Theorem iblulm 26791

Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
itgulm.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iblulm	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblulm

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		itgulm.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
4	3	ffnd 6740	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
5		itgulm.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
6		ulmf2 26768	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
9		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
10		1rp 13164	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
12	1, 2, 7, 8, 9, 5, 11	ulmi 26770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
13	1	r19.2uz 15563	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
14	12, 13	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
15		ulmcl 26765	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
16	5, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
18	17	feqmptd 6984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)))
19	7	ffvelcdmda 7116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
20		elmapi 8907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
22	21	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
23	22	ffvelcdmda 7116	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
24	17	ffvelcdmda 7116	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
25	23, 24	nncand 11713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (𝐺‘𝑧))
26	25	mpteq2dva 5204	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)))
27	18, 26	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))))
28	22	feqmptd 6984	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))
29	3	ffvelcdmda 7116	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1)
30	29	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1)
31	28, 30	eqeltrrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ 𝐿1)
32	23, 24	subcld 11708	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
33		ulmscl 26763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
34	5, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
35	34	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝑆 ∈ V)
36	35, 23, 24, 28, 18	offval2 7745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ((𝐹‘𝑘) ∘f − 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))))
37		iblmbf 26143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1 → (𝐹‘𝑘) ∈ MblFn)
38	30, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ MblFn)
39		iblmbf 26143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿1 → 𝑥 ∈ MblFn)
40	39	ssriv 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿1 ⊆ MblFn
41		fss 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝐿1 ∧ 𝐿1 ⊆ MblFn) → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
42	3, 40, 41	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
43	1, 2, 42, 5	mbfulm 26790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
44	43	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ MblFn)
45	38, 44	mbfsub 26038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ((𝐹‘𝑘) ∘f − 𝐺) ∈ MblFn)
46	36, 45	eqeltrrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ MblFn)
47		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))
48	47, 32	dmmptd 6714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = 𝑆)
49	48	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) = (vol‘𝑆))
50		itgulm.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
51	50	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
52	49, 51	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ ℝ)
53		1re 11347	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
54	21	ffvelcdmda 7116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
55	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
56	55	ffvelcdmda 7116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
57	54, 56	subcld 11708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
58	57	abscld 15650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
59		ltle 11437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
60	58, 53, 59	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
61		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
62		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑥))
63	61, 62	oveq12d 7469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
64		ovex 7484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ V
65	63, 47, 64	fvmpt 7024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
66	65	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
67	66	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
68	67	breq1d 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
69	60, 68	sylibrd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
70	69	ralimdva 3178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
71	70	impr 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
72	71, 48	raleqtrrdv 3327	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
73		brralrspcev 5171	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
74	53, 72, 73	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
75		bddibl 26215	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ MblFn ∧ (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ ℝ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ 𝐿1)
76	46, 52, 74, 75	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ 𝐿1)
77	23, 31, 32, 76	iblsub 26197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ 𝐿1)
78	27, 77	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
79	14, 78	rexlimddv 3173	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723   ↑_m cmap 8885  ℂcc 11237  ℝcr 11238  1c1 11240   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ℝ⁺crp 13160  abscabs 15444  volcvol 25839  MblFncmbf 25990  𝐿¹cibl 25993  ⇝_𝑢culm 26760

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cc 10552  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-acn 10060  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-cmp 23760  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-ovol 25840  df-vol 25841  df-mbf 25995  df-itg1 25996  df-itg2 25997  df-ibl 25998  df-0p 26046  df-ulm 26761

This theorem is used by:  itgulm  26792  itgulm2  26793