MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgulm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgulm2 25784
Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
itgulm2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
itgulm2.l ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
itgulm2.u (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
itgulm2.s (πœ‘ β†’ (volβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itgulm2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯) ⇝ βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,πœ‘   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝑀(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem itgulm2
Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm2.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 itgulm2.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 itgulm2.l . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
43fmpttd 7068 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):π‘βŸΆπΏ1)
5 itgulm2.u . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
6 itgulm2.s . . 3 (πœ‘ β†’ (volβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
71, 2, 4, 5, 6iblulm 25782 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
81, 2, 4, 5, 6itgulm 25783 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧) ⇝ βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) d𝑧)
9 nfcv 2908 . . . . . 6 β„²π‘˜π‘†
10 nffvmpt1 6858 . . . . . . 7 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)
11 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²π‘˜π‘§
1210, 11nffv 6857 . . . . . 6 β„²π‘˜(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§)
139, 12nfitg 25155 . . . . 5 β„²π‘˜βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧
14 nfcv 2908 . . . . 5 β„²π‘›βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯
15 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
16 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝑍
17 nfmpt1 5218 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
1816, 17nfmpt 5217 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
19 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝑛
2018, 19nffv 6857 . . . . . . . 8 β„²π‘₯((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)
21 nfcv 2908 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑧
2220, 21nffv 6857 . . . . . . 7 β„²π‘₯(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§)
23 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)
2415, 22, 23cbvitg 25156 . . . . . 6 βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧 = βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) dπ‘₯
25 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜))
2625fveq1d 6849 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
2726adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑛 = π‘˜ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
2827itgeq2dv 25162 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯)
2924, 28eqtrid 2789 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧 = βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯)
3013, 14, 29cbvmpt 5221 . . . 4 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯)
31 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
32 ulmscl 25754 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ V)
33 mptexg 7176 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
345, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
36 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
3736fvmpt2 6964 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
3831, 35, 37syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
3938fveq1d 6849 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯))
40 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
4134ralrimivw 3148 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
4236fnmpt 6646 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
44 ulmf2 25759 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍 ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
4543, 5, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
4645fvmptelcdm 7066 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
47 elmapi 8794 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):π‘†βŸΆβ„‚)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):π‘†βŸΆβ„‚)
4948fvmptelcdm 7066 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
50 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
5150fvmpt2 6964 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯) = 𝐴)
5240, 49, 51syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯) = 𝐴)
5339, 52eqtrd 2777 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = 𝐴)
5453itgeq2dv 25162 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯)
5554mpteq2dva 5210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯))
5630, 55eqtrid 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯))
57 fveq2 6847 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
58 nffvmpt1 6858 . . . . 5 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)
59 nfcv 2908 . . . . 5 Ⅎ𝑧((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)
6057, 58, 59cbvitg 25156 . . . 4 βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) d𝑧 = βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) dπ‘₯
61 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
62 ulmcl 25756 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡):π‘†βŸΆβ„‚)
635, 62syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡):π‘†βŸΆβ„‚)
6463fvmptelcdm 7066 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
65 eqid 2737 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)
6665fvmpt2 6964 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
6761, 64, 66syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
6867itgeq2dv 25162 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯)
6960, 68eqtrid 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) d𝑧 = βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯)
708, 56, 693brtr3d 5141 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯) ⇝ βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯)
717, 70jca 513 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯) ⇝ βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  β„cr 11057  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770   ⇝ cli 15373  volcvol 24843  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-ulm 25752
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator