Theorem retopon 24719

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24717	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24718	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22873	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 230	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ran crn 5633  ‘cfv 6500  ℝcr 11037  (,)cioo 13273  topGenctg 17369  Topctop 22849  TopOnctopon 22866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-ioo 13277  df-topgen 17375  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24763  reconnlem1  24783  reconn  24785  cnmpopc  24890  cnrehmeo  24919  cnrehmeoOLD  24920  bndth  24925  evth2  24927  htpycc  24947  pcocn  24985  pcohtpylem  24987  pcopt  24990  pcopt2  24991  pcoass  24992  pcorevlem  24994  circcn  34015  tpr2tp  34081  sxbrsiga  34467  cvmliftlem8  35505  knoppcnlem10  36721  knoppcnlem11  36722  poimir  37901  broucube  37902  cnambfre  37916  reheibor  38087  rfcnpre1  45376  fcnre  45382  refsumcn  45387  refsum2cnlem1  45394  climreeq  45970  islptre  45976  icccncfext  46242  stoweidlem47  46402  dirkercncflem4  46461  dirkercncf  46462  fourierdlem62  46523