MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfulm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfulm 26355
Description: A uniform limit of measurable functions is measurable. (This is just a corollary of the fact that a pointwise limit of measurable functions is measurable, see mbflim 25610.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfulm.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
mbfulm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
mbfulm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆMblFn)
mbfulm.u (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
Assertion
Ref Expression
mbfulm (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfulm
Dummy variables π‘˜ 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfulm.u . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
2 ulmcl 26330 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
43feqmptd 6967 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
5 mbfulm.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 mbfulm.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
76adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8 mbfulm.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆMblFn)
98ffnd 6723 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
10 ulmf2 26333 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
119, 1, 10syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
1211adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
13 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
145fvexi 6911 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
1514mptex 7235 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ V)
17 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
1817fveq1d 6899 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))
19 eqid 2728 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
20 fvex 6910 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 7005 . . . . . 6 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))
2221eqcomd 2734 . . . . 5 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))β€˜π‘›))
2322adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))β€˜π‘›))
241adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
255, 7, 12, 13, 16, 23, 24ulmclm 26336 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
2611ffvelcdmda 7094 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
27 elmapi 8868 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2928feqmptd 6967 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
308ffvelcdmda 7094 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ MblFn)
3129, 30eqeltrrd 2830 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ MblFn)
3228ffvelcdmda 7094 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
3332anasss 466 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
345, 6, 25, 31, 33mbflim 25610 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (πΊβ€˜π‘§)) ∈ MblFn)
354, 34eqeltrd 2829 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8845  β„‚cc 11137  β„€cz 12589  β„€β‰₯cuz 12853  MblFncmbf 25556  β‡π‘’culm 26325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cc 10459  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xadd 13126  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-xmet 21272  df-met 21273  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561  df-ulm 26326
This theorem is referenced by:  iblulm  26356
  Copyright terms: Public domain W3C validator