MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulm2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lgamgulm2 26529
Description: Rewrite the limit of the sequence 𝐺 in terms of the log-Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
lgamgulm.u π‘ˆ = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (1 / 𝑅) ≀ (absβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulm2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧,𝑅   π‘ˆ,π‘š,𝑧   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   π‘ˆ(π‘₯,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)
Proof of Theorem lgamgulm2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
2 lgamgulm.u . . . . . . 7 π‘ˆ = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (1 / 𝑅) ≀ (absβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))}
31, 2lgamgulmlem1 26522 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
43sselda 3981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
5 ovex 7438 . . . . 5 (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ V
6 df-lgam 26512 . . . . . 6 log Ξ“ = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ↦ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
76fvmpt2 7006 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ V) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) = (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
84, 5, 7sylancl 586 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) = (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)))
9 nnuz 12861 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
10 1zzd 12589 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 ∈ β„€)
11 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š + 1) = (𝑛 + 1))
12 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ π‘š = 𝑛)
1311, 12oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š + 1) / π‘š) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
1413fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) = (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))
1514oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) = (𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))))
16 oveq2 7413 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑧 / π‘š) = (𝑧 / 𝑛))
1716fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)) = (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1)))
1815, 17oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
19 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))
20 ovex 7438 . . . . . . . . 9 ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6995 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))β€˜π‘›) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
2221adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))β€˜π‘›) = ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
234eldifad 3959 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2625peano2nnd 12225 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
2726nnrpd 13010 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2825nnrpd 13010 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
2927, 28rpdivcld 13029 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
3029relogcld 26122 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
3130recnd 11238 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ β„‚)
3224, 31mulcld 11230 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ β„‚)
3325nncnd 12224 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
3425nnne0d 12258 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 β‰  0)
3524, 33, 34divcld 11986 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑧 / 𝑛) ∈ β„‚)
36 1cnd 11205 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
3735, 36addcld 11229 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 / 𝑛) + 1) ∈ β„‚)
384adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
3938, 25dmgmdivn0 26521 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 / 𝑛) + 1) β‰  0)
4037, 39logcld 26070 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
4132, 40subcld 11567 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ β„‚)
42 1z 12588 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„€
43 seqfn 13974 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„€ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1)
459fneq2i 6644 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„• ↔ seq1( ∘f + , 𝐺) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
4644, 45mpbir 230 . . . . . . . . . 10 seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„•
47 lgamgulm.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
481, 2, 47lgamgulm 26528 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ))
49 ulmdm 25896 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ) ↔ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
5048, 49sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
51 ulmf2 25887 . . . . . . . . . 10 ((seq1( ∘f + , 𝐺) Fn β„• ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
5246, 50, 51sylancr 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
5352adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺):β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
54 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
55 seqex 13964 . . . . . . . . 9 seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ∈ V
5655a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ∈ V)
5747a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))
5857seqeq3d 13970 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) = seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))))
5958fveq1d 6890 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›) = (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›))
60 cnex 11187 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ ∈ V
612, 60rabex2 5333 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘ˆ ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘ˆ ∈ V)
63 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6463, 9eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
65 fz1ssnn 13528 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑛) βŠ† β„•
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...𝑛) βŠ† β„•)
67 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))) ∈ V)
6862, 64, 66, 67seqof2 14022 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
6968adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))))β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
7059, 69eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)))
7170fveq1d 6890 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§))
7254adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
73 fvex 6901 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›) ∈ V
74 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7574fvmpt2 7006 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7672, 73, 75sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7771, 76eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((seq1( ∘f + , 𝐺)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = (seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))β€˜π‘›))
7850adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)))
799, 10, 53, 54, 56, 77, 78ulmclm 25890 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))) ⇝ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§))
809, 10, 22, 41, 79isumclim 15699 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) = (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§))
81 ulmcl 25884 . . . . . . . 8 (seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚)
8250, 81syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚)
8382ffvelcdmda 7083 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§) ∈ β„‚)
8480, 83eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ β„‚)
854dmgmn0 26519 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 β‰  0)
8623, 85logcld 26070 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (logβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
8784, 86subcld 11567 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
888, 87eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚)
8988ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚)
90 ffn 6714 . . . . . 6 (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)):π‘ˆβŸΆβ„‚ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ)
9150, 81, 903syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ)
92 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)
93 nfcv 2903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧1
94 nfcv 2903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧 ∘f +
95 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧ℕ
96 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))))
9795, 96nfmpt 5254 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧(π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
9847, 97nfcxfr 2901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧𝐺
9993, 94, 98nfseq 13972 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧seq1( ∘f + , 𝐺)
10092, 99nffv 6898 . . . . . 6 Ⅎ𝑧((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))
101100dffn5f 6960 . . . . 5 (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) Fn π‘ˆ ↔ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)))
10291, 101sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)))
1038oveq1d 7420 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)) = ((Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) + (logβ€˜π‘§)))
10484, 86npcand 11571 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))) βˆ’ (logβ€˜π‘§)) + (logβ€˜π‘§)) = Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑧 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / 𝑛) + 1))))
105103, 104, 803eqtrrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§) = ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))
106105mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ (((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺))β€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
107102, 106eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘’β€˜π‘ˆ)β€˜seq1( ∘f + , 𝐺)) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
10850, 107breqtrd 5173 . 2 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§))))
10989, 108jca 512 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (log Ξ“β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((log Ξ“β€˜π‘§) + (logβ€˜π‘§)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664   ↑m cmap 8816  β„‚cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480  seqcseq 13962  abscabs 15177  Ξ£csu 15628  β‡π‘’culm 25879  logclog 26054  log Ξ“clgam 26509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-ulm 25880  df-log 26056  df-cxp 26057  df-lgam 26512
This theorem is referenced by:  lgambdd  26530  lgamcvglem  26533
  Copyright terms: Public domain W3C validator