MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem retopon 23367
Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
retopon (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon
StepHypRef Expression
1 retop 23365 . 2 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2 uniretop 23366 . . 3 ℝ = (topGen‘ran (,))
32toptopon 21520 . 2 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
41, 3mpbi 233 1 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2115  ran crn 5544  cfv 6344  cr 10530  (,)cioo 12733  topGenctg 16709  Topctop 21496  TopOnctopon 21513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ioo 12737  df-topgen 16715  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549
This theorem is referenced by:  xrtgioo  23409  reconnlem1  23429  reconn  23431  cnmpopc  23531  cnrehmeo  23556  bndth  23561  evth2  23563  htpycc  23583  pcocn  23620  pcohtpylem  23622  pcopt  23625  pcopt2  23626  pcoass  23627  pcorevlem  23629  circcn  31132  tpr2tp  31174  sxbrsiga  31575  cvmliftlem8  32566  knoppcnlem10  33868  knoppcnlem11  33869  poimir  35002  broucube  35003  cnambfre  35017  reheibor  35189  rfcnpre1  41508  fcnre  41514  refsumcn  41519  refsum2cnlem1  41526  climreeq  42121  islptre  42127  icccncfext  42395  stoweidlem47  42555  dirkercncflem4  42614  dirkercncf  42615  fourierdlem62  42676
  Copyright terms: Public domain W3C validator