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Theorem iblulm 26153
Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
itgulm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
itgulm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπΏ1)
itgulm.u (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
itgulm.s (πœ‘ β†’ (volβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblulm (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblulm
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘Ÿ π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 itgulm.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 itgulm.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπΏ1)
43ffnd 6719 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
5 itgulm.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
6 ulmf2 26130 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
74, 5, 6syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
8 eqidd 2731 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
9 eqidd 2731 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
10 1rp 12984 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
121, 2, 7, 8, 9, 5, 11ulmi 26132 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)
131r19.2uz 15304 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)
1412, 13syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)
15 ulmcl 26127 . . . . . . 7 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
165, 15syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
1716adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
1817feqmptd 6961 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
197ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
20 elmapi 8847 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2221adantrr 713 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2322ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
2417ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
2523, 24nncand 11582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) = (πΊβ€˜π‘§))
2625mpteq2dva 5249 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
2718, 26eqtr4d 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))))
2822feqmptd 6961 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
293ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐿1)
3029adantrr 713 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐿1)
3128, 30eqeltrrd 2832 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
3223, 24subcld 11577 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
33 ulmscl 26125 . . . . . . . . 9 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
345, 33syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
3534adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ 𝑆 ∈ V)
3635, 23, 24, 28, 18offval2 7694 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))))
37 iblmbf 25519 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐿1 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ MblFn)
3830, 37syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ MblFn)
39 iblmbf 25519 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐿1 β†’ π‘₯ ∈ MblFn)
4039ssriv 3987 . . . . . . . . . 10 𝐿1 βŠ† MblFn
41 fss 6735 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘βŸΆπΏ1 ∧ 𝐿1 βŠ† MblFn) β†’ 𝐹:π‘βŸΆMblFn)
423, 40, 41sylancl 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆMblFn)
431, 2, 42, 5mbfulm 26152 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
4443adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
4538, 44mbfsub 25413 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ MblFn)
4636, 45eqeltrrd 2832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn)
47 eqid 2730 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))
4847, 32dmmptd 6696 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) = 𝑆)
4948fveq2d 6896 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (volβ€˜dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))) = (volβ€˜π‘†))
50 itgulm.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (volβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
5150adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (volβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
5249, 51eqeltrd 2831 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (volβ€˜dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ ℝ)
53 1re 11220 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5421ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5516adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
5655ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5754, 56subcld 11577 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
5857abscld 15389 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
59 ltle 11308 . . . . . . . . . . 11 (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 1))
6058, 53, 59sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 1))
61 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
62 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘₯))
6361, 62oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
64 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ V
6563, 47, 64fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
6665adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
6766fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))))
6867breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1 ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 1))
6960, 68sylibrd 258 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1 β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1))
7069ralimdva 3165 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1))
7170impr 453 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1)
7248raleqdv 3323 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))(absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1))
7371, 72mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))(absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1)
74 brralrspcev 5209 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))(absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))(absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ÿ)
7553, 73, 74sylancr 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))(absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ÿ)
76 bddibl 25591 . . . . 5 (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))(absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ÿ) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) ∈ 𝐿1)
7746, 52, 75, 76syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) ∈ 𝐿1)
7823, 31, 32, 77iblsub 25573 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ 𝐿1)
7927, 78eqeltrd 2831 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
8014, 79rexlimddv 3159 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ∘f cof 7672   ↑m cmap 8824  β„‚cc 11112  β„cr 11113  1c1 11115   < clt 11254   ≀ cle 11255   βˆ’ cmin 11450  β„€cz 12564  β„€β‰₯cuz 12828  β„+crp 12980  abscabs 15187  volcvol 25214  MblFncmbf 25365  πΏ1cibl 25368  β‡π‘’culm 26122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-mulg 18989  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-cmp 23113  df-tx 23288  df-hmeo 23481  df-xms 24048  df-ms 24049  df-tms 24050  df-cncf 24620  df-ovol 25215  df-vol 25216  df-mbf 25370  df-itg1 25371  df-itg2 25372  df-ibl 25373  df-0p 25421  df-ulm 26123
This theorem is referenced by:  itgulm  26154  itgulm2  26155
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