MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulm2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lgamgulm2 26776
Description: Rewrite the limit of the sequence 𝐺 in terms of the log-Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
lgamgulm.u π‘ˆ = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (1 / 𝑅) ≀ (absβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulm2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧,𝑅   π‘ˆ,π‘š,𝑧   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   π‘ˆ(π‘₯,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)
Proof of Theorem lgamgulm2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
2 lgamgulm.u . . . . . . 7 π‘ˆ = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (1 / 𝑅) ≀ (absβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))}
31, 2lgamgulmlem1 26769 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
43sselda 3981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
5 ovex 7444 . . . . 5 (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ V
6 df-lgam 26759 . . . . . 6 log Ξ“ = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ↦ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
76fvmpt2 7008 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ V) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) = (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
84, 5, 7sylancl 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) = (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
9 nnuz 12869 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
10 1zzd 12597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 ∈ β„€)
11 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š + 1) = (𝑛 + 1))
12 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ π‘š = 𝑛)
1311, 12oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š + 1) / π‘š) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
1413fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) = (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))
1514oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) = (𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))))
16 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑧 / π‘š) = (𝑧 / 𝑛))
1716fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)) = (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1)))
1815, 17oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
19 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))
20 ovex 7444 . . . . . . . . 9 ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6997 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))β€˜π‘›) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
2221adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))β€˜π‘›) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
234eldifad 3959 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
2423adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
25 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2625peano2nnd 12233 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
2726nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2825nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
2927, 28rpdivcld 13037 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
3029relogcld 26367 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
3130recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ β„‚)
3224, 31mulcld 11238 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ β„‚)
3325nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
3425nnne0d 12266 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 β‰  0)
3524, 33, 34divcld 11994 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑧 / 𝑛) ∈ β„‚)
36 1cnd 11213 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
3735, 36addcld 11237 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 / 𝑛) + 1) ∈ β„‚)
384adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
3938, 25dmgmdivn0 26768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 / 𝑛) + 1) β‰  0)
4037, 39logcld 26315 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
4132, 40subcld 11575 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ β„‚)
42 1z 12596 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„€
43 seqfn 13982 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„€ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1)
459fneq2i 6646 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„• ↔ seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
4644, 45mpbir 230 . . . . . . . . . 10 seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„•
47 lgamgulm.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
481, 2, 47lgamgulm 26775 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ))
49 ulmdm 26141 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ) ↔ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
5048, 49sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
51 ulmf2 26132 . . . . . . . . . 10 ((seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„• ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
5246, 50, 51sylancr 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
5352adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
54 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
55 seqex 13972 . . . . . . . . 9 seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ∈ V
5655a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ∈ V)
5747a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))
5857seqeq3d 13978 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) = seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))))
5958fveq1d 6892 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›) = (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›))
60 cnex 11193 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ ∈ V
612, 60rabex2 5333 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘ˆ ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ ∈ V)
63 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6463, 9eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
65 fz1ssnn 13536 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑛) βŠ† β„•
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...𝑛) βŠ† β„•)
67 ovexd 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))) ∈ V)
6862, 64, 66, 67seqof2 14030 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
6968adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
7059, 69eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
7170fveq1d 6892 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§))
7254adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
73 fvex 6903 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›) ∈ V
74 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7574fvmpt2 7008 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7672, 73, 75sylancl 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7771, 76eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7850adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
799, 10, 53, 54, 56, 77, 78ulmclm 26135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ⇝ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§))
809, 10, 22, 41, 79isumclim 15707 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) = (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§))
81 ulmcl 26129 . . . . . . . 8 (seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚)
8250, 81syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚)
8382ffvelcdmda 7085 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§) ∈ β„‚)
8480, 83eqeltrd 2831 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ β„‚)
854dmgmn0 26766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 β‰  0)
8623, 85logcld 26315 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (logβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
8784, 86subcld 11575 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
888, 87eqeltrd 2831 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚)
8988ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚)
90 ffn 6716 . . . . . 6 (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ)
9150, 81, 903syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ)
92 nfcv 2901 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)
93 nfcv 2901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧1
94 nfcv 2901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧 ∘f +
95 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧ℕ
96 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))
9795, 96nfmpt 5254 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧(π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
9847, 97nfcxfr 2899 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧𝐺
9993, 94, 98nfseq 13980 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧seq1( ∘f + , 𝐺)
10092, 99nffv 6900 . . . . . 6 Ⅎ𝑧((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))
101100dffn5f 6962 . . . . 5 (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ ↔ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)))
10291, 101sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)))
1038oveq1d 7426 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)) = ((Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) + (logβ€˜π‘§)))
10484, 86npcand 11579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) + (logβ€˜π‘§)) = Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
105103, 104, 803eqtrrd 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§) = ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))
106105mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
107102, 106eqtrd 2770 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
10850, 107breqtrd 5173 . 2 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
10989, 108jca 510 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  seqcseq 13970  abscabs 15185  Ξ£csu 15636  β‡π‘’culm 26124  logclog 26299  log Ξ“clgam 26756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-ulm 26125  df-log 26301  df-cxp 26302  df-lgam 26759
This theorem is referenced by:  lgambdd  26777  lgamcvglem  26780
  Copyright terms: Public domain W3C validator