Theorem retopon 24667

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24665	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24666	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22820	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 230	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ran crn 5624  ‘cfv 6486  ℝcr 11027  (,)cioo 13266  topGenctg 17359  Topctop 22796  TopOnctopon 22813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-ioo 13270  df-topgen 17365  df-top 22797  df-topon 22814  df-bases 22849

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24711  reconnlem1  24731  reconn  24733  cnmpopc  24838  cnrehmeo  24867  cnrehmeoOLD  24868  bndth  24873  evth2  24875  htpycc  24895  pcocn  24933  pcohtpylem  24935  pcopt  24938  pcopt2  24939  pcoass  24940  pcorevlem  24942  circcn  33807  tpr2tp  33873  sxbrsiga  34260  cvmliftlem8  35267  knoppcnlem10  36478  knoppcnlem11  36479  poimir  37635  broucube  37636  cnambfre  37650  reheibor  37821  rfcnpre1  45000  fcnre  45006  refsumcn  45011  refsum2cnlem1  45018  climreeq  45598  islptre  45604  icccncfext  45872  stoweidlem47  46032  dirkercncflem4  46091  dirkercncf  46092  fourierdlem62  46153