Theorem iblulm 26734

Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
itgulm.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iblulm	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblulm

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		itgulm.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
4	3	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
5		itgulm.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
6		ulmf2 26711	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
9		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
10		1rp 13124	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
12	1, 2, 7, 8, 9, 5, 11	ulmi 26713	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
13	1	r19.2uz 15519	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
14	12, 13	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
15		ulmcl 26708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
16	5, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
18	17	feqmptd 6953	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)))
19	7	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
20		elmapi 8869	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
22	21	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
23	22	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
24	17	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
25	23, 24	nncand 11674	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (𝐺‘𝑧))
26	25	mpteq2dva 5198	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)))
27	18, 26	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))))
28	22	feqmptd 6953	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))
29	3	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1)
30	29	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1)
31	28, 30	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ 𝐿1)
32	23, 24	subcld 11669	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
33		ulmscl 26706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
34	5, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
35	34	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝑆 ∈ V)
36	35, 23, 24, 28, 18	offval2 7713	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ((𝐹‘𝑘) ∘f − 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))))
37		iblmbf 26088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1 → (𝐹‘𝑘) ∈ MblFn)
38	30, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ MblFn)
39		iblmbf 26088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿1 → 𝑥 ∈ MblFn)
40	39	ssriv 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿1 ⊆ MblFn
41		fss 6726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝐿1 ∧ 𝐿1 ⊆ MblFn) → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
42	3, 40, 41	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
43	1, 2, 42, 5	mbfulm 26733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
44	43	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ MblFn)
45	38, 44	mbfsub 25983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ((𝐹‘𝑘) ∘f − 𝐺) ∈ MblFn)
46	36, 45	eqeltrrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ MblFn)
47		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))
48	47, 32	dmmptd 6684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = 𝑆)
49	48	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) = (vol‘𝑆))
50		itgulm.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
51	50	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
52	49, 51	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ ℝ)
53		1re 11308	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
54	21	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
55	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
56	55	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
57	54, 56	subcld 11669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
58	57	abscld 15606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
59		ltle 11398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
60	58, 53, 59	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
61		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
62		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑥))
63	61, 62	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
64		ovex 7453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ V
65	63, 47, 64	fvmpt 6993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
66	65	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
67	66	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
68	67	breq1d 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
69	60, 68	sylibrd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
70	69	ralimdva 3175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
71	70	impr 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
72	71, 48	raleqtrrdv 3324	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
73		brralrspcev 5165	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
74	53, 72, 73	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
75		bddibl 26160	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ MblFn ∧ (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ ℝ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ 𝐿1)
76	46, 52, 74, 75	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ 𝐿1)
77	23, 31, 32, 76	iblsub 26142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ 𝐿1)
78	27, 77	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
79	14, 78	rexlimddv 3170	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ↑_m cmap 8847  ℂcc 11198  ℝcr 11199  1c1 11201   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  abscabs 15401  volcvol 25784  MblFncmbf 25935  𝐿¹cibl 25938  ⇝_𝑢culm 26703

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-ovol 25785  df-vol 25786  df-mbf 25940  df-itg1 25941  df-itg2 25942  df-ibl 25943  df-0p 25991  df-ulm 26704

This theorem is used by:  itgulm  26735  itgulm2  26736