Theorem wlksoneq1eq2 27934

Description: Two walks with identical sequences of vertices start and end at the same vertices. (Contributed by AV, 14-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlksoneq1eq2	⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem wlksoneq1eq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkonprop 27928	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
3	1	wlkonprop 27928	. 2 ⊢ (𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)))
4		simp2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
5	4	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐴 = (𝑃‘0))
6		simp2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) → (𝑃‘0) = 𝐶)
7	5, 6	sylan9eqr 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐴 = 𝐶)
8		simp3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)
9	8	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐵 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐵 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
11		wlklenvm1 27891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1))
12		wlklenvm1 27891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
13		eqtr3 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) ∧ (♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))
14	13	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) ∧ (♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻)))
15	14	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
17	16	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
18	17	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
19	11, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
20	19	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
21	20	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻)))
22		simpl3 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)
23	10, 21, 22	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐵 = 𝐷)
24	7, 23	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
25	24	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
26	25	3ad2ant3 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
27	26	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
28	27	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
29	28	imp 406	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
30	2, 3, 29	syl2an 595	1 ⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   − cmin 11135  ♯chash 13972  Vtxcvtx 27269  Walkscwlks 27866  WalksOncwlkson 27867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-wlks 27869  df-wlkson 27870

This theorem is referenced by:  wspthneq1eq2  28126