Theorem retopon 24287

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24285	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24286	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22426	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 229	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ran crn 5677  ‘cfv 6543  ℝcr 11111  (,)cioo 13326  topGenctg 17385  Topctop 22402  TopOnctopon 22419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-ioo 13330  df-topgen 17391  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24329  reconnlem1  24349  reconn  24351  cnmpopc  24451  cnrehmeo  24476  bndth  24481  evth2  24483  htpycc  24503  pcocn  24540  pcohtpylem  24542  pcopt  24545  pcopt2  24546  pcoass  24547  pcorevlem  24549  circcn  32887  tpr2tp  32953  sxbrsiga  33358  cvmliftlem8  34352  gg-cnrehmeo  35240  knoppcnlem10  35464  knoppcnlem11  35465  poimir  36607  broucube  36608  cnambfre  36622  reheibor  36793  rfcnpre1  43785  fcnre  43791  refsumcn  43796  refsum2cnlem1  43803  climreeq  44408  islptre  44414  icccncfext  44682  stoweidlem47  44842  dirkercncflem4  44901  dirkercncf  44902  fourierdlem62  44963