Theorem retopon 24805

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24803	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24804	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 22944	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 230	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ran crn 5701  ‘cfv 6573  ℝcr 11183  (,)cioo 13407  topGenctg 17497  Topctop 22920  TopOnctopon 22937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ioo 13411  df-topgen 17503  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974

This theorem is referenced by:  xrtgioo  24847  reconnlem1  24867  reconn  24869  cnmpopc  24974  cnrehmeo  25003  cnrehmeoOLD  25004  bndth  25009  evth2  25011  htpycc  25031  pcocn  25069  pcohtpylem  25071  pcopt  25074  pcopt2  25075  pcoass  25076  pcorevlem  25078  circcn  33784  tpr2tp  33850  sxbrsiga  34255  cvmliftlem8  35260  knoppcnlem10  36468  knoppcnlem11  36469  poimir  37613  broucube  37614  cnambfre  37628  reheibor  37799  rfcnpre1  44919  fcnre  44925  refsumcn  44930  refsum2cnlem1  44937  climreeq  45534  islptre  45540  icccncfext  45808  stoweidlem47  45968  dirkercncflem4  46027  dirkercncf  46028  fourierdlem62  46089