Theorem retopon 24738

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24736	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24737	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22892	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 230	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ran crn 5625  ‘cfv 6492  ℝcr 11028  (,)cioo 13289  topGenctg 17391  Topctop 22868  TopOnctopon 22885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13293  df-topgen 17397  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24782  reconnlem1  24802  reconn  24804  cnmpopc  24905  cnrehmeo  24930  bndth  24935  evth2  24937  htpycc  24957  pcocn  24994  pcohtpylem  24996  pcopt  24999  pcopt2  25000  pcoass  25001  pcorevlem  25003  circcn  33998  tpr2tp  34064  sxbrsiga  34450  cvmliftlem8  35490  knoppcnlem10  36778  knoppcnlem11  36779  poimir  37988  broucube  37989  cnambfre  38003  reheibor  38174  rfcnpre1  45468  fcnre  45474  refsumcn  45479  refsum2cnlem1  45486  climreeq  46061  islptre  46067  icccncfext  46333  stoweidlem47  46493  dirkercncflem4  46552  dirkercncf  46553  fourierdlem62  46614