Theorem wlksoneq1eq2 28032

Description: Two walks with identical sequences of vertices start and end at the same vertices. (Contributed by AV, 14-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlksoneq1eq2	⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem wlksoneq1eq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkonprop 28026	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
3	1	wlkonprop 28026	. 2 ⊢ (𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)))
4		simp2 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
5	4	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐴 = (𝑃‘0))
6		simp2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) → (𝑃‘0) = 𝐶)
7	5, 6	sylan9eqr 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐴 = 𝐶)
8		simp3 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)
9	8	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐵 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
10	9	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐵 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
11		wlklenvm1 27989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1))
12		wlklenvm1 27989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
13		eqtr3 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) ∧ (♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))
14	13	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) ∧ (♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻)))
15	14	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
17	16	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
18	17	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐻) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
19	11, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
20	19	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻))))
21	20	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘(♯‘𝐻)))
22		simpl3 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)
23	10, 21, 22	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐵 = 𝐷)
24	7, 23	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
25	24	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
26	25	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
27	26	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
28	27	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
29	28	imp 407	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐻)) = 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
30	2, 3, 29	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   − cmin 11205  ♯chash 14044  Vtxcvtx 27366  Walkscwlks 27963  WalksOncwlkson 27964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-wlks 27966  df-wlkson 27967

This theorem is referenced by:  wspthneq1eq2  28225