Theorem retopon 23375

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 23373	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 23374	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 21528	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 232	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  ran crn 5559  ‘cfv 6358  ℝcr 10539  (,)cioo 12741  topGenctg 16714  Topctop 21504  TopOnctopon 21521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-ioo 12745  df-topgen 16720  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557

This theorem is referenced by:  xrtgioo  23417  reconnlem1  23437  reconn  23439  cnmpopc  23535  cnrehmeo  23560  bndth  23565  evth2  23567  htpycc  23587  pcocn  23624  pcohtpylem  23626  pcopt  23629  pcopt2  23630  pcoass  23631  pcorevlem  23633  circcn  31106  tpr2tp  31151  sxbrsiga  31552  cvmliftlem8  32543  knoppcnlem10  33845  knoppcnlem11  33846  poimir  34929  broucube  34930  cnambfre  34944  reheibor  35121  rfcnpre1  41282  fcnre  41288  refsumcn  41293  refsum2cnlem1  41300  climreeq  41900  islptre  41906  icccncfext  42176  stoweidlem47  42339  dirkercncflem4  42398  dirkercncf  42399  fourierdlem62  42460