MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzinfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinfi 12968
Description: Extract the lower bound of an upper set of integers as its infimum. (Contributed by NM, 7-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
uzinfi.1 𝑀 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
uzinfi inf((ℤ𝑀), ℝ, < ) = 𝑀

Proof of Theorem uzinfi
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzinfi.1 . 2 𝑀 ∈ ℤ
2 ltso 11339 . . . 4 < Or ℝ
32a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → < Or ℝ)
4 zre 12615 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5 uzid 12891 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
6 eluz2 12882 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
74adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 zre 12615 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
98adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
107, 9lenltd 11405 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 𝑀))
1110biimp3a 1468 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
1211a1d 25 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
136, 12sylbi 217 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
1413impcom 407 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
153, 4, 5, 14infmin 9532 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → inf((ℤ𝑀), ℝ, < ) = 𝑀)
161, 15ax-mp 5 1 inf((ℤ𝑀), ℝ, < ) = 𝑀
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148   Or wor 5596  cfv 6563  infcinf 9479  cr 11152   < clt 11293  cle 11294  cz 12611  cuz 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by:  nninf  12969  nn0inf  12970
  Copyright terms: Public domain W3C validator