Theorem indstr2 12922

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr2.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
indstr2.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
indstr2.3	⊢ 𝜒
indstr2.4	⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
indstr2	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem indstr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstr2.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		elnn1uz2 12920	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)))
3		indstr2.3	. . . . 5 ⊢ 𝜒
4		nnnlt1 12239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑦 < 1)
5	4	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 1)
6		breq2 5101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 1))
7	6	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 1))
8	5, 7	mtbird 327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 𝑥)
9	8	pm2.21d 121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥 → 𝜓))
10	9	ralrimiva 3153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓))
11		pm5.5 363	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
13		indstr2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
14	12, 13	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜒))
15	3, 14	mpbiri 260	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
16		indstr2.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
17	15, 16	jaoi 868	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
18	2, 17	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
19	1, 18	indstr 12911	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  1c1 11068   < clt 11210  ℕcn 12204  2c2 12266  ℤ_≥cuz 12833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834

This theorem is referenced by:  nn0prpwlem  36643