MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgulm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgulm2 24989
Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
itgulm2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
itgulm2.l ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝐿1)
itgulm2.u (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵))
itgulm2.s (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itgulm2 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝜑   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem itgulm2
Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 itgulm2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 itgulm2.l . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝐿1)
43fmpttd 6872 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)):𝑍⟶𝐿1)
5 itgulm2.u . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵))
6 itgulm2.s . . 3 (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
71, 2, 4, 5, 6iblulm 24987 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ∈ 𝐿1)
81, 2, 4, 5, 6itgulm 24988 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) ⇝ ∫𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧) d𝑧)
9 nfcv 2975 . . . . . 6 𝑘𝑆
10 nffvmpt1 6674 . . . . . . 7 𝑘((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)
11 nfcv 2975 . . . . . . 7 𝑘𝑧
1210, 11nffv 6673 . . . . . 6 𝑘(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
139, 12nfitg 24367 . . . . 5 𝑘𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧
14 nfcv 2975 . . . . 5 𝑛𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥
15 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) = (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥))
16 nfcv 2975 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑍
17 nfmpt1 5155 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥𝑆𝐴)
1816, 17nfmpt 5154 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))
19 nfcv 2975 . . . . . . . . 9 𝑥𝑛
2018, 19nffv 6673 . . . . . . . 8 𝑥((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)
21 nfcv 2975 . . . . . . . 8 𝑥𝑧
2220, 21nffv 6673 . . . . . . 7 𝑥(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
23 nfcv 2975 . . . . . . 7 𝑧(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥)
2415, 22, 23cbvitg 24368 . . . . . 6 𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥
25 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛) = ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘))
2625fveq1d 6665 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
2726adantr 483 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑘𝑥𝑆) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
2827itgeq2dv 24374 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
2924, 28syl5eq 2866 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
3013, 14, 29cbvmpt 5158 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
31 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑘𝑍)
32 ulmscl 24959 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ V)
33 mptexg 6976 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ V → (𝑥𝑆𝐴) ∈ V)
345, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐴) ∈ V)
3534ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ V)
36 eqid 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))
3736fvmpt2 6772 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍 ∧ (𝑥𝑆𝐴) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘) = (𝑥𝑆𝐴))
3831, 35, 37syl2anc 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘) = (𝑥𝑆𝐴))
3938fveq1d 6665 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑥))
40 simpr 487 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
4134ralrimivw 3181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝑥𝑆𝐴) ∈ V)
4236fnmpt 6481 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘𝑍 (𝑥𝑆𝐴) ∈ V → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)) Fn 𝑍)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)) Fn 𝑍)
44 ulmf2 24964 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)) Fn 𝑍 ∧ (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵)) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
4543, 5, 44syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
4645fvmptelrn 6870 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
47 elmapi 8420 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑆𝐴) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℂ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℂ)
4948fvmptelrn 6870 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
50 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆𝐴) = (𝑥𝑆𝐴)
5150fvmpt2 6772 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑆𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
5240, 49, 51syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
5339, 52eqtrd 2854 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = 𝐴)
5453itgeq2dv 24374 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐴 d𝑥)
5554mpteq2dva 5152 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
5630, 55syl5eq 2866 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
57 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧) = ((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥))
58 nffvmpt1 6674 . . . . 5 𝑥((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧)
59 nfcv 2975 . . . . 5 𝑧((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥)
6057, 58, 59cbvitg 24368 . . . 4 𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥) d𝑥
61 simpr 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
62 ulmcl 24961 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵) → (𝑥𝑆𝐵):𝑆⟶ℂ)
635, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵):𝑆⟶ℂ)
6463fvmptelrn 6870 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
65 eqid 2819 . . . . . . 7 (𝑥𝑆𝐵) = (𝑥𝑆𝐵)
6665fvmpt2 6772 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
6761, 64, 66syl2anc 586 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
6867itgeq2dv 24374 . . . 4 (𝜑 → ∫𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
6960, 68syl5eq 2866 . . 3 (𝜑 → ∫𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
708, 56, 693brtr3d 5088 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥)
717, 70jca 514 1 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  wral 3136  Vcvv 3493   class class class wbr 5057  cmpt 5137   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  m cmap 8398  cc 10527  cr 10528  cz 11973  cuz 12235  cli 14833  volcvol 24056  𝐿1cibl 24210  citg 24211  𝑢culm 24956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-ofr 7402  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-cmp 21987  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-mbf 24212  df-itg1 24213  df-itg2 24214  df-ibl 24215  df-itg 24216  df-0p 24263  df-ulm 24957
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator