MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamcvglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamcvglem 26988
Description: Lemma for lgamf 26990 and lgamcvg 27002. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamucov.u ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
lgamucov.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
lgamcvglem.g ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1))))
Assertion
Ref Expression
lgamcvglem (๐œ‘ โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( + , ๐บ) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘š,๐‘Ÿ,๐‘ฅ,๐ด   ๐บ,๐‘Ÿ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘š,๐‘Ÿ,๐‘ฅ   ๐‘ˆ,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘Ÿ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘š)

Proof of Theorem lgamcvglem
Dummy variables ๐‘› ๐‘ก ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamucov.u . . 3 ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
2 lgamucov.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
31, 2lgamucov2 26987 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„• ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
4 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) = (log ฮ“โ€˜๐ด))
54eleq1d 2810 . . . 4 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚ โ†” (log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚))
6 simprl 769 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•)
7 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜๐‘ก))
87breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โ†” (absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘Ÿ))
9 fvoveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))
109breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜))))
1110ralbidv 3168 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜))))
128, 11anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜))) โ†” ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))))
1312cbvrabv 3430 . . . . . . 7 {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))} = {๐‘ก โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))}
141, 13eqtri 2753 . . . . . 6 ๐‘ˆ = {๐‘ก โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ก) โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘Ÿ) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ก + ๐‘˜)))}
15 eqid 2725 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))
166, 14, 15lgamgulm2 26984 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))))
1716simpld 493 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ (log ฮ“โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
18 simprr 771 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
195, 17, 18rspcdva 3603 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
20 nnuz 12893 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
21 1zzd 12621 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
22 1z 12620 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„ค
23 seqfn 14008 . . . . . . . 8 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2520fneq2i 6646 . . . . . . 7 (seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn โ„• โ†” seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2624, 25mpbir 230 . . . . . 6 seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn โ„•
2716simprd 494 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))))
28 ulmf2 26336 . . . . . 6 ((seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))) Fn โ„• โˆง seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))(โ‡๐‘ขโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))) โ†’ seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))):โ„•โŸถ(โ„‚ โ†‘m ๐‘ˆ))
2926, 27, 28sylancr 585 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))):โ„•โŸถ(โ„‚ โ†‘m ๐‘ˆ))
30 seqex 13998 . . . . . 6 seq1( + , ๐บ) โˆˆ V
3130a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( + , ๐บ) โˆˆ V)
32 cnex 11217 . . . . . . . . 9 โ„‚ โˆˆ V
331, 32rabex2 5331 . . . . . . . 8 ๐‘ˆ โˆˆ V
3433a1i 11 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ V)
35 simpr 483 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
3635, 20eleqtrdi 2835 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
37 fz1ssnn 13562 . . . . . . . 8 (1...๐‘›) โІ โ„•
3837a1i 11 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (1...๐‘›) โІ โ„•)
39 ovexd 7450 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))) โˆˆ V)
4034, 36, 38, 39seqof2 14055 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))โ€˜๐‘›) = (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ (seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))โ€˜๐‘›)))
41 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง = ๐ด)
4241oveq1d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) = (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))))
4341oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง / ๐‘š) = (๐ด / ๐‘š))
4443fvoveq1d 7437 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)) = (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1)))
4542, 44oveq12d 7433 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1))))
4645mpteq2dva 5243 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1)))))
47 lgamcvglem.g . . . . . . . . 9 ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘š) + 1))))
4846, 47eqtr4di 2783 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))) = ๐บ)
4948seqeq3d 14004 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))) = seq1( + , ๐บ))
5049fveq1d 6893 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ง = ๐ด) โ†’ (seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))โ€˜๐‘›) = (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘›))
51 simplrr 776 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
52 fvexd 6906 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘›) โˆˆ V)
5340, 50, 51, 52fvmptd 7006 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((seq1( โˆ˜f + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1))))))โ€˜๐‘›)โ€˜๐ด) = (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘›))
5420, 21, 29, 18, 31, 53, 27ulmclm 26339 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( + , ๐บ) โ‡ ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))โ€˜๐ด))
55 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (logโ€˜๐‘ง) = (logโ€˜๐ด))
564, 55oveq12d 7433 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)) = ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)))
57 eqid 2725 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง))) = (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))
58 ovex 7448 . . . . . 6 ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)) โˆˆ V
5956, 57, 58fvmpt 6999 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))โ€˜๐ด) = ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)))
6018, 59syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((log ฮ“โ€˜๐‘ง) + (logโ€˜๐‘ง)))โ€˜๐ด) = ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)))
6154, 60breqtrd 5169 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ seq1( + , ๐บ) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)))
6219, 61jca 510 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( + , ๐บ) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด))))
633, 62rexlimddv 3151 1 (๐œ‘ โ†’ ((log ฮ“โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( + , ๐บ) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   โˆ– cdif 3937   โІ wss 3940   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226   Fn wfn 6537  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   โˆ˜f cof 7679   โ†‘m cmap 8841  โ„‚cc 11134  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141   โ‰ค cle 11277   โˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  โ„•cn 12240  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  โ„คโ‰ฅcuz 12850  ...cfz 13514  seqcseq 13996  abscabs 15211   โ‡ cli 15458  โ‡๐‘ขculm 26328  logclog 26504  log ฮ“clgam 26964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-tan 16045  df-pi 16046  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812  df-ulm 26329  df-log 26506  df-cxp 26507  df-lgam 26967
This theorem is referenced by:  lgamcl  26989  lgamcvg  27002
  Copyright terms: Public domain W3C validator