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Theorem mtestbdd 26296
Description: Given the hypotheses of the Weierstrass M-test, the convergent function of the sequence is uniformly bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
mtest.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
mtest.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
mtest.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
mtest.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘Š)
mtest.c ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
mtest.l ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
mtest.d (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ )
mtest.t (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑇)
Assertion
Ref Expression
mtestbdd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑧,𝐹   π‘˜,𝑀,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝑁,π‘₯,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑧   π‘₯,𝑇,𝑧   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑧   𝑆,π‘˜,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘˜)   𝑉(π‘₯,𝑧,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem mtestbdd
Dummy variables 𝑗 𝑛 π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2 mtest.d . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ )
3 mtest.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
4 mtest.c . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
54recnd 11246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
63, 1, 5serf 14001 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝑀):π‘βŸΆβ„‚)
76ffvelcdmda 7080 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
87ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
93climbdd 15624 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š) ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)
101, 2, 8, 9syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)
111adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
12 seqfn 13984 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
131, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
143fneq2i 6641 . . . . . 6 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍 ↔ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
1513, 14sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍)
16 mtest.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑇)
17 ulmf2 26275 . . . . 5 ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍 ∧ seq𝑁( ∘f + , 𝐹)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑇) β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
1815, 16, 17syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
1918adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
20 simplrl 774 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
21 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))
2221mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))
2322seqeq3d 13980 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))) = seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))))
2423fveq1d 6887 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›) = (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›))
25 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›))
26 fvex 6898 . . . . . . . . . 10 (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›) ∈ V
2724, 25, 26fvmpt 6992 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›))
2827adantl 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›))β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›))
29 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
3029ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
3130feqmptd 6954 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)))
3230ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
33 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
3534feqmptd 6954 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))
3635mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘—)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
3731, 36eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
3837seqeq3d 13980 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) = seq𝑁( ∘f + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))))
3938fveq1d 6887 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›) = (seq𝑁( ∘f + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))))β€˜π‘›))
40 mtest.s . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4140ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
42 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
4342, 3eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
44 elfzuz 13503 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
4544, 3eleqtrrdi 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4645ssriv 3981 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁...𝑛) βŠ† 𝑍
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁...𝑛) βŠ† 𝑍)
4834ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4948anasss 466 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5041, 43, 47, 49seqof2 14031 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (seq𝑁( ∘f + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))))β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›)))
5139, 50eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›)))
5251fveq1d 6887 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))β€˜π‘›))β€˜π‘§))
5345adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
54 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘˜))
5554fveq1d 6887 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
56 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))
57 fvex 6898 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ V
5855, 56, 57fvmpt 6992 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
5953, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
60 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
6134, 60ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
6261fmpttd 7110 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)):π‘βŸΆβ„‚)
6362ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6445, 63sylan2 592 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6559, 64eqeltrrd 2828 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
6659, 43, 65fsumser 15682 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘§)))β€˜π‘›))
6728, 52, 663eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
6867fveq2d 6889 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
69 fzfid 13944 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁...𝑛) ∈ Fin)
7069, 65fsumcl 15685 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
7170abscld 15389 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
7265abscld 15389 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
7369, 72fsumrecl 15686 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
7420adantr 480 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
7569, 65fsumabs 15753 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
76 simp-4l 780 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ πœ‘)
7776, 53, 4syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7869, 77fsumrecl 15686 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
79 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
80 mtest.l . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
8176, 53, 79, 80syl12anc 834 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
8269, 72, 77, 81fsumle 15751 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜))
8378recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8483abscld 15389 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
8578leabsd 15367 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜)))
86 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) = (π‘€β€˜π‘˜))
8776, 53, 5syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8886, 43, 87fsumser 15682 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) = (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›))
8988fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜)) = (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)))
90 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)
91 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 𝑛 β†’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š) = (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›))
9291fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑛 β†’ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) = (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)))
9392breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ ((absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦 ↔ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)) ≀ 𝑦))
9493rspccva 3605 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)) ≀ 𝑦)
9590, 94sylan 579 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)) ≀ 𝑦)
9695adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘›)) ≀ 𝑦)
9789, 96eqbrtrd 5163 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜)) ≀ 𝑦)
9878, 84, 74, 85, 97letrd 11375 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(π‘€β€˜π‘˜) ≀ 𝑦)
9973, 78, 74, 82, 98letrd 11375 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
10071, 73, 74, 75, 99letrd 11375 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
10168, 100eqbrtrd 5163 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
102101ralrimiva 3140 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
103 brralrspcev 5201 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
10420, 102, 103syl2anc 583 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘›)β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
10516adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝑇)
1063, 11, 19, 104, 105ulmbdd 26289 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (absβ€˜(seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘š)) ≀ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
10710, 106rexlimddv 3155 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  β„cr 11111   + caddc 11115   ≀ cle 11253  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972  abscabs 15187   ⇝ cli 15434  Ξ£csu 15638  β‡π‘’culm 26267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-ulm 26268
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  26921
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