Theorem mbfulm 25909

Description: A uniform limit of measurable functions is measurable. (This is just a corollary of the fact that a pointwise limit of measurable functions is measurable, see mbflim 25176.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfulm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
mbfulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
mbfulm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
mbfulm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mbfulm	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfulm

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfulm.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
2		ulmcl 25884	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
4	3	feqmptd 6957	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)))
5		mbfulm.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		mbfulm.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		mbfulm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
9	8	ffnd 6715	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
10		ulmf2 25887	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
11	9, 1, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
13		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
14	5	fvexi 6902	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
15	14	mptex 7221	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ V)
17		fveq2 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
18	17	fveq1d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))
19		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
20		fvex 6901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 6995	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))
22	21	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))‘𝑛))
23	22	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))‘𝑛))
24	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
25	5, 7, 12, 13, 16, 23, 24	ulmclm 25890	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺‘𝑧))
26	11	ffvelcdmda 7083	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
27		elmapi 8839	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
29	28	feqmptd 6957	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))
30	8	ffvelcdmda 7083	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ MblFn)
31	29, 30	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ MblFn)
32	28	ffvelcdmda 7083	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
33	32	anasss 467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
34	5, 6, 25, 31, 33	mbflim 25176	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)) ∈ MblFn)
35	4, 34	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8816  ℂcc 11104  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  MblFncmbf 25122  ⇝_𝑢culm 25879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-ulm 25880

This theorem is referenced by:  iblulm  25910