Theorem retopon 24746

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24744	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24745	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22900	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 231	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  ran crn 5619  ‘cfv 6485  ℝcr 11028  (,)cioo 13289  topGenctg 17391  Topctop 22876  TopOnctopon 22893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13293  df-topgen 17397  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24790  reconnlem1  24810  reconn  24812  cnmpopc  24913  cnrehmeo  24938  bndth  24943  evth2  24945  htpycc  24965  pcocn  25002  pcohtpylem  25004  pcopt  25007  pcopt2  25008  pcoass  25009  pcorevlem  25011  circcn  34022  tpr2tp  34088  sxbrsiga  34474  cvmliftlem8  35520  knoppcnlem10  36808  knoppcnlem11  36809  poimir  38020  broucube  38021  cnambfre  38035  reheibor  38206  rfcnpre1  45467  fcnre  45473  refsumcn  45478  refsum2cnlem1  45485  climreeq  46058  islptre  46064  icccncfext  46330  stoweidlem47  46490  dirkercncflem4  46549  dirkercncf  46550  fourierdlem62  46611