MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wofi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wofi 8766
Description: A total order on a finite set is a well-order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
wofi ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)

Proof of Theorem wofi
StepHypRef Expression
1 sopo 5491 . . 3 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
2 frfi 8762 . . 3 ((𝑅 Po 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
31, 2sylan 582 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
4 simpl 485 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Or 𝐴)
5 df-we 5515 . 2 (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Or 𝐴))
63, 4, 5sylanbrc 585 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2110   Po wpo 5471   Or wor 5472   Fr wfr 5510   We wwe 5512  Fincfn 8508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-om 7580  df-1o 8101  df-er 8288  df-en 8509  df-fin 8512
This theorem is referenced by:  wofib  9008  wemapso2lem  9015  finnisoeu  9538  cflim2  9684  fz1isolem  13818  finorwe  34662
  Copyright terms: Public domain W3C validator