Theorem wofi 9189

Description: A total order on a finite set is a well-order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
wofi	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)

Proof of Theorem wofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5551	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		frfi 9185	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
4		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Or 𝐴)
5		df-we 5579	. 2 ⊢ (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝐴))
6	3, 4, 5	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   Po wpo 5530   Or wor 5531   Fr wfr 5574   We wwe 5576  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-en 8884  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  wofib  9450  wemapso2lem  9457  finnisoeu  10023  cflim2  10173  fz1isolem  14384  finorwe  37583