MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfulm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfulm 26293
Description: A uniform limit of measurable functions is measurable. (This is just a corollary of the fact that a pointwise limit of measurable functions is measurable, see mbflim 25548.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfulm.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
mbfulm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
mbfulm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆMblFn)
mbfulm.u (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
Assertion
Ref Expression
mbfulm (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfulm
Dummy variables π‘˜ 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfulm.u . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
2 ulmcl 26268 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
43feqmptd 6953 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
5 mbfulm.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 mbfulm.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
76adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8 mbfulm.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆMblFn)
98ffnd 6711 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
10 ulmf2 26271 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
119, 1, 10syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
1211adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
13 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
145fvexi 6898 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
1514mptex 7219 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ V)
17 fveq2 6884 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
1817fveq1d 6886 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))
19 eqid 2726 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
20 fvex 6897 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6991 . . . . . 6 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))
2221eqcomd 2732 . . . . 5 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))β€˜π‘›))
2322adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))β€˜π‘›))
241adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
255, 7, 12, 13, 16, 23, 24ulmclm 26274 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
2611ffvelcdmda 7079 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
27 elmapi 8842 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2928feqmptd 6953 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
308ffvelcdmda 7079 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ MblFn)
3129, 30eqeltrrd 2828 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ MblFn)
3228ffvelcdmda 7079 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
3332anasss 466 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
345, 6, 25, 31, 33mbflim 25548 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (πΊβ€˜π‘§)) ∈ MblFn)
354, 34eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  β„‚cc 11107  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  MblFncmbf 25494  β‡π‘’culm 26263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xadd 13096  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-xmet 21229  df-met 21230  df-ovol 25344  df-vol 25345  df-mbf 25499  df-ulm 26264
This theorem is referenced by:  iblulm  26294
  Copyright terms: Public domain W3C validator