  pcoass  24196  pcorevlem  24198  circcn  31797  tpr2tp  31863  sxbrsiga  32266  cvmliftlem8  33263  knoppcnlem10  34691  knoppcnlem11  34692  poimir  35819  broucube  35820  cnambfre  35834  reheibor  36006  rfcnpre1  42569  fcnre  42575  refsumcn  42580  refsum2cnlem1  42587  climreeq  43161  islptre  43167  icccncfext  43435  stoweidlem47  43595  dirkercncflem4  43654  dirkercncf  43655  fourierdlem62  43716