Theorem retopon 24698

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24696	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24697	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22852	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 230	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  ran crn 5622  ‘cfv 6489  ℝcr 11016  (,)cioo 13252  topGenctg 17348  Topctop 22828  TopOnctopon 22845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-ioo 13256  df-topgen 17354  df-top 22829  df-topon 22846  df-bases 22881

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24742  reconnlem1  24762  reconn  24764  cnmpopc  24869  cnrehmeo  24898  cnrehmeoOLD  24899  bndth  24904  evth2  24906  htpycc  24926  pcocn  24964  pcohtpylem  24966  pcopt  24969  pcopt2  24970  pcoass  24971  pcorevlem  24973  circcn  33923  tpr2tp  33989  sxbrsiga  34375  cvmliftlem8  35408  knoppcnlem10  36618  knoppcnlem11  36619  poimir  37766  broucube  37767  cnambfre  37781  reheibor  37952  rfcnpre1  45180  fcnre  45186  refsumcn  45191  refsum2cnlem1  45198  climreeq  45775  islptre  45781  icccncfext  46047  stoweidlem47  46207  dirkercncflem4  46266  dirkercncf  46267  fourierdlem62  46328