Theorem wlksoneq1eq2 29595

Description: Two walks with identical sequences of vertices start and end at the same vertices. (Contributed by AV, 14-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlksoneq1eq2	⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem wlksoneq1eq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkonprop 29589	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
3	1	wlkonprop 29589	. 2 ⊢ (𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)))
4		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
5	4	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐴 = (𝑃‘0))
6		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) → (𝑃‘0) = 𝐶)
7	5, 6	sylan9eqr 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐴 = 𝐶)
8		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)
9	8	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐵 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐵 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
11		wlklenvm1 29554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1))
12		wlklenvm1 29554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
13		eqtr3 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) ∧ (♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))
14	13	fveq2d 6820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) ∧ (♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻)))
15	14	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
18	17	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
19	11, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
20	19	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
21	20	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻)))
22		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)
23	10, 21, 22	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐵 = 𝐷)
24	7, 23	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
25	24	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
26	25	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
27	26	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
28	27	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
29	28	imp 406	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
30	2, 3, 29	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3433   class class class wbr 5088  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  0cc0 10997  1c1 10998   − cmin 11335  ♯chash 14225  Vtxcvtx 28928  Walkscwlks 29529  WalksOncwlkson 29530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-hash 14226  df-word 14409  df-wlks 29532  df-wlkson 29533

This theorem is referenced by:  wspthneq1eq2  29792