Theorem retopon 24658

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24656	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24657	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22811	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 230	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ran crn 5642  ‘cfv 6514  ℝcr 11074  (,)cioo 13313  topGenctg 17407  Topctop 22787  TopOnctopon 22804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-ioo 13317  df-topgen 17413  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24702  reconnlem1  24722  reconn  24724  cnmpopc  24829  cnrehmeo  24858  cnrehmeoOLD  24859  bndth  24864  evth2  24866  htpycc  24886  pcocn  24924  pcohtpylem  24926  pcopt  24929  pcopt2  24930  pcoass  24931  pcorevlem  24933  circcn  33835  tpr2tp  33901  sxbrsiga  34288  cvmliftlem8  35286  knoppcnlem10  36497  knoppcnlem11  36498  poimir  37654  broucube  37655  cnambfre  37669  reheibor  37840  rfcnpre1  45020  fcnre  45026  refsumcn  45031  refsum2cnlem1  45038  climreeq  45618  islptre  45624  icccncfext  45892  stoweidlem47  46052  dirkercncflem4  46111  dirkercncf  46112  fourierdlem62  46173