Theorem retopon 24799

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24797	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24798	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22938	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 230	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  ran crn 5689  ‘cfv 6562  ℝcr 11151  (,)cioo 13383  topGenctg 17483  Topctop 22914  TopOnctopon 22931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-ioo 13387  df-topgen 17489  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24841  reconnlem1  24861  reconn  24863  cnmpopc  24968  cnrehmeo  24997  cnrehmeoOLD  24998  bndth  25003  evth2  25005  htpycc  25025  pcocn  25063  pcohtpylem  25065  pcopt  25068  pcopt2  25069  pcoass  25070  pcorevlem  25072  circcn  33798  tpr2tp  33864  sxbrsiga  34271  cvmliftlem8  35276  knoppcnlem10  36484  knoppcnlem11  36485  poimir  37639  broucube  37640  cnambfre  37654  reheibor  37825  rfcnpre1  44956  fcnre  44962  refsumcn  44967  refsum2cnlem1  44974  climreeq  45568  islptre  45574  icccncfext  45842  stoweidlem47  46002  dirkercncflem4  46061  dirkercncf  46062  fourierdlem62  46123