MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indstr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indstr2 12967
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr2.1 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
indstr2.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
indstr2.3 𝜒
indstr2.4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
Assertion
Ref Expression
indstr2 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem indstr2
StepHypRef Expression
1 indstr2.2 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
2 elnn1uz2 12965 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)))
3 indstr2.3 . . . . 5 𝜒
4 nnnlt1 12296 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑦 < 1)
54adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 1)
6 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
85, 7mtbird 325 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 𝑥)
98pm2.21d 121 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥𝜓))
109ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓))
11 pm5.5 361 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
13 indstr2.1 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
1412, 13bitrd 279 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜒))
153, 14mpbiri 258 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
16 indstr2.4 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
1715, 16jaoi 857 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
182, 17sylbi 217 . 2 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
191, 18indstr 12956 1 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059   class class class wbr 5148  cfv 6563  1c1 11154   < clt 11293  cn 12264  2c2 12319  cuz 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by:  nn0prpwlem  36305
  Copyright terms: Public domain W3C validator