Theorem tr0el 37195

Description: Every nonempty transitive class contains the empty set ∅ as an element, a consequence of Regularity and Transitive Containment. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
tr0el	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ Tr 𝐴) → ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem tr0el

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfregs 9711	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)
2		trss 5221	. . . . . 6 ⊢ (Tr 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
3	2	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
4		dfss 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 = (𝑥 ∩ 𝐴))
5		eqeq2 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ → (𝑥 = (𝑥 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 = ∅))
6	4, 5	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 = ∅))
7	3, 6	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ → 𝑥 = ∅))
8		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
9	8	biimpcd 252	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
11	7, 10	syld 48	. . 3 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
12	11	rexlimdva 3163	. 2 ⊢ (Tr 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
13	1, 12	mpan9 516	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ Tr 𝐴) → ∅ ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  Tr wtr 5211

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-reg 9564  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396

This theorem is used by:  ttc0el  37245