MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblulm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblulm 25910
Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
itgulm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f (𝜑𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
itgulm.s (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblulm (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblulm
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 itgulm.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 itgulm.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶𝐿1)
43ffnd 6715 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
5 itgulm.u . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
6 ulmf2 25887 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
74, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8 eqidd 2733 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑥𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) = ((𝐹𝑘)‘𝑥))
9 eqidd 2733 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
10 1rp 12974 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
121, 2, 7, 8, 9, 5, 11ulmi 25889 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)
131r19.2uz 15294 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → ∃𝑘𝑍𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)
1412, 13syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)
15 ulmcl 25884 . . . . . . 7 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
165, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
1716adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
1817feqmptd 6957 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧𝑆 ↦ (𝐺𝑧)))
197ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
20 elmapi 8839 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2221adantrr 715 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2322ffvelcdmda 7083 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
2417ffvelcdmda 7083 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
2523, 24nncand 11572 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (𝐺𝑧))
2625mpteq2dva 5247 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) = (𝑧𝑆 ↦ (𝐺𝑧)))
2718, 26eqtr4d 2775 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))))
2822feqmptd 6957 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘) = (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)))
293ffvelcdmda 7083 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐿1)
3029adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐿1)
3128, 30eqeltrrd 2834 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ 𝐿1)
3223, 24subcld 11567 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
33 ulmscl 25882 . . . . . . . . 9 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
345, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
3534adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝑆 ∈ V)
3635, 23, 24, 28, 18offval2 7686 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ((𝐹𝑘) ∘f𝐺) = (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))))
37 iblmbf 25276 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘) ∈ 𝐿1 → (𝐹𝑘) ∈ MblFn)
3830, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘) ∈ MblFn)
39 iblmbf 25276 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝐿1𝑥 ∈ MblFn)
4039ssriv 3985 . . . . . . . . . 10 𝐿1 ⊆ MblFn
41 fss 6731 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑍⟶𝐿1 ∧ 𝐿1 ⊆ MblFn) → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
423, 40, 41sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶MblFn)
431, 2, 42, 5mbfulm 25909 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
4443adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ MblFn)
4538, 44mbfsub 25170 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ((𝐹𝑘) ∘f𝐺) ∈ MblFn)
4636, 45eqeltrrd 2834 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ MblFn)
47 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))
4847, 32dmmptd 6692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = 𝑆)
4948fveq2d 6892 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) = (vol‘𝑆))
50 itgulm.s . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
5150adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
5249, 51eqeltrd 2833 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) ∈ ℝ)
53 1re 11210 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5421ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
5516adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
5655ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
5754, 56subcld 11567 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
5857abscld 15379 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
59 ltle 11298 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ≤ 1))
6058, 53, 59sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ≤ 1))
61 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑥))
62 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑥))
6361, 62oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
64 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ V
6563, 47, 64fvmpt 6995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑆 → ((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
6766fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))))
6867breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ≤ 1))
6960, 68sylibrd 258 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7069ralimdva 3167 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → ∀𝑥𝑆 (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7170impr 455 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ∀𝑥𝑆 (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
7248raleqdv 3325 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ ∀𝑥𝑆 (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7371, 72mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
74 brralrspcev 5207 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
7553, 73, 74sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
76 bddibl 25348 . . . . 5 (((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ MblFn ∧ (vol‘dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) ∈ ℝ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ 𝐿1)
7746, 52, 75, 76syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ 𝐿1)
7823, 31, 32, 77iblsub 25330 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) ∈ 𝐿1)
7927, 78eqeltrd 2833 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
8014, 79rexlimddv 3161 1 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  wss 3947   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5675   Fn wfn 6535  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  f cof 7664  m cmap 8816  cc 11104  cr 11105  1c1 11107   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440  cz 12554  cuz 12818  +crp 12970  abscabs 15177  volcvol 24971  MblFncmbf 25122  𝐿1cibl 25125  𝑢culm 25879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-ibl 25130  df-0p 25178  df-ulm 25880
This theorem is referenced by:  itgulm  25911  itgulm2  25912
  Copyright terms: Public domain W3C validator