Theorem wlksoneq1eq2 30123

Description: Two walks with identical sequences of vertices start and end at the same vertices. (Contributed by AV, 14-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlksoneq1eq2	⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem wlksoneq1eq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkonprop 30117	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
3	1	wlkonprop 30117	. 2 ⊢ (𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)))
4		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
5	4	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐴 = (𝑃‘0))
6		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) → (𝑃‘0) = 𝐶)
7	5, 6	sylan9eqr 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐴 = 𝐶)
8		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)
9	8	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐵 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
10	9	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐵 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
11		wlklenvm1 30082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1))
12		wlklenvm1 30082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
13		eqtr3 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) ∧ (♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))
14	13	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) ∧ (♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻)))
15	14	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
16	12, 15	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
17	16	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
18	17	com12 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
19	11, 18	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
20	19	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
21	20	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻)))
22		simpl3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)
23	10, 21, 22	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐵 = 𝐷)
24	7, 23	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
25	24	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
26	25	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
27	26	com12 33	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
28	27	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
29	28	imp 412	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
30	2, 3, 29	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11125  1c1 11126   − cmin 11466  ♯chash 14395  Vtxcvtx 29454  Walkscwlks 30057  WalksOncwlkson 30058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-hash 14396  df-word 14580  df-wlks 30060  df-wlkson 30061

This theorem is used by:  wspthneq1eq2  30329