Theorem mbfulm 26464

Description: A uniform limit of measurable functions is measurable. (This is just a corollary of the fact that a pointwise limit of measurable functions is measurable, see mbflim 25717.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfulm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
mbfulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
mbfulm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
mbfulm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mbfulm	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfulm

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfulm.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
2		ulmcl 26439	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
4	3	feqmptd 6977	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)))
5		mbfulm.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		mbfulm.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		mbfulm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
9	8	ffnd 6738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
10		ulmf2 26442	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
11	9, 1, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
13		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
14	5	fvexi 6921	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
15	14	mptex 7243	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ V)
17		fveq2 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
18	17	fveq1d 6909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))
19		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
20		fvex 6920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 7016	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))
22	21	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))‘𝑛))
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))‘𝑛))
24	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
25	5, 7, 12, 13, 16, 23, 24	ulmclm 26445	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺‘𝑧))
26	11	ffvelcdmda 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
27		elmapi 8888	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
29	28	feqmptd 6977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))
30	8	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ MblFn)
31	29, 30	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ MblFn)
32	28	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
33	32	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
34	5, 6, 25, 31, 33	mbflim 25717	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)) ∈ MblFn)
35	4, 34	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  ℂcc 11151  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  MblFncmbf 25663  ⇝_𝑢culm 26434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-ulm 26435

This theorem is referenced by:  iblulm  26465