Theorem indstr2 13094

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr2.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
indstr2.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
indstr2.3	⊢ 𝜒
indstr2.4	⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
indstr2	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem indstr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstr2.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		elnn1uz2 13092	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)))
3		indstr2.3	. . . . 5 ⊢ 𝜒
4		nnnlt1 12410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑦 < 1)
5	4	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 1)
6		breq2 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 1))
7	6	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 1))
8	5, 7	mtbird 328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 𝑥)
9	8	pm2.21d 122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥 → 𝜓))
10	9	ralrimiva 3158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓))
11		pm5.5 364	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
13		indstr2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
14	12, 13	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜒))
15	3, 14	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
16		indstr2.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
17	15, 16	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
18	2, 17	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
19	1, 18	indstr 13083	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  1c1 11240   < clt 11382  ℕcn 12375  2c2 12437  ℤ_≥cuz 13005

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006

This theorem is used by:  nn0prpwlem  37325