MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulm2 26385
Description: Rewrite the limit of the sequence 𝐺 in terms of the log-Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulm2 (𝜑 → (∀𝑧𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑧   𝜑,𝑚,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulm2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
2 lgamgulm.u . . . . . . 7 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
31, 2lgamgulmlem1 26378 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
43sselda 3944 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
5 ovex 7390 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) ∈ V
6 df-lgam 26368 . . . . . 6 log Γ = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↦ (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)))
76fvmpt2 6959 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) ∈ V) → (log Γ‘𝑧) = (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)))
84, 5, 7sylancl 586 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑈) → (log Γ‘𝑧) = (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)))
9 nnuz 12806 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
10 1zzd 12534 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑈) → 1 ∈ ℤ)
11 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
12 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
1311, 12oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
1413fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))
1514oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))))
16 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝑧 / 𝑚) = (𝑧 / 𝑛))
1716fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1)))
1815, 17oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) = ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))))
19 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))
20 ovex 7390 . . . . . . . . 9 ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))‘𝑛) = ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))))
2221adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))‘𝑛) = ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))))
234eldifad 3922 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ ℂ)
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℂ)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2625peano2nnd 12170 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2726nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2825nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2927, 28rpdivcld 12974 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
3029relogcld 25978 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
3130recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℂ)
3224, 31mulcld 11175 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ)
3325nncnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
3425nnne0d 12203 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
3524, 33, 34divcld 11931 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑛) ∈ ℂ)
36 1cnd 11150 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
3735, 36addcld 11174 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑧 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
384adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
3938, 25dmgmdivn0 26377 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑧 / 𝑛) + 1) ≠ 0)
4037, 39logcld 25926 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
4132, 40subcld 11512 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
42 1z 12533 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
43 seqfn 13918 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℤ → seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (ℤ‘1))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (ℤ‘1)
459fneq2i 6600 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘f + , 𝐺) Fn ℕ ↔ seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (ℤ‘1))
4644, 45mpbir 230 . . . . . . . . . 10 seq1( ∘f + , 𝐺) Fn ℕ
47 lgamgulm.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
481, 2, 47lgamgulm 26384 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈))
49 ulmdm 25752 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈) ↔ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺)))
5048, 49sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺)))
51 ulmf2 25743 . . . . . . . . . 10 ((seq1( ∘f + , 𝐺) Fn ℕ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺))) → seq1( ∘f + , 𝐺):ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
5246, 50, 51sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq1( ∘f + , 𝐺):ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
5352adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑈) → seq1( ∘f + , 𝐺):ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
54 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
55 seqex 13908 . . . . . . . . 9 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) ∈ V
5655a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑈) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) ∈ V)
5747a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))
5857seqeq3d 13914 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → seq1( ∘f + , 𝐺) = seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))))
5958fveq1d 6844 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘f + , 𝐺)‘𝑛) = (seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛))
60 cnex 11132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ∈ V
612, 60rabex2 5291 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ V)
63 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
6463, 9eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
65 fz1ssnn 13472 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑛) ⊆ ℕ
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
67 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑈)) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ V)
6862, 64, 66, 67seqof2 13966 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛) = (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)))
6968adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛) = (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)))
7059, 69eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘f + , 𝐺)‘𝑛) = (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)))
7170fveq1d 6844 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((seq1( ∘f + , 𝐺)‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))‘𝑧))
7254adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑧𝑈)
73 fvex 6855 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛) ∈ V
74 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)) = (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))
7574fvmpt2 6959 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑈 ∧ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛) ∈ V) → ((𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))‘𝑧) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))
7672, 73, 75sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))‘𝑧) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))
7771, 76eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((seq1( ∘f + , 𝐺)‘𝑛)‘𝑧) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))
7850adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑈) → seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺)))
799, 10, 53, 54, 56, 77, 78ulmclm 25746 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑈) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) ⇝ (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺))‘𝑧))
809, 10, 22, 41, 79isumclim 15642 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) = (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺))‘𝑧))
81 ulmcl 25740 . . . . . . . 8 (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺)) → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺)):𝑈⟶ℂ)
8250, 81syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺)):𝑈⟶ℂ)
8382ffvelcdmda 7035 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺))‘𝑧) ∈ ℂ)
8480, 83eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑈) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
854dmgmn0 26375 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → 𝑧 ≠ 0)
8623, 85logcld 25926 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑈) → (log‘𝑧) ∈ ℂ)
8784, 86subcld 11512 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑈) → (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) ∈ ℂ)
888, 87eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑𝑧𝑈) → (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ)
8988ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ)
90 ffn 6668 . . . . . 6 (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺)):𝑈⟶ℂ → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn 𝑈)
9150, 81, 903syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn 𝑈)
92 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑧(⇝𝑢𝑈)
93 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑧1
94 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑧f +
95 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑧
96 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . 10 𝑧(𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))
9795, 96nfmpt 5212 . . . . . . . . 9 𝑧(𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
9847, 97nfcxfr 2905 . . . . . . . 8 𝑧𝐺
9993, 94, 98nfseq 13916 . . . . . . 7 𝑧seq1( ∘f + , 𝐺)
10092, 99nffv 6852 . . . . . 6 𝑧((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺))
101100dffn5f 6913 . . . . 5 (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn 𝑈 ↔ ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧𝑈 ↦ (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺))‘𝑧)))
10291, 101sylib 217 . . . 4 (𝜑 → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧𝑈 ↦ (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺))‘𝑧)))
1038oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)) = ((Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) + (log‘𝑧)))
10484, 86npcand 11516 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → ((Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) + (log‘𝑧)) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))))
105103, 104, 803eqtrrd 2781 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑈) → (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺))‘𝑧) = ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))
106105mpteq2dva 5205 . . . 4 (𝜑 → (𝑧𝑈 ↦ (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺))‘𝑧)) = (𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))))
107102, 106eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))))
10850, 107breqtrd 5131 . 2 (𝜑 → seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))))
10989, 108jca 512 1 (𝜑 → (∀𝑧𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765  cc 11049  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906  abscabs 15119  Σcsu 15570  𝑢culm 25735  logclog 25910  log Γclgam 26365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ulm 25736  df-log 25912  df-cxp 25913  df-lgam 26368
This theorem is referenced by:  lgambdd  26386  lgamcvglem  26389
  Copyright terms: Public domain W3C validator