Theorem mbfulm 26372

Description: A uniform limit of measurable functions is measurable. (This is just a corollary of the fact that a pointwise limit of measurable functions is measurable, see mbflim 25626.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfulm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
mbfulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
mbfulm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
mbfulm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mbfulm	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfulm

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfulm.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
2		ulmcl 26347	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
4	3	feqmptd 6952	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)))
5		mbfulm.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		mbfulm.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		mbfulm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
9	8	ffnd 6712	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
10		ulmf2 26350	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
11	9, 1, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
13		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
14	5	fvexi 6895	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
15	14	mptex 7220	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ V)
17		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
18	17	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))
19		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
20		fvex 6894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 6991	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))
22	21	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))‘𝑛))
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))‘𝑛))
24	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
25	5, 7, 12, 13, 16, 23, 24	ulmclm 26353	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺‘𝑧))
26	11	ffvelcdmda 7079	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
27		elmapi 8868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
29	28	feqmptd 6952	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))
30	8	ffvelcdmda 7079	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ MblFn)
31	29, 30	eqeltrrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ MblFn)
32	28	ffvelcdmda 7079	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
33	32	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
34	5, 6, 25, 31, 33	mbflim 25626	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)) ∈ MblFn)
35	4, 34	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8845  ℂcc 11132  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  MblFncmbf 25572  ⇝_𝑢culm 26342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cc 10454  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-disj 5092  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-acn 9961  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xadd 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-xmet 21313  df-met 21314  df-ovol 25422  df-vol 25423  df-mbf 25577  df-ulm 26343

This theorem is referenced by:  iblulm  26373