MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzinfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinfi 12971
Description: Extract the lower bound of an upper set of integers as its infimum. (Contributed by NM, 7-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
uzinfi.1 𝑀 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
uzinfi inf((ℤ𝑀), ℝ, < ) = 𝑀

Proof of Theorem uzinfi
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzinfi.1 . 2 𝑀 ∈ ℤ
2 ltso 11342 . . . 4 < Or ℝ
32a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → < Or ℝ)
4 zre 12619 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5 uzid 12894 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
6 eluz2 12885 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
74adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 zre 12619 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
98adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
107, 9lenltd 11408 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 𝑀))
1110biimp3a 1470 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
1211a1d 25 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
136, 12sylbi 217 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
1413impcom 407 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
153, 4, 5, 14infmin 9535 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → inf((ℤ𝑀), ℝ, < ) = 𝑀)
161, 15ax-mp 5 1 inf((ℤ𝑀), ℝ, < ) = 𝑀
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142   Or wor 5590  cfv 6560  infcinf 9482  cr 11155   < clt 11296  cle 11297  cz 12615  cuz 12879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-neg 11496  df-z 12616  df-uz 12880
This theorem is referenced by:  nninf  12972  nn0inf  12973
  Copyright terms: Public domain W3C validator