MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulm2 26401
Description: Rewrite the limit of the sequence 𝐺 in terms of the log-Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
lgamgulm.u π‘ˆ = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (1 / 𝑅) ≀ (absβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulm2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧,𝑅   π‘ˆ,π‘š,𝑧   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   π‘ˆ(π‘₯,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)

Proof of Theorem lgamgulm2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
2 lgamgulm.u . . . . . . 7 π‘ˆ = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (1 / 𝑅) ≀ (absβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))}
31, 2lgamgulmlem1 26394 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
43sselda 3945 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
5 ovex 7391 . . . . 5 (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ V
6 df-lgam 26384 . . . . . 6 log Ξ“ = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ↦ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
76fvmpt2 6960 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ V) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) = (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
84, 5, 7sylancl 587 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) = (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
9 nnuz 12811 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
10 1zzd 12539 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 ∈ β„€)
11 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š + 1) = (𝑛 + 1))
12 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ π‘š = 𝑛)
1311, 12oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š + 1) / π‘š) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
1413fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) = (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))
1514oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) = (𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))))
16 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑧 / π‘š) = (𝑧 / 𝑛))
1716fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)) = (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1)))
1815, 17oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
19 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))
20 ovex 7391 . . . . . . . . 9 ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6949 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))β€˜π‘›) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
2221adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))β€˜π‘›) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
234eldifad 3923 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
2423adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
25 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2625peano2nnd 12175 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
2726nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2825nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
2927, 28rpdivcld 12979 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
3029relogcld 25994 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
3130recnd 11188 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ β„‚)
3224, 31mulcld 11180 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ β„‚)
3325nncnd 12174 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
3425nnne0d 12208 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 β‰  0)
3524, 33, 34divcld 11936 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑧 / 𝑛) ∈ β„‚)
36 1cnd 11155 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
3735, 36addcld 11179 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 / 𝑛) + 1) ∈ β„‚)
384adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
3938, 25dmgmdivn0 26393 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 / 𝑛) + 1) β‰  0)
4037, 39logcld 25942 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
4132, 40subcld 11517 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ β„‚)
42 1z 12538 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„€
43 seqfn 13924 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„€ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1)
459fneq2i 6601 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„• ↔ seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
4644, 45mpbir 230 . . . . . . . . . 10 seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„•
47 lgamgulm.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
481, 2, 47lgamgulm 26400 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ))
49 ulmdm 25768 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ) ↔ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
5048, 49sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
51 ulmf2 25759 . . . . . . . . . 10 ((seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„• ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
5246, 50, 51sylancr 588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
5352adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
54 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
55 seqex 13914 . . . . . . . . 9 seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ∈ V
5655a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ∈ V)
5747a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))
5857seqeq3d 13920 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) = seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))))
5958fveq1d 6845 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›) = (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›))
60 cnex 11137 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ ∈ V
612, 60rabex2 5292 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘ˆ ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ ∈ V)
63 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6463, 9eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
65 fz1ssnn 13478 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑛) βŠ† β„•
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...𝑛) βŠ† β„•)
67 ovexd 7393 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))) ∈ V)
6862, 64, 66, 67seqof2 13972 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
6968adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
7059, 69eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
7170fveq1d 6845 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§))
7254adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
73 fvex 6856 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›) ∈ V
74 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7574fvmpt2 6960 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7672, 73, 75sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7771, 76eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7850adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
799, 10, 53, 54, 56, 77, 78ulmclm 25762 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ⇝ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§))
809, 10, 22, 41, 79isumclim 15647 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) = (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§))
81 ulmcl 25756 . . . . . . . 8 (seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚)
8250, 81syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚)
8382ffvelcdmda 7036 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§) ∈ β„‚)
8480, 83eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ β„‚)
854dmgmn0 26391 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 β‰  0)
8623, 85logcld 25942 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (logβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
8784, 86subcld 11517 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
888, 87eqeltrd 2834 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚)
8988ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚)
90 ffn 6669 . . . . . 6 (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ)
9150, 81, 903syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ)
92 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)
93 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧1
94 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧 ∘f +
95 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧ℕ
96 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))
9795, 96nfmpt 5213 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧(π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
9847, 97nfcxfr 2902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧𝐺
9993, 94, 98nfseq 13922 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧seq1( ∘f + , 𝐺)
10092, 99nffv 6853 . . . . . 6 Ⅎ𝑧((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))
101100dffn5f 6914 . . . . 5 (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ ↔ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)))
10291, 101sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)))
1038oveq1d 7373 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)) = ((Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) + (logβ€˜π‘§)))
10484, 86npcand 11521 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) + (logβ€˜π‘§)) = Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
105103, 104, 803eqtrrd 2778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§) = ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))
106105mpteq2dva 5206 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
107102, 106eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
10850, 107breqtrd 5132 . 2 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
10989, 108jca 513 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616   ↑m cmap 8768  β„‚cc 11054  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  seqcseq 13912  abscabs 15125  Ξ£csu 15576  β‡π‘’culm 25751  logclog 25926  log Ξ“clgam 26381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-tan 15959  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-lgam 26384
This theorem is referenced by:  lgambdd  26402  lgamcvglem  26405
  Copyright terms: Public domain W3C validator