MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indstr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indstr2 12315
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr2.1 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
indstr2.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
indstr2.3 𝜒
indstr2.4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
Assertion
Ref Expression
indstr2 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem indstr2
StepHypRef Expression
1 indstr2.2 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
2 elnn1uz2 12313 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)))
3 indstr2.3 . . . . 5 𝜒
4 nnnlt1 11657 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑦 < 1)
54adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 1)
6 breq2 5061 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
76adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
85, 7mtbird 326 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 𝑥)
98pm2.21d 121 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥𝜓))
109ralrimiva 3179 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓))
11 pm5.5 363 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
13 indstr2.1 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
1412, 13bitrd 280 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜒))
153, 14mpbiri 259 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
16 indstr2.4 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
1715, 16jaoi 851 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
182, 17sylbi 218 . 2 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
191, 18indstr 12304 1 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135   class class class wbr 5057  cfv 6348  1c1 10526   < clt 10663  cn 11626  2c2 11680  cuz 12231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232
This theorem is referenced by:  nn0prpwlem  33567
  Copyright terms: Public domain W3C validator