MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgulm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgulm2 24501
Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
itgulm2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
itgulm2.l ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝐿1)
itgulm2.u (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵))
itgulm2.s (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itgulm2 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝜑   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem itgulm2
Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 itgulm2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 itgulm2.l . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝐿1)
43fmpttd 6609 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)):𝑍⟶𝐿1)
5 itgulm2.u . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵))
6 itgulm2.s . . 3 (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
71, 2, 4, 5, 6iblulm 24499 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ∈ 𝐿1)
81, 2, 4, 5, 6itgulm 24500 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) ⇝ ∫𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧) d𝑧)
9 nfcv 2939 . . . . . 6 𝑘𝑆
10 nffvmpt1 6420 . . . . . . 7 𝑘((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)
11 nfcv 2939 . . . . . . 7 𝑘𝑧
1210, 11nffv 6419 . . . . . 6 𝑘(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
139, 12nfitg 23879 . . . . 5 𝑘𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧
14 nfcv 2939 . . . . 5 𝑛𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥
15 fveq2 6409 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) = (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥))
16 nfcv 2939 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑍
17 nfmpt1 4938 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥𝑆𝐴)
1816, 17nfmpt 4937 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))
19 nfcv 2939 . . . . . . . . 9 𝑥𝑛
2018, 19nffv 6419 . . . . . . . 8 𝑥((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)
21 nfcv 2939 . . . . . . . 8 𝑥𝑧
2220, 21nffv 6419 . . . . . . 7 𝑥(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
23 nfcv 2939 . . . . . . 7 𝑧(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥)
2415, 22, 23cbvitg 23880 . . . . . 6 𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥
25 fveq2 6409 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛) = ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘))
2625fveq1d 6411 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
2726adantr 473 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑘𝑥𝑆) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
2827itgeq2dv 23886 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
2924, 28syl5eq 2843 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
3013, 14, 29cbvmpt 4940 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
31 simplr 786 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑘𝑍)
32 ulmscl 24471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ V)
33 mptexg 6711 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ V → (𝑥𝑆𝐴) ∈ V)
345, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐴) ∈ V)
3534ad2antrr 718 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ V)
36 eqid 2797 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))
3736fvmpt2 6514 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍 ∧ (𝑥𝑆𝐴) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘) = (𝑥𝑆𝐴))
3831, 35, 37syl2anc 580 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘) = (𝑥𝑆𝐴))
3938fveq1d 6411 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑥))
40 simpr 478 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
4134ralrimivw 3146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝑥𝑆𝐴) ∈ V)
4236fnmpt 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘𝑍 (𝑥𝑆𝐴) ∈ V → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)) Fn 𝑍)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)) Fn 𝑍)
44 ulmf2 24476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)) Fn 𝑍 ∧ (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵)) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
4543, 5, 44syl2anc 580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
4645fvmptelrn 6607 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
47 elmapi 8115 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑆𝐴) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℂ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℂ)
4948fvmptelrn 6607 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
50 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆𝐴) = (𝑥𝑆𝐴)
5150fvmpt2 6514 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑆𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
5240, 49, 51syl2anc 580 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
5339, 52eqtrd 2831 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = 𝐴)
5453itgeq2dv 23886 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐴 d𝑥)
5554mpteq2dva 4935 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
5630, 55syl5eq 2843 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
57 fveq2 6409 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧) = ((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥))
58 nffvmpt1 6420 . . . . 5 𝑥((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧)
59 nfcv 2939 . . . . 5 𝑧((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥)
6057, 58, 59cbvitg 23880 . . . 4 𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥) d𝑥
61 simpr 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
62 ulmcl 24473 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵) → (𝑥𝑆𝐵):𝑆⟶ℂ)
635, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵):𝑆⟶ℂ)
6463fvmptelrn 6607 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
65 eqid 2797 . . . . . . 7 (𝑥𝑆𝐵) = (𝑥𝑆𝐵)
6665fvmpt2 6514 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
6761, 64, 66syl2anc 580 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
6867itgeq2dv 23886 . . . 4 (𝜑 → ∫𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
6960, 68syl5eq 2843 . . 3 (𝜑 → ∫𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
708, 56, 693brtr3d 4872 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥)
717, 70jca 508 1 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3087  Vcvv 3383   class class class wbr 4841  cmpt 4920   Fn wfn 6094  wf 6095  cfv 6099  (class class class)co 6876  𝑚 cmap 8093  cc 10220  cr 10221  cz 11662  cuz 11926  cli 14553  volcvol 23568  𝐿1cibl 23722  citg 23723  𝑢culm 24468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cc 9543  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300  ax-addf 10301  ax-mulf 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-disj 4810  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-ofr 7130  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-omul 7802  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-fi 8557  df-sup 8588  df-inf 8589  df-oi 8655  df-card 9049  df-acn 9052  df-cda 9276  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-q 12030  df-rp 12071  df-xneg 12189  df-xadd 12190  df-xmul 12191  df-ioo 12424  df-ioc 12425  df-ico 12426  df-icc 12427  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-fl 12844  df-mod 12920  df-seq 13052  df-exp 13111  df-hash 13367  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-limsup 14540  df-clim 14557  df-rlim 14558  df-sum 14755  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-hom 16288  df-cco 16289  df-rest 16395  df-topn 16396  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-topgen 16416  df-pt 16417  df-prds 16420  df-xrs 16474  df-qtop 16479  df-imas 16480  df-xps 16482  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-mulg 17854  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-psmet 20057  df-xmet 20058  df-met 20059  df-bl 20060  df-mopn 20061  df-cnfld 20066  df-top 21024  df-topon 21041  df-topsp 21063  df-bases 21076  df-cn 21357  df-cnp 21358  df-cmp 21516  df-tx 21691  df-hmeo 21884  df-xms 22450  df-ms 22451  df-tms 22452  df-cncf 23006  df-ovol 23569  df-vol 23570  df-mbf 23724  df-itg1 23725  df-itg2 23726  df-ibl 23727  df-itg 23728  df-0p 23775  df-ulm 24469
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator