MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulm2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lgamgulm2 26986
Description: Rewrite the limit of the sequence 𝐺 in terms of the log-Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
lgamgulm.u π‘ˆ = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (1 / 𝑅) ≀ (absβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulm2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧,𝑅   π‘ˆ,π‘š,𝑧   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   π‘ˆ(π‘₯,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)
Proof of Theorem lgamgulm2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
2 lgamgulm.u . . . . . . 7 π‘ˆ = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (1 / 𝑅) ≀ (absβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))}
31, 2lgamgulmlem1 26979 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
43sselda 3972 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
5 ovex 7449 . . . . 5 (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ V
6 df-lgam 26969 . . . . . 6 log Ξ“ = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ↦ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
76fvmpt2 7011 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ V) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) = (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
84, 5, 7sylancl 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) = (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
9 nnuz 12895 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
10 1zzd 12623 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 ∈ β„€)
11 oveq1 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š + 1) = (𝑛 + 1))
12 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ π‘š = 𝑛)
1311, 12oveq12d 7434 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š + 1) / π‘š) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
1413fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) = (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))
1514oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) = (𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))))
16 oveq2 7424 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑧 / π‘š) = (𝑧 / 𝑛))
1716fvoveq1d 7438 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)) = (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1)))
1815, 17oveq12d 7434 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
19 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))
20 ovex 7449 . . . . . . . . 9 ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 7000 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))β€˜π‘›) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
2221adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))β€˜π‘›) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
234eldifad 3951 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
2423adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
25 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2625peano2nnd 12259 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
2726nnrpd 13046 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2825nnrpd 13046 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
2927, 28rpdivcld 13065 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
3029relogcld 26575 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
3130recnd 11272 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ β„‚)
3224, 31mulcld 11264 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ β„‚)
3325nncnd 12258 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
3425nnne0d 12292 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 β‰  0)
3524, 33, 34divcld 12020 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑧 / 𝑛) ∈ β„‚)
36 1cnd 11239 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
3735, 36addcld 11263 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 / 𝑛) + 1) ∈ β„‚)
384adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
3938, 25dmgmdivn0 26978 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 / 𝑛) + 1) β‰  0)
4037, 39logcld 26522 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
4132, 40subcld 11601 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ β„‚)
42 1z 12622 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„€
43 seqfn 14010 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„€ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1)
459fneq2i 6647 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„• ↔ seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
4644, 45mpbir 230 . . . . . . . . . 10 seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„•
47 lgamgulm.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
481, 2, 47lgamgulm 26985 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ))
49 ulmdm 26347 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ) ↔ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
5048, 49sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
51 ulmf2 26338 . . . . . . . . . 10 ((seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„• ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
5246, 50, 51sylancr 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
5352adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
54 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
55 seqex 14000 . . . . . . . . 9 seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ∈ V
5655a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ∈ V)
5747a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))
5857seqeq3d 14006 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) = seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))))
5958fveq1d 6894 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›) = (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›))
60 cnex 11219 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ ∈ V
612, 60rabex2 5331 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘ˆ ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ ∈ V)
63 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6463, 9eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
65 fz1ssnn 13564 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑛) βŠ† β„•
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...𝑛) βŠ† β„•)
67 ovexd 7451 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))) ∈ V)
6862, 64, 66, 67seqof2 14057 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
6968adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
7059, 69eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
7170fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§))
7254adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
73 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›) ∈ V
74 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7574fvmpt2 7011 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7672, 73, 75sylancl 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7771, 76eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7850adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
799, 10, 53, 54, 56, 77, 78ulmclm 26341 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ⇝ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§))
809, 10, 22, 41, 79isumclim 15735 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) = (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§))
81 ulmcl 26335 . . . . . . . 8 (seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚)
8250, 81syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚)
8382ffvelcdmda 7089 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§) ∈ β„‚)
8480, 83eqeltrd 2825 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ β„‚)
854dmgmn0 26976 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 β‰  0)
8623, 85logcld 26522 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (logβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
8784, 86subcld 11601 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
888, 87eqeltrd 2825 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚)
8988ralrimiva 3136 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚)
90 ffn 6717 . . . . . 6 (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ)
9150, 81, 903syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ)
92 nfcv 2892 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)
93 nfcv 2892 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧1
94 nfcv 2892 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧 ∘f +
95 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧ℕ
96 nfmpt1 5251 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))
9795, 96nfmpt 5250 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧(π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
9847, 97nfcxfr 2890 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧𝐺
9993, 94, 98nfseq 14008 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧seq1( ∘f + , 𝐺)
10092, 99nffv 6902 . . . . . 6 Ⅎ𝑧((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))
101100dffn5f 6965 . . . . 5 (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ ↔ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)))
10291, 101sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)))
1038oveq1d 7431 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)) = ((Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) + (logβ€˜π‘§)))
10484, 86npcand 11605 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) + (logβ€˜π‘§)) = Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
105103, 104, 803eqtrrd 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§) = ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))
106105mpteq2dva 5243 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
107102, 106eqtrd 2765 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
10850, 107breqtrd 5169 . 2 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
10989, 108jca 510 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680   ↑m cmap 8843  β„‚cc 11136  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  seqcseq 13998  abscabs 15213  Ξ£csu 15664  β‡π‘’culm 26330  logclog 26506  log Ξ“clgam 26966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-tan 16047  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-ulm 26331  df-log 26508  df-cxp 26509  df-lgam 26969
This theorem is referenced by:  lgambdd  26987  lgamcvglem  26990
  Copyright terms: Public domain W3C validator