Theorem lgamcvglem 27255

Description: Lemma for lgamf 27257 and lgamcvg 27269. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamucov.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamucov.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
lgamcvglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))

Assertion

Ref	Expression
lgamcvglem	⊢ (𝜑 → ((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑟,𝑥,𝐴   𝐺,𝑟   𝜑,𝑘,𝑚,𝑟,𝑥   𝑈,𝑚

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥, 𝑘, 𝑟)   𝐺(𝑥, 𝑘, 𝑚)

Proof of Theorem lgamcvglem

Dummy variables 𝑛 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgamucov.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
2		lgamucov.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
3	1, 2	lgamucov2 27254	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑈)
4		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (log Γ‘𝑧) = (log Γ‘𝐴))
5	4	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((log Γ‘𝑧) ∈ ℂ ↔ (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ))
6		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → 𝑟 ∈ ℕ)
7		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝑡))
8	7	breq1d 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑡) ≤ 𝑟))
9		fvoveq1 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝑡 + 𝑘)))
10	9	breq2d 5123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → ((1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘))))
11	10	ralbidv 3190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘))))
12	8, 11	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) ↔ ((abs‘𝑡) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘)))))
13	12	cbvrabv 3428	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))} = {𝑡 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑡) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘)))}
14	1, 13	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = {𝑡 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑡) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑡 + 𝑘)))}
15		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
16	6, 14, 15	lgamgulm2 27251	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → (∀𝑧 ∈ 𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))))
17	16	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → ∀𝑧 ∈ 𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ)
18		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ 𝑈)
19	5, 17, 18	rspcdva 3584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
20		nnuz 12917	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21		1zzd 12640	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → 1 ∈ ℤ)
22		1z 12639	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		seqfn 14067	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn (ℤ≥‘1))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn (ℤ≥‘1)
25	20	fneq2i 6637	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn ℕ ↔ seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn (ℤ≥‘1))
26	24, 25	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn ℕ
27	16	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))))
28		ulmf2 26598	. . . . . 6 ⊢ ((seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))) Fn ℕ ∧ seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))) → seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))):ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
29	26, 27, 28	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))):ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
30		seqex 14057	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , 𝐺) ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → seq1( + , 𝐺) ∈ V)
32		cnex 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
33	1, 32	rabex2 5313	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ V)
35		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
36	35, 20	eleqtrdi 2875	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
37		fz1ssnn 13600	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑛) ⊆ ℕ
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
39		ovexd 7454	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ V)
40	34, 36, 38, 39	seqof2 14114	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)))
41		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑧 = 𝐴)
42	41	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))))
43	41	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑚))
44	43	fvoveq1d 7441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)))
45	42, 44	oveq12d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
46	45	mpteq2dva 5206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)))))
47		lgamcvglem.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
48	46, 47	eqtr4di 2818	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) = 𝐺)
49	48	seqeq3d 14063	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) = seq1( + , 𝐺))
50	49	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 = 𝐴) → (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑛))
51		simplrr 790	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑈)
52		fvexd 6900	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑛) ∈ V)
53	40, 50, 51, 52	fvmptd 7001	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛)‘𝐴) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑛))
54	20, 21, 29, 18, 31, 53, 27	ulmclm 26601	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → seq1( + , 𝐺) ⇝ ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))‘𝐴))
55		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (log‘𝑧) = (log‘𝐴))
56	4, 55	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)) = ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
57		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))
58		ovex 7452	. . . . . 6 ⊢ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ V
59	56, 57, 58	fvmpt 6993	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))‘𝐴) = ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
60	18, 59	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))‘𝐴) = ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
61	54, 60	breqtrd 5139	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
62	19, 61	jca 521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)) → ((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))
63	3, 62	rexlimddv 3174	1 ⊢ (𝜑 → ((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682   ↑_m cmap 8830  ℂcc 11113  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120   ≤ cle 11259   − cmin 11456   / cdiv 11886  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13551  seqcseq 14055  abscabs 15309   ⇝ cli 15559  ⇝_𝑢culm 26590  logclog 26770  log Γclgam 27231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-fac 14328  df-bc 14357  df-hash 14385  df-shft 15128  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-limsup 15546  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-ef 16143  df-sin 16145  df-cos 16146  df-tan 16147  df-pi 16148  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-lp 23343  df-perf 23344  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-haus 23522  df-cmp 23594  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530  df-cncf 25088  df-limc 26076  df-dv 26077  df-ulm 26591  df-log 26772  df-cxp 26773  df-lgam 27234

This theorem is used by:  lgamcl  27256  lgamcvg  27269