MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblulm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblulm 24466
Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
itgulm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f (𝜑𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
itgulm.s (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblulm (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblulm
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 itgulm.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 itgulm.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶𝐿1)
43ffnd 6226 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
5 itgulm.u . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
6 ulmf2 24443 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
74, 5, 6syl2anc 579 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
8 eqidd 2766 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑥𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) = ((𝐹𝑘)‘𝑥))
9 eqidd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
10 1rp 12037 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
121, 2, 7, 8, 9, 5, 11ulmi 24445 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)
131r19.2uz 14390 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → ∃𝑘𝑍𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)
1412, 13syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)
15 ulmcl 24440 . . . . . . 7 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
165, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
1716adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
1817feqmptd 6442 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧𝑆 ↦ (𝐺𝑧)))
197ffvelrnda 6553 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
20 elmapi 8086 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2221adantrr 708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2322ffvelrnda 6553 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
2417ffvelrnda 6553 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
2523, 24nncand 10655 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (𝐺𝑧))
2625mpteq2dva 4905 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) = (𝑧𝑆 ↦ (𝐺𝑧)))
2718, 26eqtr4d 2802 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))))
2822feqmptd 6442 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘) = (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)))
293ffvelrnda 6553 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐿1)
3029adantrr 708 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐿1)
3128, 30eqeltrrd 2845 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ 𝐿1)
3223, 24subcld 10650 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
33 ulmscl 24438 . . . . . . . . 9 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
345, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
3534adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝑆 ∈ V)
3635, 23, 24, 28, 18offval2 7116 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ((𝐹𝑘) ∘𝑓𝐺) = (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))))
37 iblmbf 23839 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘) ∈ 𝐿1 → (𝐹𝑘) ∈ MblFn)
3830, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘) ∈ MblFn)
39 iblmbf 23839 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝐿1𝑥 ∈ MblFn)
4039ssriv 3767 . . . . . . . . . 10 𝐿1 ⊆ MblFn
41 fss 6238 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑍⟶𝐿1 ∧ 𝐿1 ⊆ MblFn) → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
423, 40, 41sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶MblFn)
431, 2, 42, 5mbfulm 24465 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
4443adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ MblFn)
4538, 44mbfsub 23734 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ((𝐹𝑘) ∘𝑓𝐺) ∈ MblFn)
4636, 45eqeltrrd 2845 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ MblFn)
47 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))
4847, 32dmmptd 6204 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = 𝑆)
4948fveq2d 6383 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) = (vol‘𝑆))
50 itgulm.s . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
5150adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
5249, 51eqeltrd 2844 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) ∈ ℝ)
53 1re 10297 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5421ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
5516adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
5655ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
5754, 56subcld 10650 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
5857abscld 14474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
59 ltle 10384 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ≤ 1))
6058, 53, 59sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ≤ 1))
61 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑥))
62 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑥))
6361, 62oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
64 ovex 6878 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ V
6563, 47, 64fvmpt 6475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑆 → ((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
6766fveq2d 6383 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))))
6867breq1d 4821 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ≤ 1))
6960, 68sylibrd 250 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7069ralimdva 3109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → ∀𝑥𝑆 (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7170impr 446 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ∀𝑥𝑆 (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
7248raleqdv 3292 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ ∀𝑥𝑆 (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7371, 72mpbird 248 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
74 brralrspcev 4871 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
7553, 73, 74sylancr 581 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
76 bddibl 23911 . . . . 5 (((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ MblFn ∧ (vol‘dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) ∈ ℝ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ 𝐿1)
7746, 52, 75, 76syl3anc 1490 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ 𝐿1)
7823, 31, 32, 77iblsub 23893 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) ∈ 𝐿1)
7927, 78eqeltrd 2844 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
8014, 79rexlimddv 3182 1 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  wss 3734   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  𝑓 cof 7097  𝑚 cmap 8064  cc 10191  cr 10192  1c1 10194   < clt 10332  cle 10333  cmin 10524  cz 11628  cuz 11891  +crp 12033  abscabs 14273  volcvol 23535  MblFncmbf 23686  𝐿1cibl 23689  𝑢culm 24435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cc 9514  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-disj 4780  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-ofr 7100  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-omul 7773  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-acn 9023  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ioc 12387  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-mod 12882  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-limsup 14501  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-topgen 16384  df-pt 16385  df-prds 16388  df-xrs 16442  df-qtop 16447  df-imas 16448  df-xps 16450  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-submnd 17616  df-mulg 17822  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-cnfld 20034  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-cmp 21484  df-tx 21659  df-hmeo 21852  df-xms 22418  df-ms 22419  df-tms 22420  df-cncf 22974  df-ovol 23536  df-vol 23537  df-mbf 23691  df-itg1 23692  df-itg2 23693  df-ibl 23694  df-0p 23742  df-ulm 24436
This theorem is referenced by:  itgulm  24467  itgulm2  24468
  Copyright terms: Public domain W3C validator