Theorem retopon 23369

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 23367	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 23368	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 21522	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 233	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  ran crn 5520  ‘cfv 6324  ℝcr 10525  (,)cioo 12726  topGenctg 16703  Topctop 21498  TopOnctopon 21515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioo 12730  df-topgen 16709  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551

This theorem is referenced by:  xrtgioo  23411  reconnlem1  23431  reconn  23433  cnmpopc  23533  cnrehmeo  23558  bndth  23563  evth2  23565  htpycc  23585  pcocn  23622  pcohtpylem  23624  pcopt  23627  pcopt2  23628  pcoass  23629  pcorevlem  23631  circcn  31191  tpr2tp  31257  sxbrsiga  31658  cvmliftlem8  32652  knoppcnlem10  33954  knoppcnlem11  33955  poimir  35090  broucube  35091  cnambfre  35105  reheibor  35277  rfcnpre1  41648  fcnre  41654  refsumcn  41659  refsum2cnlem1  41666  climreeq  42255  islptre  42261  icccncfext  42529  stoweidlem47  42689  dirkercncflem4  42748  dirkercncf  42749  fourierdlem62  42810