Theorem itgulm2 26769

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm2.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
itgulm2.u	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
itgulm2.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgulm2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝜑   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑘)   𝐵(𝑥, 𝑘)   𝑀(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem itgulm2

Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		itgulm2.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
4	3	fmpttd 7142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶𝐿1)
5		itgulm2.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
6		itgulm2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
7	1, 2, 4, 5, 6	iblulm 26767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
8	1, 2, 4, 5, 6	itgulm 26768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) ⇝ ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧)
9		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
10		nffvmpt1 6922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)
11		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑧
12	10, 11	nffv 6921	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
13	9, 12	nfitg 26128	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧
14		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥
15		fveq2 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥))
16		nfcv 2926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
17		nfmpt1 5208	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
18	16, 17	nfmpt 5207	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
19		nfcv 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑛
20	18, 19	nffv 6921	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)
21		nfcv 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
22	20, 21	nffv 6921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
23		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥)
24	15, 22, 23	cbvitg 26129	. . . . . 6 ⊢ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥
25		fveq2 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘))
26	25	fveq1d 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
27	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
28	27	itgeq2dv 26135	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
29	24, 28	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
30	13, 14, 29	cbvmpt 5211	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
31		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝑍)
32		ulmscl 26739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) → 𝑆 ∈ V)
33		mptexg 7253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
34	5, 32, 33	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
35	34	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
36		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
37	36	fvmpt2 7031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
38	31, 35, 37	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
39	38	fveq1d 6913	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥))
40		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
41	34	ralrimivw 3162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
42	36	fnmpt 6704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
44		ulmf2 26744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
45	43, 5, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
46	45	fvmptelcdm 7140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
47		elmapi 8900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
49	48	fvmptelcdm 7140	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
50		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
51	50	fvmpt2 7031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
52	40, 49, 51	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
53	39, 52	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = 𝐴)
54	53	itgeq2dv 26135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐴 d𝑥)
55	54	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
56	30, 55	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
57		fveq2 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥))
58		nffvmpt1 6922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧)
59		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥)
60	57, 58, 59	cbvitg 26129	. . . 4 ⊢ ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) d𝑥
61		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
62		ulmcl 26741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℂ)
63	5, 62	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℂ)
64	63	fvmptelcdm 7140	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
65		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)
66	65	fvmpt2 7031	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
67	61, 64, 66	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
68	67	itgeq2dv 26135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
69	60, 68	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
70	8, 56, 69	3brtr3d 5140	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥)
71	7, 70	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ↑_m cmap 8878  ℂcc 11228  ℝcr 11229  ℤcz 12723  ℤ_≥cuz 12995   ⇝ cli 15683  volcvol 25817  𝐿¹cibl 25971  ∫citg 25972  ⇝_𝑢culm 26736

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cc 10543  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-ofr 7721  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-dju 10012  df-card 10050  df-acn 10053  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ioc 13511  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-cmp 23738  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cncf 25232  df-ovol 25818  df-vol 25819  df-mbf 25973  df-itg1 25974  df-itg2 25975  df-ibl 25976  df-itg 25977  df-0p 26024  df-ulm 26737

This theorem is used by: (None)