Theorem retopon 25075

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 25073	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 25074	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 23228	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 233	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ran crn 5652  ‘cfv 6537  ℝcr 11192  (,)cioo 13469  topGenctg 17601  Topctop 23204  TopOnctopon 23221

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-ioo 13473  df-topgen 17607  df-top 23205  df-topon 23222  df-bases 23257

This theorem is used by:  xrtgioo  25119  reconnlem1  25139  reconn  25141  cnmpopc  25242  cnrehmeo  25267  bndth  25272  evth2  25274  htpycc  25294  pcocn  25331  pcohtpylem  25333  pcopt  25336  pcopt2  25337  pcoass  25338  pcorevlem  25340  circcn  34463  tpr2tp  34529  sxbrsiga  34915  cvmliftlem8  36036  knoppcnlem10  37348  knoppcnlem11  37349  poimir  38551  broucube  38552  cnambfre  38566  reheibor  38753  rfcnpre1  46005  fcnre  46011  refsumcn  46016  refsum2cnlem1  46023  climreeq  46594  islptre  46600  icccncfext  46866  stoweidlem47  47026  dirkercncflem4  47085  dirkercncf  47086  fourierdlem62  47147