Theorem wofi 8769

Description: A total order on a finite set is a well-order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
wofi	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)

Proof of Theorem wofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5494	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		frfi 8765	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
3	1, 2	sylan 582	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
4		simpl 485	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Or 𝐴)
5		df-we 5518	. 2 ⊢ (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝐴))
6	3, 4, 5	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   Po wpo 5474   Or wor 5475   Fr wfr 5513   We wwe 5515  Fincfn 8511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-om 7583  df-1o 8104  df-er 8291  df-en 8512  df-fin 8515

This theorem is referenced by:  wofib  9011  wemapso2lem  9018  finnisoeu  9541  cflim2  9687  fz1isolem  13822  finorwe  34665