Theorem indstr2 12667

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr2.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
indstr2.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
indstr2.3	⊢ 𝜒
indstr2.4	⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
indstr2	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem indstr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstr2.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		elnn1uz2 12665	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)))
3		indstr2.3	. . . . 5 ⊢ 𝜒
4		nnnlt1 12005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑦 < 1)
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 1)
6		breq2 5078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 1))
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 1))
8	5, 7	mtbird 325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 𝑥)
9	8	pm2.21d 121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥 → 𝜓))
10	9	ralrimiva 3103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓))
11		pm5.5 362	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
13		indstr2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
14	12, 13	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜒))
15	3, 14	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
16		indstr2.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
17	15, 16	jaoi 854	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
18	2, 17	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
19	1, 18	indstr 12656	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  1c1 10872   < clt 11009  ℕcn 11973  2c2 12028  ℤ_≥cuz 12582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583

This theorem is referenced by:  nn0prpwlem  34511