MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgulm2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itgulm2 26158
Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
itgulm2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
itgulm2.l ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
itgulm2.u (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
itgulm2.s (πœ‘ β†’ (volβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itgulm2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯) ⇝ βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,πœ‘   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝑀(π‘₯,π‘˜)
Proof of Theorem itgulm2
Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm2.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 itgulm2.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 itgulm2.l . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
43fmpttd 7116 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):π‘βŸΆπΏ1)
5 itgulm2.u . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
6 itgulm2.s . . 3 (πœ‘ β†’ (volβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
71, 2, 4, 5, 6iblulm 26156 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
81, 2, 4, 5, 6itgulm 26157 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧) ⇝ βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) d𝑧)
9 nfcv 2902 . . . . . 6 β„²π‘˜π‘†
10 nffvmpt1 6902 . . . . . . 7 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)
11 nfcv 2902 . . . . . . 7 β„²π‘˜π‘§
1210, 11nffv 6901 . . . . . 6 β„²π‘˜(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§)
139, 12nfitg 25525 . . . . 5 β„²π‘˜βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧
14 nfcv 2902 . . . . 5 β„²π‘›βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯
15 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
16 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝑍
17 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
1816, 17nfmpt 5255 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
19 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝑛
2018, 19nffv 6901 . . . . . . . 8 β„²π‘₯((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)
21 nfcv 2902 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑧
2220, 21nffv 6901 . . . . . . 7 β„²π‘₯(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§)
23 nfcv 2902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)
2415, 22, 23cbvitg 25526 . . . . . 6 βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧 = βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) dπ‘₯
25 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜))
2625fveq1d 6893 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑛 = π‘˜ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
2827itgeq2dv 25532 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯)
2924, 28eqtrid 2783 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧 = βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯)
3013, 14, 29cbvmpt 5259 . . . 4 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯)
31 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
32 ulmscl 26128 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ V)
33 mptexg 7225 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
345, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
3534ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
36 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
3736fvmpt2 7009 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
3831, 35, 37syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
3938fveq1d 6893 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯))
40 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
4134ralrimivw 3149 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
4236fnmpt 6690 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
44 ulmf2 26133 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍 ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
4543, 5, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
4645fvmptelcdm 7114 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
47 elmapi 8846 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):π‘†βŸΆβ„‚)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):π‘†βŸΆβ„‚)
4948fvmptelcdm 7114 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
50 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
5150fvmpt2 7009 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯) = 𝐴)
5240, 49, 51syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯) = 𝐴)
5339, 52eqtrd 2771 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = 𝐴)
5453itgeq2dv 25532 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯)
5554mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯))
5630, 55eqtrid 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯))
57 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
58 nffvmpt1 6902 . . . . 5 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)
59 nfcv 2902 . . . . 5 Ⅎ𝑧((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)
6057, 58, 59cbvitg 25526 . . . 4 βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) d𝑧 = βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) dπ‘₯
61 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
62 ulmcl 26130 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡):π‘†βŸΆβ„‚)
635, 62syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡):π‘†βŸΆβ„‚)
6463fvmptelcdm 7114 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
65 eqid 2731 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)
6665fvmpt2 7009 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
6761, 64, 66syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
6867itgeq2dv 25532 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯)
6960, 68eqtrid 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) d𝑧 = βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯)
708, 56, 693brtr3d 5179 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯) ⇝ βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯)
717, 70jca 511 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯) ⇝ βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8823  β„‚cc 11111  β„cr 11112  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827   ⇝ cli 15433  volcvol 25213  πΏ1cibl 25367  βˆ«citg 25368  β‡π‘’culm 26125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-itg 25373  df-0p 25420  df-ulm 26126
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator