Theorem retopon 24885

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24883	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24884	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 23039	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 233	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  ran crn 5660  ‘cfv 6533  ℝcr 11095  (,)cioo 13368  topGenctg 17486  Topctop 23015  TopOnctopon 23032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-ioo 13372  df-topgen 17492  df-top 23016  df-topon 23033  df-bases 23068

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24929  reconnlem1  24949  reconn  24951  cnmpopc  25052  cnrehmeo  25077  bndth  25082  evth2  25084  htpycc  25104  pcocn  25141  pcohtpylem  25143  pcopt  25146  pcopt2  25147  pcoass  25148  pcorevlem  25150  circcn  34169  tpr2tp  34235  sxbrsiga  34621  cvmliftlem8  35679  knoppcnlem10  36976  knoppcnlem11  36977  poimir  38187  broucube  38188  cnambfre  38202  reheibor  38373  rfcnpre1  45624  fcnre  45630  refsumcn  45635  refsum2cnlem1  45642  climreeq  46214  islptre  46220  icccncfext  46486  stoweidlem47  46646  dirkercncflem4  46705  dirkercncf  46706  fourierdlem62  46767