MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulm2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lgamgulm2 26923
Description: Rewrite the limit of the sequence 𝐺 in terms of the log-Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
lgamgulm.u π‘ˆ = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (1 / 𝑅) ≀ (absβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulm2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧,𝑅   π‘ˆ,π‘š,𝑧   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   π‘ˆ(π‘₯,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)
Proof of Theorem lgamgulm2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
2 lgamgulm.u . . . . . . 7 π‘ˆ = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (1 / 𝑅) ≀ (absβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))}
31, 2lgamgulmlem1 26916 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
43sselda 3977 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
5 ovex 7438 . . . . 5 (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ V
6 df-lgam 26906 . . . . . 6 log Ξ“ = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ↦ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
76fvmpt2 7003 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ V) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) = (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
84, 5, 7sylancl 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) = (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
9 nnuz 12869 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
10 1zzd 12597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 ∈ β„€)
11 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š + 1) = (𝑛 + 1))
12 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ π‘š = 𝑛)
1311, 12oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š + 1) / π‘š) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
1413fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) = (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))
1514oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) = (𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))))
16 oveq2 7413 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑧 / π‘š) = (𝑧 / 𝑛))
1716fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)) = (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1)))
1815, 17oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
19 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))
20 ovex 7438 . . . . . . . . 9 ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6992 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))β€˜π‘›) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
2221adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))β€˜π‘›) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
234eldifad 3955 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
2423adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2625peano2nnd 12233 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
2726nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2825nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
2927, 28rpdivcld 13039 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
3029relogcld 26512 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
3130recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ β„‚)
3224, 31mulcld 11238 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ β„‚)
3325nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
3425nnne0d 12266 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 β‰  0)
3524, 33, 34divcld 11994 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑧 / 𝑛) ∈ β„‚)
36 1cnd 11213 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
3735, 36addcld 11237 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 / 𝑛) + 1) ∈ β„‚)
384adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
3938, 25dmgmdivn0 26915 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 / 𝑛) + 1) β‰  0)
4037, 39logcld 26459 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
4132, 40subcld 11575 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ β„‚)
42 1z 12596 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„€
43 seqfn 13984 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„€ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1)
459fneq2i 6641 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„• ↔ seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
4644, 45mpbir 230 . . . . . . . . . 10 seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„•
47 lgamgulm.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
481, 2, 47lgamgulm 26922 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ))
49 ulmdm 26284 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ) ↔ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
5048, 49sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
51 ulmf2 26275 . . . . . . . . . 10 ((seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„• ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
5246, 50, 51sylancr 586 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
5352adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
54 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
55 seqex 13974 . . . . . . . . 9 seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ∈ V
5655a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ∈ V)
5747a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))
5857seqeq3d 13980 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) = seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))))
5958fveq1d 6887 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›) = (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›))
60 cnex 11193 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ ∈ V
612, 60rabex2 5327 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘ˆ ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ ∈ V)
63 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6463, 9eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
65 fz1ssnn 13538 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑛) βŠ† β„•
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...𝑛) βŠ† β„•)
67 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))) ∈ V)
6862, 64, 66, 67seqof2 14031 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
6968adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
7059, 69eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
7170fveq1d 6887 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§))
7254adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
73 fvex 6898 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›) ∈ V
74 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7574fvmpt2 7003 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7672, 73, 75sylancl 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7771, 76eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7850adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
799, 10, 53, 54, 56, 77, 78ulmclm 26278 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ⇝ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§))
809, 10, 22, 41, 79isumclim 15709 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) = (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§))
81 ulmcl 26272 . . . . . . . 8 (seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚)
8250, 81syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚)
8382ffvelcdmda 7080 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§) ∈ β„‚)
8480, 83eqeltrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ β„‚)
854dmgmn0 26913 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 β‰  0)
8623, 85logcld 26459 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (logβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
8784, 86subcld 11575 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
888, 87eqeltrd 2827 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚)
8988ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚)
90 ffn 6711 . . . . . 6 (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ)
9150, 81, 903syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ)
92 nfcv 2897 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)
93 nfcv 2897 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧1
94 nfcv 2897 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧 ∘f +
95 nfcv 2897 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧ℕ
96 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))
9795, 96nfmpt 5248 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧(π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
9847, 97nfcxfr 2895 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧𝐺
9993, 94, 98nfseq 13982 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧seq1( ∘f + , 𝐺)
10092, 99nffv 6895 . . . . . 6 Ⅎ𝑧((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))
101100dffn5f 6957 . . . . 5 (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ ↔ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)))
10291, 101sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)))
1038oveq1d 7420 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)) = ((Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) + (logβ€˜π‘§)))
10484, 86npcand 11579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) + (logβ€˜π‘§)) = Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
105103, 104, 803eqtrrd 2771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§) = ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))
106105mpteq2dva 5241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
107102, 106eqtrd 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
10850, 107breqtrd 5167 . 2 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
10989, 108jca 511 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972  abscabs 15187  Ξ£csu 15638  β‡π‘’culm 26267  logclog 26443  log Ξ“clgam 26903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-tan 16021  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-ulm 26268  df-log 26445  df-cxp 26446  df-lgam 26906
This theorem is referenced by:  lgambdd  26924  lgamcvglem  26927
  Copyright terms: Public domain W3C validator