MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamcvglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamcvglem 25550
Description: Lemma for lgamf 25552 and lgamcvg 25564. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamucov.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamucov.a (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
lgamcvglem.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
Assertion
Ref Expression
lgamcvglem (𝜑 → ((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑟,𝑥,𝐴   𝐺,𝑟   𝜑,𝑘,𝑚,𝑟,𝑥   𝑈,𝑚
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑘,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamcvglem
Dummy variables 𝑛 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamucov.u . . 3 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
2 lgamucov.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
31, 2lgamucov2 25549 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴𝑈)
4 fveq2 6669 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (log Γ‘𝑧) = (log Γ‘𝐴))
54eleq1d 2902 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((log Γ‘𝑧) ∈ ℂ ↔ (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ))
6 simprl 767 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) → 𝑟 ∈ ℕ)
7 fveq2 6669 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑡 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝑡))
87breq1d 5073 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑡) ≤ 𝑟))
9 fvoveq1 7173 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑡 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝑡 + 𝑘)))
109breq2d 5075 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑡 → ((1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘))))
1110ralbidv 3202 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘))))
128, 11anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑡 → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) ↔ ((abs‘𝑡) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘)))))
1312cbvrabv 3497 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))} = {𝑡 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑡) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘)))}
141, 13eqtri 2849 . . . . . 6 𝑈 = {𝑡 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑡) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘)))}
15 eqid 2826 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
166, 14, 15lgamgulm2 25546 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) → (∀𝑧𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))))
1716simpld 495 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) → ∀𝑧𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ)
18 simprr 769 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) → 𝐴𝑈)
195, 17, 18rspcdva 3629 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
20 nnuz 12275 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
21 1zzd 12007 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) → 1 ∈ ℤ)
22 1z 12006 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
23 seqfn 13376 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn (ℤ‘1))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn (ℤ‘1)
2520fneq2i 6450 . . . . . . 7 (seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn ℕ ↔ seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn (ℤ‘1))
2624, 25mpbir 232 . . . . . 6 seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn ℕ
2716simprd 496 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) → seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))))
28 ulmf2 24906 . . . . . 6 ((seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn ℕ ∧ seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))) → seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))):ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
2926, 27, 28sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) → seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))):ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
30 seqex 13366 . . . . . 6 seq1( + , 𝐺) ∈ V
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) → seq1( + , 𝐺) ∈ V)
32 cnex 10612 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
331, 32rabex2 5234 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ V)
35 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
3635, 20syl6eleq 2928 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
37 fz1ssnn 12933 . . . . . . . 8 (1...𝑛) ⊆ ℕ
3837a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
39 ovexd 7185 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑈)) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ V)
4034, 36, 38, 39seqof2 13423 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛) = (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)))
41 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑧 = 𝐴)
4241oveq1d 7165 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))))
4341oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑚))
4443fvoveq1d 7172 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)))
4542, 44oveq12d 7168 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
4645mpteq2dva 5158 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)))))
47 lgamcvglem.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
4846, 47syl6eqr 2879 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) = 𝐺)
4948seqeq3d 13372 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) = seq1( + , 𝐺))
5049fveq1d 6671 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) → (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑛))
51 simplrr 774 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴𝑈)
52 fvexd 6684 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑛) ∈ V)
5340, 50, 51, 52fvmptd 6773 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛)‘𝐴) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑛))
5420, 21, 29, 18, 31, 53, 27ulmclm 24909 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) → seq1( + , 𝐺) ⇝ ((𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))‘𝐴))
55 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (log‘𝑧) = (log‘𝐴))
564, 55oveq12d 7168 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)) = ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
57 eqid 2826 . . . . . 6 (𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))) = (𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))
58 ovex 7183 . . . . . 6 ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ V
5956, 57, 58fvmpt 6767 . . . . 5 (𝐴𝑈 → ((𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))‘𝐴) = ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
6018, 59syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) → ((𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))‘𝐴) = ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
6154, 60breqtrd 5089 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) → seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
6219, 61jca 512 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑈)) → ((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))
633, 62rexlimddv 3296 1 (𝜑 → ((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  {crab 3147  Vcvv 3500  cdif 3937  wss 3940   class class class wbr 5063  cmpt 5143   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  f cof 7401  m cmap 8401  cc 10529  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  0cn0 11891  cz 11975  cuz 12237  ...cfz 12887  seqcseq 13364  abscabs 14588  cli 14836  𝑢culm 24898  logclog 25070  log Γclgam 25526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-bc 13658  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-tan 15420  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-haus 21858  df-cmp 21930  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399  df-ulm 24899  df-log 25072  df-cxp 25073  df-lgam 25529
This theorem is referenced by:  lgamcl  25551  lgamcvg  25564
  Copyright terms: Public domain W3C validator