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Theorem iblulm 25782
Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
itgulm.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
itgulm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπΏ1)
itgulm.u (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
itgulm.s (πœ‘ β†’ (volβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblulm (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblulm
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘Ÿ π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 itgulm.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 itgulm.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπΏ1)
43ffnd 6674 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
5 itgulm.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
6 ulmf2 25759 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
74, 5, 6syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
8 eqidd 2738 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
9 eqidd 2738 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
10 1rp 12926 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
121, 2, 7, 8, 9, 5, 11ulmi 25761 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)
131r19.2uz 15243 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)
1412, 13syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)
15 ulmcl 25756 . . . . . . 7 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
165, 15syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
1716adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
1817feqmptd 6915 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
197ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
20 elmapi 8794 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2221adantrr 716 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2322ffvelcdmda 7040 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
2417ffvelcdmda 7040 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
2523, 24nncand 11524 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) = (πΊβ€˜π‘§))
2625mpteq2dva 5210 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
2718, 26eqtr4d 2780 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))))
2822feqmptd 6915 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
293ffvelcdmda 7040 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐿1)
3029adantrr 716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐿1)
3128, 30eqeltrrd 2839 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
3223, 24subcld 11519 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
33 ulmscl 25754 . . . . . . . . 9 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
345, 33syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
3534adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ 𝑆 ∈ V)
3635, 23, 24, 28, 18offval2 7642 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))))
37 iblmbf 25148 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐿1 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ MblFn)
3830, 37syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ MblFn)
39 iblmbf 25148 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐿1 β†’ π‘₯ ∈ MblFn)
4039ssriv 3953 . . . . . . . . . 10 𝐿1 βŠ† MblFn
41 fss 6690 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘βŸΆπΏ1 ∧ 𝐿1 βŠ† MblFn) β†’ 𝐹:π‘βŸΆMblFn)
423, 40, 41sylancl 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆMblFn)
431, 2, 42, 5mbfulm 25781 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
4443adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
4538, 44mbfsub 25042 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ MblFn)
4636, 45eqeltrrd 2839 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn)
47 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))
4847, 32dmmptd 6651 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) = 𝑆)
4948fveq2d 6851 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (volβ€˜dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))) = (volβ€˜π‘†))
50 itgulm.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (volβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
5150adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (volβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
5249, 51eqeltrd 2838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (volβ€˜dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ ℝ)
53 1re 11162 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5421ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5516adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
5655ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5754, 56subcld 11519 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
5857abscld 15328 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
59 ltle 11250 . . . . . . . . . . 11 (((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 1))
6058, 53, 59sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 1))
61 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
62 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘₯))
6361, 62oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
64 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ V
6563, 47, 64fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
6665adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
6766fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))))
6867breq1d 5120 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1 ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 1))
6960, 68sylibrd 259 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1 β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1))
7069ralimdva 3165 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1))
7170impr 456 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1)
7248raleqdv 3316 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))(absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1))
7371, 72mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))(absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1)
74 brralrspcev 5170 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))(absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))(absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ÿ)
7553, 73, 74sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))(absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ÿ)
76 bddibl 25220 . . . . 5 (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))(absβ€˜((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ÿ) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) ∈ 𝐿1)
7746, 52, 75, 76syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) ∈ 𝐿1)
7823, 31, 32, 77iblsub 25202 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ 𝐿1)
7927, 78eqeltrd 2838 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < 1)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
8014, 79rexlimddv 3159 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  β„cr 11057  1c1 11059   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  abscabs 15126  volcvol 24843  MblFncmbf 24994  πΏ1cibl 24997  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-0p 25050  df-ulm 25752
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