Theorem iblulm 25919

Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
itgulm.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iblulm	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblulm

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		itgulm.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
4	3	ffnd 6719	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
5		itgulm.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
6		ulmf2 25896	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
9		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
10		1rp 12978	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
12	1, 2, 7, 8, 9, 5, 11	ulmi 25898	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
13	1	r19.2uz 15298	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
15		ulmcl 25893	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
16	5, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
17	16	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
18	17	feqmptd 6961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)))
19	7	ffvelcdmda 7087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
20		elmapi 8843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
22	21	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
23	22	ffvelcdmda 7087	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
24	17	ffvelcdmda 7087	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
25	23, 24	nncand 11576	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (𝐺‘𝑧))
26	25	mpteq2dva 5249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)))
27	18, 26	eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))))
28	22	feqmptd 6961	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))
29	3	ffvelcdmda 7087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1)
30	29	adantrr 716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1)
31	28, 30	eqeltrrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ 𝐿1)
32	23, 24	subcld 11571	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
33		ulmscl 25891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
34	5, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
35	34	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝑆 ∈ V)
36	35, 23, 24, 28, 18	offval2 7690	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ((𝐹‘𝑘) ∘f − 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))))
37		iblmbf 25285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1 → (𝐹‘𝑘) ∈ MblFn)
38	30, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ MblFn)
39		iblmbf 25285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿1 → 𝑥 ∈ MblFn)
40	39	ssriv 3987	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿1 ⊆ MblFn
41		fss 6735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝐿1 ∧ 𝐿1 ⊆ MblFn) → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
42	3, 40, 41	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
43	1, 2, 42, 5	mbfulm 25918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
44	43	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ MblFn)
45	38, 44	mbfsub 25179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ((𝐹‘𝑘) ∘f − 𝐺) ∈ MblFn)
46	36, 45	eqeltrrd 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ MblFn)
47		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))
48	47, 32	dmmptd 6696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = 𝑆)
49	48	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) = (vol‘𝑆))
50		itgulm.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
51	50	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
52	49, 51	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ ℝ)
53		1re 11214	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
54	21	ffvelcdmda 7087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
55	16	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
56	55	ffvelcdmda 7087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
57	54, 56	subcld 11571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
58	57	abscld 15383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
59		ltle 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
60	58, 53, 59	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
61		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
62		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑥))
63	61, 62	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
64		ovex 7442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ V
65	63, 47, 64	fvmpt 6999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
66	65	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
67	66	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
68	67	breq1d 5159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
69	60, 68	sylibrd 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
70	69	ralimdva 3168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
71	70	impr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
72	48	raleqdv 3326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
73	71, 72	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
74		brralrspcev 5209	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
75	53, 73, 74	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
76		bddibl 25357	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ MblFn ∧ (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ ℝ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ 𝐿1)
77	46, 52, 75, 76	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ 𝐿1)
78	23, 31, 32, 77	iblsub 25339	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ 𝐿1)
79	27, 78	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
80	14, 79	rexlimddv 3162	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘_f cof 7668   ↑_m cmap 8820  ℂcc 11108  ℝcr 11109  1c1 11111   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ℝ⁺crp 12974  abscabs 15181  volcvol 24980  MblFncmbf 25131  𝐿¹cibl 25134  ⇝_𝑢culm 25888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-0p 25187  df-ulm 25889

This theorem is referenced by:  itgulm  25920  itgulm2  25921