MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamcvglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamcvglem 26533
Description: Lemma for lgamf 26535 and lgamcvg 26547. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamucov.u ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
lgamucov.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
lgamcvglem.g ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1))))
Assertion
Ref Expression
lgamcvglem (๐œ‘ โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( + , ๐บ) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘š,๐‘Ÿ,๐‘ฅ,๐ด   ๐บ,๐‘Ÿ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘š,๐‘Ÿ,๐‘ฅ   ๐‘ˆ,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘Ÿ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘š)

Proof of Theorem lgamcvglem
Dummy variables ๐‘› ๐‘ก ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamucov.u . . 3 ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
2 lgamucov.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
31, 2lgamucov2 26532 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„• ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
4 fveq2 6888 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) = (log ฮ“โ€˜๐ด))
54eleq1d 2818 . . . 4 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚ โ†” (log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚))
6 simprl 769 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•)
7 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜๐‘ก))
87breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โ†” (absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘Ÿ))
9 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))
109breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜))))
1110ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜))))
128, 11anbi12d 631 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜))) โ†” ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))))
1312cbvrabv 3442 . . . . . . 7 {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))} = {๐‘ก โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))}
141, 13eqtri 2760 . . . . . 6 ๐‘ˆ = {๐‘ก โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))}
15 eqid 2732 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))
166, 14, 15lgamgulm2 26529 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))))
1716simpld 495 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
18 simprr 771 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
195, 17, 18rspcdva 3613 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
20 nnuz 12861 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
21 1zzd 12589 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
22 1z 12588 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„ค
23 seqfn 13974 . . . . . . . 8 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2520fneq2i 6644 . . . . . . 7 (seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn โ„• โ†” seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2624, 25mpbir 230 . . . . . 6 seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn โ„•
2716simprd 496 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))))
28 ulmf2 25887 . . . . . 6 ((seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn โ„• โˆง seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))) โ†’ seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))):โ„•โŸถ(โ„‚ โ†‘m ๐‘ˆ))
2926, 27, 28sylancr 587 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))):โ„•โŸถ(โ„‚ โ†‘m ๐‘ˆ))
30 seqex 13964 . . . . . 6 seq1( + , ๐บ) โˆˆ V
3130a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( + , ๐บ) โˆˆ V)
32 cnex 11187 . . . . . . . . 9 โ„‚ โˆˆ V
331, 32rabex2 5333 . . . . . . . 8 ๐‘ˆ โˆˆ V
3433a1i 11 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ V)
35 simpr 485 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
3635, 20eleqtrdi 2843 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
37 fz1ssnn 13528 . . . . . . . 8 (1...๐‘›) โŠ† โ„•
3837a1i 11 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (1...๐‘›) โŠ† โ„•)
39 ovexd 7440 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))) โˆˆ V)
4034, 36, 38, 39seqof2 14022 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))โ€˜๐‘›) = (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ (seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))โ€˜๐‘›)))
41 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง = ๐ด)
4241oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) = (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))))
4341oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง / ๐‘š) = (๐ด / ๐‘š))
4443fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)) = (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1)))
4542, 44oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1))))
4645mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1)))))
47 lgamcvglem.g . . . . . . . . 9 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1))))
4846, 47eqtr4di 2790 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))) = ๐บ)
4948seqeq3d 13970 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))) = seq1( + , ๐บ))
5049fveq1d 6890 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โ†’ (seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))โ€˜๐‘›) = (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘›))
51 simplrr 776 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
52 fvexd 6903 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘›) โˆˆ V)
5340, 50, 51, 52fvmptd 7002 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))โ€˜๐‘›)โ€˜๐ด) = (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘›))
5420, 21, 29, 18, 31, 53, 27ulmclm 25890 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( + , ๐บ) โ‡ ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))โ€˜๐ด))
55 fveq2 6888 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (logโ€˜๐‘ง) = (logโ€˜๐ด))
564, 55oveq12d 7423 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)) = ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)))
57 eqid 2732 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) = (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))
58 ovex 7438 . . . . . 6 ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)) โˆˆ V
5956, 57, 58fvmpt 6995 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))โ€˜๐ด) = ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)))
6018, 59syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))โ€˜๐ด) = ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)))
6154, 60breqtrd 5173 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( + , ๐บ) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)))
6219, 61jca 512 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( + , ๐บ) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด))))
633, 62rexlimddv 3161 1 (๐œ‘ โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( + , ๐บ) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3944   โŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230   Fn wfn 6535  โŸถwf 6536  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7664   โ†‘m cmap 8816  โ„‚cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„คโ‰ฅcuz 12818  ...cfz 13480  seqcseq 13962  abscabs 15177   โ‡ cli 15424  โ‡๐‘ขculm 25879  logclog 26054  log ฮ“clgam 26509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-ulm 25880  df-log 26056  df-cxp 26057  df-lgam 26512
This theorem is referenced by:  lgamcl  26534  lgamcvg  26547
  Copyright terms: Public domain W3C validator