Theorem retopon 24949

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24947	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24948	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 23103	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 233	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  ran crn 5664  ‘cfv 6540  ℝcr 11110  (,)cioo 13383  topGenctg 17507  Topctop 23079  TopOnctopon 23096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-ioo 13387  df-topgen 17513  df-top 23080  df-topon 23097  df-bases 23132

This theorem is used by:  xrtgioo  24993  reconnlem1  25013  reconn  25015  cnmpopc  25116  cnrehmeo  25141  bndth  25146  evth2  25148  htpycc  25168  pcocn  25205  pcohtpylem  25207  pcopt  25210  pcopt2  25211  pcoass  25212  pcorevlem  25214  circcn  34251  tpr2tp  34317  sxbrsiga  34704  cvmliftlem8  35797  knoppcnlem10  37124  knoppcnlem11  37125  poimir  38337  broucube  38338  cnambfre  38352  reheibor  38523  rfcnpre1  45772  fcnre  45778  refsumcn  45783  refsum2cnlem1  45790  climreeq  46362  islptre  46368  icccncfext  46634  stoweidlem47  46794  dirkercncflem4  46853  dirkercncf  46854  fourierdlem62  46915