Theorem retopon 24728

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24726	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24727	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22882	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 230	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ran crn 5632  ‘cfv 6498  ℝcr 11037  (,)cioo 13298  topGenctg 17400  Topctop 22858  TopOnctopon 22875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-ioo 13302  df-topgen 17406  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24772  reconnlem1  24792  reconn  24794  cnmpopc  24895  cnrehmeo  24920  bndth  24925  evth2  24927  htpycc  24947  pcocn  24984  pcohtpylem  24986  pcopt  24989  pcopt2  24990  pcoass  24991  pcorevlem  24993  circcn  33982  tpr2tp  34048  sxbrsiga  34434  cvmliftlem8  35474  knoppcnlem10  36762  knoppcnlem11  36763  poimir  37974  broucube  37975  cnambfre  37989  reheibor  38160  rfcnpre1  45450  fcnre  45456  refsumcn  45461  refsum2cnlem1  45468  climreeq  46043  islptre  46049  icccncfext  46315  stoweidlem47  46475  dirkercncflem4  46534  dirkercncf  46535  fourierdlem62  46596