Theorem mbfulm 26371

Description: A uniform limit of measurable functions is measurable. (This is just a corollary of the fact that a pointwise limit of measurable functions is measurable, see mbflim 25625.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfulm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
mbfulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
mbfulm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
mbfulm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mbfulm	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfulm

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfulm.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
2		ulmcl 26346	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
4	3	feqmptd 6902	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)))
5		mbfulm.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		mbfulm.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		mbfulm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
9	8	ffnd 6663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
10		ulmf2 26349	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
11	9, 1, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
13		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
14	5	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
15	14	mptex 7169	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ V)
17		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
18	17	fveq1d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))
19		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
20		fvex 6847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))
22	21	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))‘𝑛))
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))‘𝑛))
24	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
25	5, 7, 12, 13, 16, 23, 24	ulmclm 26352	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺‘𝑧))
26	11	ffvelcdmda 7029	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
27		elmapi 8786	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
29	28	feqmptd 6902	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))
30	8	ffvelcdmda 7029	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ MblFn)
31	29, 30	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ MblFn)
32	28	ffvelcdmda 7029	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
33	32	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
34	5, 6, 25, 31, 33	mbflim 25625	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)) ∈ MblFn)
35	4, 34	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  ℂcc 11024  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  MblFncmbf 25571  ⇝_𝑢culm 26341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xadd 13027  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-xmet 21302  df-met 21303  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-mbf 25576  df-ulm 26342

This theorem is referenced by:  iblulm  26372