Theorem tr0el 36940

Description: Every nonempty transitive class contains the empty set ∅ as an element, a consequence of Regularity and Transitive Containment. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
tr0el	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ Tr 𝐴) → ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem tr0el

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfregs 9700	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)
2		trss 5227	. . . . . 6 ⊢ (Tr 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
3	2	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
4		dfss 3923	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 = (𝑥 ∩ 𝐴))
5		eqeq2 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ → (𝑥 = (𝑥 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 = ∅))
6	4, 5	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 = ∅))
7	3, 6	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ → 𝑥 = ∅))
8		eleq1 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
9	8	biimpcd 252	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
10	9	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
11	7, 10	syld 48	. . 3 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
12	11	rexlimdva 3164	. 2 ⊢ (Tr 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
13	1, 12	mpan9 515	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ Tr 𝐴) → ∅ ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  Tr wtr 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9553  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396

This theorem is referenced by:  ttc0el  36990