Theorem retopon 22944

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 22942	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 22943	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 21099	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 222	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  ran crn 5347  ‘cfv 6127  ℝcr 10258  (,)cioo 12470  topGenctg 16458  Topctop 21075  TopOnctopon 21092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-ioo 12474  df-topgen 16464  df-top 21076  df-topon 21093  df-bases 21128

This theorem is referenced by:  xrtgioo  22986  reconnlem1  23006  reconn  23008  cnmpt2pc  23104  cnrehmeo  23129  bndth  23134  evth2  23136  htpycc  23156  pcocn  23193  pcohtpylem  23195  pcopt  23198  pcopt2  23199  pcoass  23200  pcorevlem  23202  circcn  30446  tpr2tp  30491  sxbrsiga  30893  cvmliftlem8  31816  knoppcnlem10  33020  knoppcnlem11  33021  poimir  33981  broucube  33982  cnambfre  33996  reheibor  34175  rfcnpre1  39991  fcnre  39997  refsumcn  40002  refsum2cnlem1  40009  climreeq  40634  islptre  40640  icccncfext  40889  stoweidlem47  41052  dirkercncflem4  41111  dirkercncf  41112  fourierdlem62  41173