Theorem itgulm2 26374

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm2.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
itgulm2.u	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
itgulm2.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgulm2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝜑   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem itgulm2

Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		itgulm2.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
4	3	fmpttd 7067	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶𝐿1)
5		itgulm2.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
6		itgulm2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
7	1, 2, 4, 5, 6	iblulm 26372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
8	1, 2, 4, 5, 6	itgulm 26373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) ⇝ ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧)
9		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
10		nffvmpt1 6851	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)
11		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑧
12	10, 11	nffv 6850	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
13	9, 12	nfitg 25742	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧
14		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥
15		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥))
16		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
17		nfmpt1 5184	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
18	16, 17	nfmpt 5183	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
19		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑛
20	18, 19	nffv 6850	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)
21		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
22	20, 21	nffv 6850	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
23		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥)
24	15, 22, 23	cbvitg 25743	. . . . . 6 ⊢ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥
25		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘))
26	25	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
28	27	itgeq2dv 25749	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
29	24, 28	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
30	13, 14, 29	cbvmpt 5187	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
31		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝑍)
32		ulmscl 26344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) → 𝑆 ∈ V)
33		mptexg 7176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
34	5, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
35	34	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
36		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
37	36	fvmpt2 6959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
38	31, 35, 37	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
39	38	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥))
40		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
41	34	ralrimivw 3133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
42	36	fnmpt 6638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
44		ulmf2 26349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
45	43, 5, 44	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
46	45	fvmptelcdm 7065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
47		elmapi 8796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
49	48	fvmptelcdm 7065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
50		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
51	50	fvmpt2 6959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
52	40, 49, 51	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
53	39, 52	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = 𝐴)
54	53	itgeq2dv 25749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐴 d𝑥)
55	54	mpteq2dva 5178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
56	30, 55	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
57		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥))
58		nffvmpt1 6851	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧)
59		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥)
60	57, 58, 59	cbvitg 25743	. . . 4 ⊢ ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) d𝑥
61		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
62		ulmcl 26346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℂ)
63	5, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℂ)
64	63	fvmptelcdm 7065	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
65		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)
66	65	fvmpt2 6959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
67	61, 64, 66	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
68	67	itgeq2dv 25749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
69	60, 68	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
70	8, 56, 69	3brtr3d 5116	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥)
71	7, 70	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  ℂcc 11036  ℝcr 11037  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788   ⇝ cli 15446  volcvol 25430  𝐿¹cibl 25584  ∫citg 25585  ⇝_𝑢culm 26341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-cmp 23352  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-mbf 25586  df-itg1 25587  df-itg2 25588  df-ibl 25589  df-itg 25590  df-0p 25637  df-ulm 26342

This theorem is referenced by: (None)