Theorem uzinfi 13079

Description: Extract the lower bound of an upper set of integers as its infimum. (Contributed by NM, 7-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinfi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
uzinfi	⊢ inf((ℤ≥‘𝑀), ℝ, < ) = 𝑀

Proof of Theorem uzinfi

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinfi.1	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
2		ltso 11414	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → < Or ℝ)
4		zre 12721	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		uzid 13004	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluz2 12995	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
7	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		zre 12721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
9	8	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10	7, 9	lenltd 11480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 𝑀))
11	10	biimp3a 1499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
12	11	a1d 26	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
13	6, 12	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
14	13	impcom 413	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
15	3, 4, 5, 14	infmin 9512	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → inf((ℤ≥‘𝑀), ℝ, < ) = 𝑀)
16	1, 15	ax-mp 5	1 ⊢ inf((ℤ≥‘𝑀), ℝ, < ) = 𝑀

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   Or wor 5562  ‘cfv 6555  infcinf 9457  ℝcr 11223   < clt 11367   ≤ cle 11368  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-neg 11568  df-z 12718  df-uz 12990

This theorem is used by:  nninf  13080  nn0inf  13081