Theorem retopon 24771

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24769	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24770	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22910	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 229	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  ran crn 5683  ‘cfv 6554  ℝcr 11157  (,)cioo 13378  topGenctg 17452  Topctop 22886  TopOnctopon 22903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-ioo 13382  df-topgen 17458  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24813  reconnlem1  24833  reconn  24835  cnmpopc  24940  cnrehmeo  24969  cnrehmeoOLD  24970  bndth  24975  evth2  24977  htpycc  24997  pcocn  25035  pcohtpylem  25037  pcopt  25040  pcopt2  25041  pcoass  25042  pcorevlem  25044  circcn  33653  tpr2tp  33719  sxbrsiga  34124  cvmliftlem8  35120  knoppcnlem10  36205  knoppcnlem11  36206  poimir  37354  broucube  37355  cnambfre  37369  reheibor  37540  rfcnpre1  44618  fcnre  44624  refsumcn  44629  refsum2cnlem1  44636  climreeq  45234  islptre  45240  icccncfext  45508  stoweidlem47  45668  dirkercncflem4  45727  dirkercncf  45728  fourierdlem62  45789