Theorem itgulm2 26550

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm2.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
itgulm2.u	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
itgulm2.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgulm2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝜑   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem itgulm2

Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		itgulm2.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
4	3	fmpttd 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶𝐿1)
5		itgulm2.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
6		itgulm2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
7	1, 2, 4, 5, 6	iblulm 26548	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
8	1, 2, 4, 5, 6	itgulm 26549	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) ⇝ ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧)
9		nfcv 2925	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
10		nffvmpt1 6894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)
11		nfcv 2925	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑧
12	10, 11	nffv 6893	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
13	9, 12	nfitg 25915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧
14		nfcv 2925	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥
15		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥))
16		nfcv 2925	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
17		nfmpt1 5211	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
18	16, 17	nfmpt 5210	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
19		nfcv 2925	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑛
20	18, 19	nffv 6893	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)
21		nfcv 2925	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
22	20, 21	nffv 6893	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
23		nfcv 2925	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥)
24	15, 22, 23	cbvitg 25916	. . . . . 6 ⊢ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥
25		fveq2 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘))
26	25	fveq1d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
27	26	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
28	27	itgeq2dv 25922	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
29	24, 28	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
30	13, 14, 29	cbvmpt 5214	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
31		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝑍)
32		ulmscl 26520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) → 𝑆 ∈ V)
33		mptexg 7221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
34	5, 32, 33	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
35	34	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
36		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
37	36	fvmpt2 7003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
38	31, 35, 37	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
39	38	fveq1d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥))
40		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
41	34	ralrimivw 3161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
42	36	fnmpt 6677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
44		ulmf2 26525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
45	43, 5, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
46	45	fvmptelcdm 7110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
47		elmapi 8847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
49	48	fvmptelcdm 7110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
50		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
51	50	fvmpt2 7003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
52	40, 49, 51	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
53	39, 52	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = 𝐴)
54	53	itgeq2dv 25922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐴 d𝑥)
55	54	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
56	30, 55	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
57		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥))
58		nffvmpt1 6894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧)
59		nfcv 2925	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥)
60	57, 58, 59	cbvitg 25916	. . . 4 ⊢ ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) d𝑥
61		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
62		ulmcl 26522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℂ)
63	5, 62	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℂ)
64	63	fvmptelcdm 7110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
65		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)
66	65	fvmpt2 7003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
67	61, 64, 66	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
68	67	itgeq2dv 25922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
69	60, 68	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
70	8, 56, 69	3brtr3d 5143	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥)
71	7, 70	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  ℂcc 11099  ℝcr 11100  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863   ⇝ cli 15537  volcvol 25603  𝐿¹cibl 25757  ∫citg 25758  ⇝_𝑢culm 26517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-cmp 23525  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-ovol 25604  df-vol 25605  df-mbf 25759  df-itg1 25760  df-itg2 25761  df-ibl 25762  df-itg 25763  df-0p 25810  df-ulm 26518

This theorem is referenced by: (None)