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Theorem mtestbdd 26357
Description: Given the hypotheses of the Weierstrass M-test, the convergent function of the sequence is uniformly bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
mtest.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
mtest.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
mtest.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
mtest.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘Š)
mtest.c ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
mtest.l ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
mtest.d (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ )
mtest.t (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑇)
Assertion
Ref Expression
mtestbdd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑧,𝐹   π‘˜,𝑀,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝑁,π‘₯,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑧   π‘₯,𝑇,𝑧   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑧   𝑆,π‘˜,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘˜)   𝑉(π‘₯,𝑧,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem mtestbdd
Dummy variables 𝑗 𝑛 π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2 mtest.d . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ )
3 mtest.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
4 mtest.c . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
54recnd 11270 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
63, 1, 5serf 14025 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝑀):π‘βŸΆβ„‚)
76ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
87ralrimiva 3136 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
93climbdd 15648 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š) ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)
101, 2, 8, 9syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)
111adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
12 seqfn 14008 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
131, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
143fneq2i 6645 . . . . . 6 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍 ↔ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
1513, 14sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍)
16 mtest.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑇)
17 ulmf2 26336 . . . . 5 ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍 ∧ seq𝑁( ∘f + , 𝐹)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑇) β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
1815, 16, 17syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
1918adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
20 simplrl 775 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
21 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))
2221mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))
2322seqeq3d 14004 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))) = seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))))
2423fveq1d 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›) = (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›))
25 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›))
26 fvex 6903 . . . . . . . . . 10 (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›) ∈ V
2724, 25, 26fvmpt 6998 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›))
2827adantl 480 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›))
29 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
3029ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
3130feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)))
3230ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
33 elmapi 8864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
3534feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))
3635mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
3731, 36eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
3837seqeq3d 14004 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) = seq𝑁( ∘f + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))))
3938fveq1d 6892 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›) = (seq𝑁( ∘f + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))))β€˜π‘›))
40 mtest.s . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4140ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
42 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
4342, 3eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
44 elfzuz 13527 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
4544, 3eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4645ssriv 3976 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁...𝑛) βŠ† 𝑍
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁...𝑛) βŠ† 𝑍)
4834ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4948anasss 465 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5041, 43, 47, 49seqof2 14055 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (seq𝑁( ∘f + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))))β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›)))
5139, 50eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›)))
5251fveq1d 6892 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›))β€˜π‘§))
5345adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
54 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘˜))
5554fveq1d 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
56 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))
57 fvex 6903 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ V
5855, 56, 57fvmpt 6998 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
5953, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
60 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
6134, 60ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
6261fmpttd 7118 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)):π‘βŸΆβ„‚)
6362ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6445, 63sylan2 591 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6559, 64eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
6659, 43, 65fsumser 15706 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›))
6728, 52, 663eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
6867fveq2d 6894 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
69 fzfid 13968 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁...𝑛) ∈ Fin)
7069, 65fsumcl 15709 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
7170abscld 15413 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
7265abscld 15413 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
7369, 72fsumrecl 15710 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
7420adantr 479 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
7569, 65fsumabs 15777 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
76 simp-4l 781 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ πœ‘)
7776, 53, 4syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7869, 77fsumrecl 15710 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
79 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
80 mtest.l . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
8176, 53, 79, 80syl12anc 835 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
8269, 72, 77, 81fsumle 15775 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜))
8378recnd 11270 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8483abscld 15413 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
8578leabsd 15391 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜)))
86 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) = (π‘€β€˜π‘˜))
8776, 53, 5syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8886, 43, 87fsumser 15706 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) = (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›))
8988fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜)) = (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)))
90 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)
91 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 𝑛 β†’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š) = (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›))
9291fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑛 β†’ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) = (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)))
9392breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ ((absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦 ↔ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)) ≀ 𝑦))
9493rspccva 3600 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)) ≀ 𝑦)
9590, 94sylan 578 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)) ≀ 𝑦)
9695adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)) ≀ 𝑦)
9789, 96eqbrtrd 5163 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜)) ≀ 𝑦)
9878, 84, 74, 85, 97letrd 11399 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) ≀ 𝑦)
9973, 78, 74, 82, 98letrd 11399 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
10071, 73, 74, 75, 99letrd 11399 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
10168, 100eqbrtrd 5163 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
102101ralrimiva 3136 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
103 brralrspcev 5201 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
10420, 102, 103syl2anc 582 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
10516adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑇)
1063, 11, 19, 104, 105ulmbdd 26350 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
10710, 106rexlimddv 3151 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5670   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414   ∘f cof 7678   ↑m cmap 8841  β„‚cc 11134  β„cr 11135   + caddc 11139   ≀ cle 11277  β„€cz 12586  β„€β‰₯cuz 12850  ...cfz 13514  seqcseq 13996  abscabs 15211   ⇝ cli 15458  Ξ£csu 15662  β‡π‘’culm 26328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13360  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-ulm 26329
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  26982
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