Theorem uzinfi 12931

Description: Extract the lower bound of an upper set of integers as its infimum. (Contributed by NM, 7-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinfi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
uzinfi	⊢ inf((ℤ≥‘𝑀), ℝ, < ) = 𝑀

Proof of Theorem uzinfi

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinfi.1	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
2		ltso 11265	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → < Or ℝ)
4		zre 12574	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		uzid 12856	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluz2 12847	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
7	4	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		zre 12574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
9	8	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10	7, 9	lenltd 11331	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 𝑀))
11	10	biimp3a 1492	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
12	11	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
13	6, 12	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
14	13	impcom 411	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
15	3, 4, 5, 14	infmin 9444	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → inf((ℤ≥‘𝑀), ℝ, < ) = 𝑀)
16	1, 15	ax-mp 5	1 ⊢ inf((ℤ≥‘𝑀), ℝ, < ) = 𝑀

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   Or wor 5556  ‘cfv 6523  infcinf 9389  ℝcr 11074   < clt 11218   ≤ cle 11219  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-neg 11419  df-z 12571  df-uz 12842

This theorem is referenced by:  nninf  12932  nn0inf  12933