Theorem retopon 24901

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24899	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24900	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 23055	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 233	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  ran crn 5664  ‘cfv 6538  ℝcr 11100  (,)cioo 13373  topGenctg 17491  Topctop 23031  TopOnctopon 23048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13377  df-topgen 17497  df-top 23032  df-topon 23049  df-bases 23084

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24945  reconnlem1  24965  reconn  24967  cnmpopc  25068  cnrehmeo  25093  bndth  25098  evth2  25100  htpycc  25120  pcocn  25157  pcohtpylem  25159  pcopt  25162  pcopt2  25163  pcoass  25164  pcorevlem  25166  circcn  34209  tpr2tp  34275  sxbrsiga  34661  cvmliftlem8  35765  knoppcnlem10  37072  knoppcnlem11  37073  poimir  38285  broucube  38286  cnambfre  38300  reheibor  38471  rfcnpre1  45722  fcnre  45728  refsumcn  45733  refsum2cnlem1  45740  climreeq  46312  islptre  46318  icccncfext  46584  stoweidlem47  46744  dirkercncflem4  46803  dirkercncf  46804  fourierdlem62  46865