MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulm2 25897
Description: Simplify ulmval 25892 when 𝐹 and 𝐺 are known to be functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulm2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulm2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulm2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
ulm2.b ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = 𝐡)
ulm2.a ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = 𝐴)
ulm2.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
ulm2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ulm2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑧,𝐹   𝑗,𝐺,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝑗,𝑀,π‘˜,π‘₯,𝑧   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝐴,𝑗,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝐡   𝑆,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝑗,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐡(𝑧,𝑗,π‘˜)   𝑉(π‘₯,𝑧,𝑗,π‘˜)   𝑍(𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem ulm2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulm2.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
2 ulmval 25892 . . 3 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
4 3anan12 1097 . . . 4 ((𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) ↔ (𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
5 ulm2.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 ulm2.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
76fdmd 6729 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
8 fdm 6727 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) β†’ dom 𝐹 = (β„€β‰₯β€˜π‘›))
97, 8sylan9req 2794 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘›))
105, 9eqtr3id 2787 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘›))
11 ulm2.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1211adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
13 uz11 12847 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„€ β†’ ((β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↔ 𝑀 = 𝑛))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ ((β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↔ 𝑀 = 𝑛))
1510, 14mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ 𝑀 = 𝑛)
1615eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ 𝑛 = 𝑀)
17 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑀 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1817, 5eqtr4di 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) = 𝑍)
1918feq2d 6704 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 β†’ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ↔ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆)))
2019biimparc 481 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝑛 = 𝑀) β†’ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
216, 20sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) β†’ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
2216, 21impbida 800 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ↔ 𝑛 = 𝑀))
2322anbi1d 631 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) ↔ (𝑛 = 𝑀 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
24 ulm2.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
2524biantrurd 534 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) ↔ (𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))))
26 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ πœ‘)
27 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) β†’ 𝑛 = 𝑀)
28 uzid 12837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2911, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3029, 5eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
3227, 31eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
335uztrn2 12841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
3432, 33sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
355uztrn2 12841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3634, 35sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
38 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
39 ulm2.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = 𝐡)
4026, 37, 38, 39syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = 𝐡)
41 ulm2.a . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = 𝐴)
4226, 41sylancom 589 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = 𝐴)
4340, 42oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§)) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
4443fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
4544breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
4645ralbidva 3176 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
4746ralbidva 3176 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
4847rexbidva 3177 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
4948ralbidv 3178 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑀) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
5049pm5.32da 580 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑛 = 𝑀 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) ↔ (𝑛 = 𝑀 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
5123, 25, 503bitr3d 309 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)) ↔ (𝑛 = 𝑀 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
524, 51bitrid 283 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) ↔ (𝑛 = 𝑀 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
5352rexbidv 3179 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 = 𝑀 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
5418rexeqdv 3327 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
5554ralbidv 3178 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
5655ceqsrexv 3644 . . 3 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 = 𝑀 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
5711, 56syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 = 𝑀 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
583, 53, 573bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  abscabs 15181  β‡π‘’culm 25888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-ulm 25889
This theorem is referenced by:  ulmi  25898  ulmclm  25899  ulmres  25900  ulmshftlem  25901  ulm0  25903  ulmcau  25907  ulmss  25909
  Copyright terms: Public domain W3C validator