MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfulm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfulm 25917
Description: A uniform limit of measurable functions is measurable. (This is just a corollary of the fact that a pointwise limit of measurable functions is measurable, see mbflim 25184.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfulm.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
mbfulm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
mbfulm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆMblFn)
mbfulm.u (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
Assertion
Ref Expression
mbfulm (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfulm
Dummy variables π‘˜ 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfulm.u . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
2 ulmcl 25892 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
43feqmptd 6960 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
5 mbfulm.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 mbfulm.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
76adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8 mbfulm.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆMblFn)
98ffnd 6718 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
10 ulmf2 25895 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
119, 1, 10syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
1211adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
13 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
145fvexi 6905 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
1514mptex 7224 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ V)
17 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
1817fveq1d 6893 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))
19 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
20 fvex 6904 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6998 . . . . . 6 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))
2221eqcomd 2738 . . . . 5 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))β€˜π‘›))
2322adantl 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))β€˜π‘›))
241adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
255, 7, 12, 13, 16, 23, 24ulmclm 25898 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
2611ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
27 elmapi 8842 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2928feqmptd 6960 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
308ffvelcdmda 7086 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ MblFn)
3129, 30eqeltrrd 2834 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ MblFn)
3228ffvelcdmda 7086 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
3332anasss 467 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
345, 6, 25, 31, 33mbflim 25184 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (πΊβ€˜π‘§)) ∈ MblFn)
354, 34eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  β„‚cc 11107  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  MblFncmbf 25130  β‡π‘’culm 25887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-xmet 20936  df-met 20937  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-ulm 25888
This theorem is referenced by:  iblulm  25918
  Copyright terms: Public domain W3C validator