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Theorem mtestbdd 25780
Description: Given the hypotheses of the Weierstrass M-test, the convergent function of the sequence is uniformly bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
mtest.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
mtest.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
mtest.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
mtest.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘Š)
mtest.c ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
mtest.l ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
mtest.d (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ )
mtest.t (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑇)
Assertion
Ref Expression
mtestbdd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑧,𝐹   π‘˜,𝑀,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝑁,π‘₯,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑧   π‘₯,𝑇,𝑧   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑧   𝑆,π‘˜,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘˜)   𝑉(π‘₯,𝑧,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem mtestbdd
Dummy variables 𝑗 𝑛 π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2 mtest.d . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ )
3 mtest.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
4 mtest.c . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
54recnd 11190 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
63, 1, 5serf 13943 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝑀):π‘βŸΆβ„‚)
76ffvelcdmda 7040 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
87ralrimiva 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
93climbdd 15563 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š) ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)
101, 2, 8, 9syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)
111adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
12 seqfn 13925 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
131, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
143fneq2i 6605 . . . . . 6 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍 ↔ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
1513, 14sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍)
16 mtest.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑇)
17 ulmf2 25759 . . . . 5 ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍 ∧ seq𝑁( ∘f + , 𝐹)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑇) β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
1815, 16, 17syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
1918adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
20 simplrl 776 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
21 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))
2221mpteq2dv 5212 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))
2322seqeq3d 13921 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))) = seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))))
2423fveq1d 6849 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›) = (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›))
25 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›))
26 fvex 6860 . . . . . . . . . 10 (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›) ∈ V
2724, 25, 26fvmpt 6953 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›))
2827adantl 483 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›))
29 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
3029ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
3130feqmptd 6915 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)))
3230ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
33 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
3534feqmptd 6915 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))
3635mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
3731, 36eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
3837seqeq3d 13921 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) = seq𝑁( ∘f + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))))
3938fveq1d 6849 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›) = (seq𝑁( ∘f + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))))β€˜π‘›))
40 mtest.s . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4140ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
42 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
4342, 3eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
44 elfzuz 13444 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
4544, 3eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4645ssriv 3953 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁...𝑛) βŠ† 𝑍
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁...𝑛) βŠ† 𝑍)
4834ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4948anasss 468 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5041, 43, 47, 49seqof2 13973 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (seq𝑁( ∘f + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))))β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›)))
5139, 50eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›)))
5251fveq1d 6849 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›))β€˜π‘§))
5345adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
54 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘˜))
5554fveq1d 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
56 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))
57 fvex 6860 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ V
5855, 56, 57fvmpt 6953 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
5953, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
60 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
6134, 60ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
6261fmpttd 7068 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)):π‘βŸΆβ„‚)
6362ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6445, 63sylan2 594 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6559, 64eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
6659, 43, 65fsumser 15622 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›))
6728, 52, 663eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
6867fveq2d 6851 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
69 fzfid 13885 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁...𝑛) ∈ Fin)
7069, 65fsumcl 15625 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
7170abscld 15328 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
7265abscld 15328 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
7369, 72fsumrecl 15626 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
7420adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
7569, 65fsumabs 15693 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
76 simp-4l 782 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ πœ‘)
7776, 53, 4syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7869, 77fsumrecl 15626 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
79 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
80 mtest.l . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
8176, 53, 79, 80syl12anc 836 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
8269, 72, 77, 81fsumle 15691 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜))
8378recnd 11190 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8483abscld 15328 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
8578leabsd 15306 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜)))
86 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) = (π‘€β€˜π‘˜))
8776, 53, 5syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8886, 43, 87fsumser 15622 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) = (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›))
8988fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜)) = (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)))
90 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)
91 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 𝑛 β†’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š) = (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›))
9291fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑛 β†’ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) = (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)))
9392breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ ((absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦 ↔ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)) ≀ 𝑦))
9493rspccva 3583 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)) ≀ 𝑦)
9590, 94sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)) ≀ 𝑦)
9695adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)) ≀ 𝑦)
9789, 96eqbrtrd 5132 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜)) ≀ 𝑦)
9878, 84, 74, 85, 97letrd 11319 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) ≀ 𝑦)
9973, 78, 74, 82, 98letrd 11319 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
10071, 73, 74, 75, 99letrd 11319 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
10168, 100eqbrtrd 5132 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
102101ralrimiva 3144 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
103 brralrspcev 5170 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
10420, 102, 103syl2anc 585 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
10516adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑇)
1063, 11, 19, 104, 105ulmbdd 25773 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
10710, 106rexlimddv 3159 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  β„cr 11057   + caddc 11061   ≀ cle 11197  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  seqcseq 13913  abscabs 15126   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  26399
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