Theorem retopon 23833

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 23831	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 23832	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 21974	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 229	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ran crn 5581  ‘cfv 6418  ℝcr 10801  (,)cioo 13008  topGenctg 17065  Topctop 21950  TopOnctopon 21967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-ioo 13012  df-topgen 17071  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004

This theorem is referenced by:  xrtgioo  23875  reconnlem1  23895  reconn  23897  cnmpopc  23997  cnrehmeo  24022  bndth  24027  evth2  24029  htpycc  24049  pcocn  24086  pcohtpylem  24088  pcopt  24091  pcopt2  24092  pcoass  24093  pcorevlem  24095  circcn  31690  tpr2tp  31756  sxbrsiga  32157  cvmliftlem8  33154  knoppcnlem10  34609  knoppcnlem11  34610  poimir  35737  broucube  35738  cnambfre  35752  reheibor  35924  rfcnpre1  42451  fcnre  42457  refsumcn  42462  refsum2cnlem1  42469  climreeq  43044  islptre  43050  icccncfext  43318  stoweidlem47  43478  dirkercncflem4  43537  dirkercncf  43538  fourierdlem62  43599