MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgulm2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itgulm2 25928
Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
itgulm2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
itgulm2.l ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
itgulm2.u (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
itgulm2.s (πœ‘ β†’ (volβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itgulm2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯) ⇝ βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,πœ‘   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝑀(π‘₯,π‘˜)
Proof of Theorem itgulm2
Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm2.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 itgulm2.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 itgulm2.l . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
43fmpttd 7116 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):π‘βŸΆπΏ1)
5 itgulm2.u . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
6 itgulm2.s . . 3 (πœ‘ β†’ (volβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
71, 2, 4, 5, 6iblulm 25926 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
81, 2, 4, 5, 6itgulm 25927 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧) ⇝ βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) d𝑧)
9 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘˜π‘†
10 nffvmpt1 6902 . . . . . . 7 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)
11 nfcv 2903 . . . . . . 7 β„²π‘˜π‘§
1210, 11nffv 6901 . . . . . 6 β„²π‘˜(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§)
139, 12nfitg 25299 . . . . 5 β„²π‘˜βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧
14 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘›βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯
15 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
16 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝑍
17 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
1816, 17nfmpt 5255 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
19 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝑛
2018, 19nffv 6901 . . . . . . . 8 β„²π‘₯((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)
21 nfcv 2903 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑧
2220, 21nffv 6901 . . . . . . 7 β„²π‘₯(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§)
23 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)
2415, 22, 23cbvitg 25300 . . . . . 6 βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧 = βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) dπ‘₯
25 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜))
2625fveq1d 6893 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑛 = π‘˜ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
2827itgeq2dv 25306 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯)
2924, 28eqtrid 2784 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧 = βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯)
3013, 14, 29cbvmpt 5259 . . . 4 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯)
31 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
32 ulmscl 25898 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ V)
33 mptexg 7225 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
345, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
3534ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
36 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
3736fvmpt2 7009 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
3831, 35, 37syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
3938fveq1d 6893 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯))
40 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
4134ralrimivw 3150 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
4236fnmpt 6690 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
44 ulmf2 25903 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍 ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
4543, 5, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
4645fvmptelcdm 7114 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
47 elmapi 8845 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):π‘†βŸΆβ„‚)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):π‘†βŸΆβ„‚)
4948fvmptelcdm 7114 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
50 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
5150fvmpt2 7009 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯) = 𝐴)
5240, 49, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯) = 𝐴)
5339, 52eqtrd 2772 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = 𝐴)
5453itgeq2dv 25306 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯)
5554mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) dπ‘₯) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯))
5630, 55eqtrid 2784 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))β€˜π‘›)β€˜π‘§) d𝑧) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯))
57 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
58 nffvmpt1 6902 . . . . 5 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)
59 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑧((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)
6057, 58, 59cbvitg 25300 . . . 4 βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) d𝑧 = βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) dπ‘₯
61 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
62 ulmcl 25900 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(β‡π‘’β€˜π‘†)(π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡):π‘†βŸΆβ„‚)
635, 62syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡):π‘†βŸΆβ„‚)
6463fvmptelcdm 7114 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
65 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)
6665fvmpt2 7009 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
6761, 64, 66syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
6867itgeq2dv 25306 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯)
6960, 68eqtrid 2784 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ«π‘†((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) d𝑧 = βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯)
708, 56, 693brtr3d 5179 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯) ⇝ βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯)
717, 70jca 512 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ βˆ«π‘†π΄ dπ‘₯) ⇝ βˆ«π‘†π΅ dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  β„cr 11111  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824   ⇝ cli 15430  volcvol 24987  πΏ1cibl 25141  βˆ«citg 25142  β‡π‘’culm 25895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-mbf 25143  df-itg1 25144  df-itg2 25145  df-ibl 25146  df-itg 25147  df-0p 25194  df-ulm 25896
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator