Theorem uzinfi 12887

Description: Extract the lower bound of an upper set of integers as its infimum. (Contributed by NM, 7-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinfi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
uzinfi	⊢ inf((ℤ≥‘𝑀), ℝ, < ) = 𝑀

Proof of Theorem uzinfi

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinfi.1	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
2		ltso 11254	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → < Or ℝ)
4		zre 12533	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		uzid 12808	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluz2 12799	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
7	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		zre 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10	7, 9	lenltd 11320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 𝑀))
11	10	biimp3a 1471	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
12	11	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
13	6, 12	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
14	13	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
15	3, 4, 5, 14	infmin 9447	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → inf((ℤ≥‘𝑀), ℝ, < ) = 𝑀)
16	1, 15	ax-mp 5	1 ⊢ inf((ℤ≥‘𝑀), ℝ, < ) = 𝑀

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107   Or wor 5545  ‘cfv 6511  infcinf 9392  ℝcr 11067   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  nninf  12888  nn0inf  12889