Theorem retopon 24700

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24698	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24699	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22853	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 230	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ran crn 5655  ‘cfv 6530  ℝcr 11126  (,)cioo 13360  topGenctg 17449  Topctop 22829  TopOnctopon 22846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-ioo 13364  df-topgen 17455  df-top 22830  df-topon 22847  df-bases 22882

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24744  reconnlem1  24764  reconn  24766  cnmpopc  24871  cnrehmeo  24900  cnrehmeoOLD  24901  bndth  24906  evth2  24908  htpycc  24928  pcocn  24966  pcohtpylem  24968  pcopt  24971  pcopt2  24972  pcoass  24973  pcorevlem  24975  circcn  33815  tpr2tp  33881  sxbrsiga  34268  cvmliftlem8  35260  knoppcnlem10  36466  knoppcnlem11  36467  poimir  37623  broucube  37624  cnambfre  37638  reheibor  37809  rfcnpre1  44991  fcnre  44997  refsumcn  45002  refsum2cnlem1  45009  climreeq  45590  islptre  45596  icccncfext  45864  stoweidlem47  46024  dirkercncflem4  46083  dirkercncf  46084  fourierdlem62  46145