Theorem retopon 24989

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24987	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24988	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 23142	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 233	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ran crn 5656  ‘cfv 6533  ℝcr 11123  (,)cioo 13398  topGenctg 17522  Topctop 23118  TopOnctopon 23135

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-ioo 13402  df-topgen 17528  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171

This theorem is used by:  xrtgioo  25033  reconnlem1  25053  reconn  25055  cnmpopc  25156  cnrehmeo  25181  bndth  25186  evth2  25188  htpycc  25208  pcocn  25245  pcohtpylem  25247  pcopt  25250  pcopt2  25251  pcoass  25252  pcorevlem  25254  circcn  34348  tpr2tp  34414  sxbrsiga  34801  cvmliftlem8  35871  knoppcnlem10  37199  knoppcnlem11  37200  poimir  38402  broucube  38403  cnambfre  38417  reheibor  38589  rfcnpre1  45853  fcnre  45859  refsumcn  45864  refsum2cnlem1  45871  climreeq  46443  islptre  46449  icccncfext  46715  stoweidlem47  46875  dirkercncflem4  46934  dirkercncf  46935  fourierdlem62  46996