Theorem indstr2 12948

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr2.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
indstr2.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
indstr2.3	⊢ 𝜒
indstr2.4	⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
indstr2	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem indstr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstr2.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		elnn1uz2 12946	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)))
3		indstr2.3	. . . . 5 ⊢ 𝜒
4		nnnlt1 12277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑦 < 1)
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 1)
6		breq2 5128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 1))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 1))
8	5, 7	mtbird 325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 𝑥)
9	8	pm2.21d 121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥 → 𝜓))
10	9	ralrimiva 3133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓))
11		pm5.5 361	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
13		indstr2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
14	12, 13	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜒))
15	3, 14	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
16		indstr2.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
17	15, 16	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
18	2, 17	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
19	1, 18	indstr 12937	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  1c1 11135   < clt 11274  ℕcn 12245  2c2 12300  ℤ_≥cuz 12857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858

This theorem is referenced by:  nn0prpwlem  36345