Theorem iblulm 25471

Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
itgulm.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iblulm	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblulm

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		itgulm.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
4	3	ffnd 6585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
5		itgulm.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
6		ulmf2 25448	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
7	4, 5, 6	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
9		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
10		1rp 12663	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
12	1, 2, 7, 8, 9, 5, 11	ulmi 25450	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
13	1	r19.2uz 14991	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
15		ulmcl 25445	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
16	5, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
18	17	feqmptd 6819	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)))
19	7	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
20		elmapi 8595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
22	21	adantrr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
23	22	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
24	17	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
25	23, 24	nncand 11267	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (𝐺‘𝑧))
26	25	mpteq2dva 5170	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)))
27	18, 26	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))))
28	22	feqmptd 6819	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))
29	3	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1)
30	29	adantrr 713	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1)
31	28, 30	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ 𝐿1)
32	23, 24	subcld 11262	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
33		ulmscl 25443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
34	5, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝑆 ∈ V)
36	35, 23, 24, 28, 18	offval2 7531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ((𝐹‘𝑘) ∘f − 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))))
37		iblmbf 24837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1 → (𝐹‘𝑘) ∈ MblFn)
38	30, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ MblFn)
39		iblmbf 24837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿1 → 𝑥 ∈ MblFn)
40	39	ssriv 3921	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿1 ⊆ MblFn
41		fss 6601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝐿1 ∧ 𝐿1 ⊆ MblFn) → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
42	3, 40, 41	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
43	1, 2, 42, 5	mbfulm 25470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ MblFn)
45	38, 44	mbfsub 24731	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ((𝐹‘𝑘) ∘f − 𝐺) ∈ MblFn)
46	36, 45	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ MblFn)
47		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))
48	47, 32	dmmptd 6562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = 𝑆)
49	48	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) = (vol‘𝑆))
50		itgulm.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
52	49, 51	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ ℝ)
53		1re 10906	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
54	21	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
55	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
56	55	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
57	54, 56	subcld 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
58	57	abscld 15076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
59		ltle 10994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
60	58, 53, 59	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
61		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
62		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑥))
63	61, 62	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
64		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ V
65	63, 47, 64	fvmpt 6857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
67	66	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
68	67	breq1d 5080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
69	60, 68	sylibrd 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
70	69	ralimdva 3102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
71	70	impr 454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
72	48	raleqdv 3339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
73	71, 72	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
74		brralrspcev 5130	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
75	53, 73, 74	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
76		bddibl 24909	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ MblFn ∧ (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ ℝ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ 𝐿1)
77	46, 52, 75, 76	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ 𝐿1)
78	23, 31, 32, 77	iblsub 24891	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ 𝐿1)
79	27, 78	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
80	14, 79	rexlimddv 3219	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509   ↑_m cmap 8573  ℂcc 10800  ℝcr 10801  1c1 10803   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  abscabs 14873  volcvol 24532  MblFncmbf 24683  𝐿¹cibl 24686  ⇝_𝑢culm 25440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690  df-ibl 24691  df-0p 24739  df-ulm 25441

This theorem is referenced by:  itgulm  25472  itgulm2  25473