Theorem retopon 24627

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24625	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24626	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22780	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 230	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ran crn 5632  ‘cfv 6499  ℝcr 11043  (,)cioo 13282  topGenctg 17376  Topctop 22756  TopOnctopon 22773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-ioo 13286  df-topgen 17382  df-top 22757  df-topon 22774  df-bases 22809

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24671  reconnlem1  24691  reconn  24693  cnmpopc  24798  cnrehmeo  24827  cnrehmeoOLD  24828  bndth  24833  evth2  24835  htpycc  24855  pcocn  24893  pcohtpylem  24895  pcopt  24898  pcopt2  24899  pcoass  24900  pcorevlem  24902  circcn  33801  tpr2tp  33867  sxbrsiga  34254  cvmliftlem8  35252  knoppcnlem10  36463  knoppcnlem11  36464  poimir  37620  broucube  37621  cnambfre  37635  reheibor  37806  rfcnpre1  44986  fcnre  44992  refsumcn  44997  refsum2cnlem1  45004  climreeq  45584  islptre  45590  icccncfext  45858  stoweidlem47  46018  dirkercncflem4  46077  dirkercncf  46078  fourierdlem62  46139