Theorem lgamcvglem 27376

Description: Lemma for lgamf 27378 and lgamcvg 27390. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamucov.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamucov.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
lgamcvglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))

Assertion

Ref	Expression
lgamcvglem	⊢ (𝜑 → ((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑟,𝑥,𝐴   𝐺,𝑟   𝜑,𝑘,𝑚,𝑟,𝑥   𝑈,𝑚

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥, 𝑘, 𝑟)   𝐺(𝑥, 𝑘, 𝑚)

Proof of Theorem lgamcvglem

Dummy variables 𝑛 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgamucov.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
2		lgamucov.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
3	1, 2	lgamucov2 27375	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑈)
4		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (log Γ‘𝑧) = (log Γ‘𝐴))
5	4	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((log Γ‘𝑧) ∈ ℂ ↔ (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ))
6		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ ℕ)
7		fveq2 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝑡))
8	7	breq1d 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑡) ≤ 𝑟))
9		fvoveq1 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝑡 + 𝑘)))
10	9	breq2d 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → ((1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘))))
11	10	ralbidv 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘))))
12	8, 11	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) ↔ ((abs‘𝑡) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘)))))
13	12	cbvrabv 3422	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))} = {𝑡 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑡) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘)))}
14	1, 13	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = {𝑡 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑡) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘)))}
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
16	6, 14, 15	lgamgulm2 27372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → (∀𝑧 ∈ 𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))))
17	16	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → ∀𝑧 ∈ 𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ)
18		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ 𝑈)
19	5, 17, 18	rspcdva 3577	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
20		nnuz 13011	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21		1zzd 12734	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → 1 ∈ ℤ)
22		1z 12733	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		seqfn 14163	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn (ℤ≥‘1))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn (ℤ≥‘1)
25	20	fneq2i 6642	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn ℕ ↔ seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn (ℤ≥‘1))
26	24, 25	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn ℕ
27	16	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))))
28		ulmf2 26720	. . . . . 6 ⊢ ((seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn ℕ ∧ seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))) → seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))):ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
29	26, 27, 28	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))):ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
30		seqex 14153	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , 𝐺) ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → seq1( + , 𝐺) ∈ V)
32		cnex 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
33	1, 32	rabex2 5302	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ V)
35		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
36	35, 20	eleqtrdi 2870	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
37		fz1ssnn 13696	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑛) ⊆ ℕ
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
39		ovexd 7459	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ V)
40	34, 36, 38, 39	seqof2 14210	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)))
41		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑧 = 𝐴)
42	41	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))))
43	41	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑚))
44	43	fvoveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)))
45	42, 44	oveq12d 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
46	45	mpteq2dva 5197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)))))
47		lgamcvglem.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
48	46, 47	eqtr4di 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) = 𝐺)
49	48	seqeq3d 14159	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) = seq1( + , 𝐺))
50	49	fveq1d 6892	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) → (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑛))
51		simplrr 790	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑈)
52		fvexd 6905	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑛) ∈ V)
53	40, 50, 51, 52	fvmptd 7006	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛)‘𝐴) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑛))
54	20, 21, 29, 18, 31, 53, 27	ulmclm 26723	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → seq1( + , 𝐺) ⇝ ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))‘𝐴))
55		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (log‘𝑧) = (log‘𝐴))
56	4, 55	oveq12d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)) = ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
57		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))
58		ovex 7457	. . . . . 6 ⊢ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ V
59	56, 57, 58	fvmpt 6998	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))‘𝐴) = ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
60	18, 59	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))‘𝐴) = ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
61	54, 60	breqtrd 5130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
62	19, 61	jca 521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → ((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))
63	3, 62	rexlimddv 3169	1 ⊢ (𝜑 → ((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8855  ℂcc 11205  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   ≤ cle 11351   − cmin 11548   / cdiv 11980  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ℤ_≥cuz 12972  ...cfz 13646  seqcseq 14151  abscabs 15410   ⇝ cli 15660  ⇝_𝑢culm 26712  logclog 26891  log Γclgam 27352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-oadd 8488  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-tan 16246  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-cmp 23714  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-ulm 26713  df-log 26893  df-cxp 26894  df-lgam 27355

This theorem is used by:  lgamcl  27377  lgamcvg  27390