Theorem retopon 24784

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24782	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24783	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22923	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 230	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ran crn 5686  ‘cfv 6561  ℝcr 11154  (,)cioo 13387  topGenctg 17482  Topctop 22899  TopOnctopon 22916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ioo 13391  df-topgen 17488  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24828  reconnlem1  24848  reconn  24850  cnmpopc  24955  cnrehmeo  24984  cnrehmeoOLD  24985  bndth  24990  evth2  24992  htpycc  25012  pcocn  25050  pcohtpylem  25052  pcopt  25055  pcopt2  25056  pcoass  25057  pcorevlem  25059  circcn  33837  tpr2tp  33903  sxbrsiga  34292  cvmliftlem8  35297  knoppcnlem10  36503  knoppcnlem11  36504  poimir  37660  broucube  37661  cnambfre  37675  reheibor  37846  rfcnpre1  45024  fcnre  45030  refsumcn  45035  refsum2cnlem1  45042  climreeq  45628  islptre  45634  icccncfext  45902  stoweidlem47  46062  dirkercncflem4  46121  dirkercncf  46122  fourierdlem62  46183