Theorem itgulm2 26741

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm2.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
itgulm2.u	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
itgulm2.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgulm2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝜑   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑘)   𝐵(𝑥, 𝑘)   𝑀(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem itgulm2

Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		itgulm2.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
4	3	fmpttd 7115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶𝐿1)
5		itgulm2.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
6		itgulm2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
7	1, 2, 4, 5, 6	iblulm 26739	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
8	1, 2, 4, 5, 6	itgulm 26740	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) ⇝ ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧)
9		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
10		nffvmpt1 6896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)
11		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑧
12	10, 11	nffv 6895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
13	9, 12	nfitg 26100	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧
14		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥
15		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥))
16		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
17		nfmpt1 5203	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
18	16, 17	nfmpt 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
19		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑛
20	18, 19	nffv 6895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)
21		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
22	20, 21	nffv 6895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
23		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥)
24	15, 22, 23	cbvitg 26101	. . . . . 6 ⊢ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥
25		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘))
26	25	fveq1d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
27	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
28	27	itgeq2dv 26107	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
29	24, 28	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
30	13, 14, 29	cbvmpt 5206	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
31		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝑍)
32		ulmscl 26711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) → 𝑆 ∈ V)
33		mptexg 7227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
34	5, 32, 33	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
35	34	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
36		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
37	36	fvmpt2 7005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
38	31, 35, 37	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
39	38	fveq1d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥))
40		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
41	34	ralrimivw 3158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
42	36	fnmpt 6679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
44		ulmf2 26716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
45	43, 5, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
46	45	fvmptelcdm 7113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
47		elmapi 8872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
49	48	fvmptelcdm 7113	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
50		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
51	50	fvmpt2 7005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
52	40, 49, 51	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
53	39, 52	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = 𝐴)
54	53	itgeq2dv 26107	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐴 d𝑥)
55	54	mpteq2dva 5197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
56	30, 55	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
57		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥))
58		nffvmpt1 6896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧)
59		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥)
60	57, 58, 59	cbvitg 26101	. . . 4 ⊢ ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) d𝑥
61		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
62		ulmcl 26713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℂ)
63	5, 62	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℂ)
64	63	fvmptelcdm 7113	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
65		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)
66	65	fvmpt2 7005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
67	61, 64, 66	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
68	67	itgeq2dv 26107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
69	60, 68	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
70	8, 56, 69	3brtr3d 5135	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥)
71	7, 70	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8850  ℂcc 11201  ℝcr 11202  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968   ⇝ cli 15656  volcvol 25789  𝐿¹cibl 25943  ∫citg 25944  ⇝_𝑢culm 26708

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cc 10516  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-omul 8484  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023  df-acn 10026  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-cmp 23710  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-ovol 25790  df-vol 25791  df-mbf 25945  df-itg1 25946  df-itg2 25947  df-ibl 25948  df-itg 25949  df-0p 25996  df-ulm 26709

This theorem is used by: (None)