MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamcvglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamcvglem 26927
Description: Lemma for lgamf 26929 and lgamcvg 26941. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamucov.u ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
lgamucov.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
lgamcvglem.g ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1))))
Assertion
Ref Expression
lgamcvglem (๐œ‘ โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( + , ๐บ) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘š,๐‘Ÿ,๐‘ฅ,๐ด   ๐บ,๐‘Ÿ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘š,๐‘Ÿ,๐‘ฅ   ๐‘ˆ,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘Ÿ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘š)

Proof of Theorem lgamcvglem
Dummy variables ๐‘› ๐‘ก ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamucov.u . . 3 ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
2 lgamucov.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
31, 2lgamucov2 26926 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„• ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
4 fveq2 6885 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) = (log ฮ“โ€˜๐ด))
54eleq1d 2812 . . . 4 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚ โ†” (log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚))
6 simprl 768 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•)
7 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜๐‘ก))
87breq1d 5151 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โ†” (absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘Ÿ))
9 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))
109breq2d 5153 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜))))
1110ralbidv 3171 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜))))
128, 11anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜))) โ†” ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))))
1312cbvrabv 3436 . . . . . . 7 {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))} = {๐‘ก โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))}
141, 13eqtri 2754 . . . . . 6 ๐‘ˆ = {๐‘ก โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))}
15 eqid 2726 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))
166, 14, 15lgamgulm2 26923 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))))
1716simpld 494 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
18 simprr 770 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
195, 17, 18rspcdva 3607 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
20 nnuz 12869 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
21 1zzd 12597 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
22 1z 12596 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„ค
23 seqfn 13984 . . . . . . . 8 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2520fneq2i 6641 . . . . . . 7 (seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn โ„• โ†” seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2624, 25mpbir 230 . . . . . 6 seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn โ„•
2716simprd 495 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))))
28 ulmf2 26275 . . . . . 6 ((seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn โ„• โˆง seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))) โ†’ seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))):โ„•โŸถ(โ„‚ โ†‘m ๐‘ˆ))
2926, 27, 28sylancr 586 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))):โ„•โŸถ(โ„‚ โ†‘m ๐‘ˆ))
30 seqex 13974 . . . . . 6 seq1( + , ๐บ) โˆˆ V
3130a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( + , ๐บ) โˆˆ V)
32 cnex 11193 . . . . . . . . 9 โ„‚ โˆˆ V
331, 32rabex2 5327 . . . . . . . 8 ๐‘ˆ โˆˆ V
3433a1i 11 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ V)
35 simpr 484 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
3635, 20eleqtrdi 2837 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
37 fz1ssnn 13538 . . . . . . . 8 (1...๐‘›) โІ โ„•
3837a1i 11 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (1...๐‘›) โІ โ„•)
39 ovexd 7440 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))) โˆˆ V)
4034, 36, 38, 39seqof2 14031 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))โ€˜๐‘›) = (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ (seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))โ€˜๐‘›)))
41 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง = ๐ด)
4241oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) = (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))))
4341oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง / ๐‘š) = (๐ด / ๐‘š))
4443fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)) = (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1)))
4542, 44oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1))))
4645mpteq2dva 5241 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1)))))
47 lgamcvglem.g . . . . . . . . 9 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1))))
4846, 47eqtr4di 2784 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))) = ๐บ)
4948seqeq3d 13980 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))) = seq1( + , ๐บ))
5049fveq1d 6887 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โ†’ (seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))โ€˜๐‘›) = (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘›))
51 simplrr 775 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
52 fvexd 6900 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘›) โˆˆ V)
5340, 50, 51, 52fvmptd 6999 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))โ€˜๐‘›)โ€˜๐ด) = (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘›))
5420, 21, 29, 18, 31, 53, 27ulmclm 26278 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( + , ๐บ) โ‡ ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))โ€˜๐ด))
55 fveq2 6885 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (logโ€˜๐‘ง) = (logโ€˜๐ด))
564, 55oveq12d 7423 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)) = ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)))
57 eqid 2726 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) = (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))
58 ovex 7438 . . . . . 6 ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)) โˆˆ V
5956, 57, 58fvmpt 6992 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))โ€˜๐ด) = ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)))
6018, 59syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))โ€˜๐ด) = ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)))
6154, 60breqtrd 5167 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( + , ๐บ) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)))
6219, 61jca 511 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( + , ๐บ) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด))))
633, 62rexlimddv 3155 1 (๐œ‘ โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( + , ๐บ) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   โˆ– cdif 3940   โІ wss 3943   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224   Fn wfn 6532  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7665   โ†‘m cmap 8822  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972  abscabs 15187   โ‡ cli 15434  โ‡๐‘ขculm 26267  logclog 26443  log ฮ“clgam 26903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-tan 16021  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-ulm 26268  df-log 26445  df-cxp 26446  df-lgam 26906
This theorem is referenced by:  lgamcl  26928  lgamcvg  26941
  Copyright terms: Public domain W3C validator