MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wofi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wofi 9311
Description: A total order on a finite set is a well-order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
wofi ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)

Proof of Theorem wofi
StepHypRef Expression
1 sopo 5604 . . 3 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
2 frfi 9307 . . 3 ((𝑅 Po 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
31, 2sylan 579 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
4 simpl 482 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Or 𝐴)
5 df-we 5630 . 2 (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Or 𝐴))
63, 4, 5sylanbrc 582 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2099   Po wpo 5583   Or wor 5584   Fr wfr 5625   We wwe 5627  Fincfn 8958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7866  df-en 8959  df-fin 8962
This theorem is referenced by:  wofib  9563  wemapso2lem  9570  finnisoeu  10131  cflim2  10281  fz1isolem  14449  finorwe  36856
  Copyright terms: Public domain W3C validator