MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgulm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgulm2 26466
Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
itgulm2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
itgulm2.l ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝐿1)
itgulm2.u (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵))
itgulm2.s (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itgulm2 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝜑   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem itgulm2
Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 itgulm2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 itgulm2.l . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝐿1)
43fmpttd 7134 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)):𝑍⟶𝐿1)
5 itgulm2.u . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵))
6 itgulm2.s . . 3 (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
71, 2, 4, 5, 6iblulm 26464 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ∈ 𝐿1)
81, 2, 4, 5, 6itgulm 26465 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) ⇝ ∫𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧) d𝑧)
9 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑘𝑆
10 nffvmpt1 6917 . . . . . . 7 𝑘((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)
11 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑘𝑧
1210, 11nffv 6916 . . . . . 6 𝑘(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
139, 12nfitg 25824 . . . . 5 𝑘𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧
14 nfcv 2902 . . . . 5 𝑛𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥
15 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) = (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥))
16 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑍
17 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥𝑆𝐴)
1816, 17nfmpt 5254 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))
19 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑥𝑛
2018, 19nffv 6916 . . . . . . . 8 𝑥((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)
21 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑥𝑧
2220, 21nffv 6916 . . . . . . 7 𝑥(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
23 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑧(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥)
2415, 22, 23cbvitg 25825 . . . . . 6 𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥
25 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛) = ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘))
2625fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑘𝑥𝑆) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
2827itgeq2dv 25831 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
2924, 28eqtrid 2786 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
3013, 14, 29cbvmpt 5258 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
31 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑘𝑍)
32 ulmscl 26436 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ V)
33 mptexg 7240 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ V → (𝑥𝑆𝐴) ∈ V)
345, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐴) ∈ V)
3534ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ V)
36 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))
3736fvmpt2 7026 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍 ∧ (𝑥𝑆𝐴) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘) = (𝑥𝑆𝐴))
3831, 35, 37syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘) = (𝑥𝑆𝐴))
3938fveq1d 6908 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑥))
40 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
4134ralrimivw 3147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝑥𝑆𝐴) ∈ V)
4236fnmpt 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘𝑍 (𝑥𝑆𝐴) ∈ V → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)) Fn 𝑍)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)) Fn 𝑍)
44 ulmf2 26441 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)) Fn 𝑍 ∧ (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵)) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
4543, 5, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
4645fvmptelcdm 7132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
47 elmapi 8887 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑆𝐴) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℂ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℂ)
4948fvmptelcdm 7132 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
50 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆𝐴) = (𝑥𝑆𝐴)
5150fvmpt2 7026 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑆𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
5240, 49, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
5339, 52eqtrd 2774 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = 𝐴)
5453itgeq2dv 25831 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐴 d𝑥)
5554mpteq2dva 5247 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
5630, 55eqtrid 2786 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
57 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧) = ((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥))
58 nffvmpt1 6917 . . . . 5 𝑥((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧)
59 nfcv 2902 . . . . 5 𝑧((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥)
6057, 58, 59cbvitg 25825 . . . 4 𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥) d𝑥
61 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
62 ulmcl 26438 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑥𝑆𝐴))(⇝𝑢𝑆)(𝑥𝑆𝐵) → (𝑥𝑆𝐵):𝑆⟶ℂ)
635, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵):𝑆⟶ℂ)
6463fvmptelcdm 7132 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
65 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑥𝑆𝐵) = (𝑥𝑆𝐵)
6665fvmpt2 7026 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
6761, 64, 66syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
6867itgeq2dv 25831 . . . 4 (𝜑 → ∫𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
6960, 68eqtrid 2786 . . 3 (𝜑 → ∫𝑆((𝑥𝑆𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
708, 56, 693brtr3d 5178 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥)
717, 70jca 511 1 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  cc 11150  cr 11151  cz 12610  cuz 12875  cli 15516  volcvol 25511  𝐿1cibl 25665  citg 25666  𝑢culm 26433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-ulm 26434
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator