Theorem iblulm 26373

Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
itgulm.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iblulm	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblulm

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		itgulm.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
4	3	ffnd 6712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
5		itgulm.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
6		ulmf2 26350	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
9		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
10		1rp 13017	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
12	1, 2, 7, 8, 9, 5, 11	ulmi 26352	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
13	1	r19.2uz 15375	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)
15		ulmcl 26347	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
16	5, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
18	17	feqmptd 6952	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)))
19	7	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
20		elmapi 8868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
22	21	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ)
23	22	ffvelcdmda 7079	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
24	17	ffvelcdmda 7079	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
25	23, 24	nncand 11604	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (𝐺‘𝑧))
26	25	mpteq2dva 5219	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑧)))
27	18, 26	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))))
28	22	feqmptd 6952	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))
29	3	ffvelcdmda 7079	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1)
30	29	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1)
31	28, 30	eqeltrrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ 𝐿1)
32	23, 24	subcld 11599	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
33		ulmscl 26345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
34	5, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝑆 ∈ V)
36	35, 23, 24, 28, 18	offval2 7696	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ((𝐹‘𝑘) ∘f − 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))))
37		iblmbf 25725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐿1 → (𝐹‘𝑘) ∈ MblFn)
38	30, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ MblFn)
39		iblmbf 25725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿1 → 𝑥 ∈ MblFn)
40	39	ssriv 3967	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿1 ⊆ MblFn
41		fss 6727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝐿1 ∧ 𝐿1 ⊆ MblFn) → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
42	3, 40, 41	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
43	1, 2, 42, 5	mbfulm 26372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ MblFn)
45	38, 44	mbfsub 25620	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ((𝐹‘𝑘) ∘f − 𝐺) ∈ MblFn)
46	36, 45	eqeltrrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ MblFn)
47		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))
48	47, 32	dmmptd 6688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = 𝑆)
49	48	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) = (vol‘𝑆))
50		itgulm.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
52	49, 51	eqeltrd 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ ℝ)
53		1re 11240	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
54	21	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
55	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
56	55	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
57	54, 56	subcld 11599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
58	57	abscld 15460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
59		ltle 11328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
60	58, 53, 59	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
61		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
62		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑥))
63	61, 62	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
64		ovex 7443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ V
65	63, 47, 64	fvmpt 6991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
67	66	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
68	67	breq1d 5134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ 1))
69	60, 68	sylibrd 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
70	69	ralimdva 3153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
71	70	impr 454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
72	71, 48	raleqtrrdv 3313	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
73		brralrspcev 5184	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
74	53, 72, 73	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
75		bddibl 25798	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ MblFn ∧ (vol‘dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ ℝ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))(abs‘((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ 𝐿1)
76	46, 52, 74, 75	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) ∈ 𝐿1)
77	23, 31, 32, 76	iblsub 25780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) ∈ 𝐿1)
78	27, 77	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
79	14, 78	rexlimddv 3148	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  dom cdm 5659   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7674   ↑_m cmap 8845  ℂcc 11132  ℝcr 11133  1c1 11135   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13013  abscabs 15258  volcvol 25421  MblFncmbf 25572  𝐿¹cibl 25575  ⇝_𝑢culm 26342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cc 10454  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-disj 5092  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-acn 9961  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-cmp 23330  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-ovol 25422  df-vol 25423  df-mbf 25577  df-itg1 25578  df-itg2 25579  df-ibl 25580  df-0p 25628  df-ulm 26343

This theorem is referenced by:  itgulm  26374  itgulm2  26375