Theorem fz1isolem 14458

Description: Lemma for fz1iso 14459. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fz1iso.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω)
fz1iso.2	⊢ 𝐵 = (ℕ ∩ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}))
fz1iso.3	⊢ 𝐶 = (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)))
fz1iso.4	⊢ 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fz1isolem	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝐴   𝐵,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑓,𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑂(𝑛)

Proof of Theorem fz1isolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3		nnuz 12898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4		1z 12625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
5		fz1iso.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω)
6	4, 5	om2uzisoi 13955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘1))
7		isoeq5 7328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℕ = (ℤ≥‘1) → (𝐺 Isom E , < (ω, ℕ) ↔ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘1))))
8	6, 7	mpbiri 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℕ = (ℤ≥‘1) → 𝐺 Isom E , < (ω, ℕ))
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 Isom E , < (ω, ℕ)
10		isocnv 7337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 Isom E , < (ω, ℕ) → ◡𝐺 Isom < , E (ℕ, ω))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡𝐺 Isom < , E (ℕ, ω)
12		nn0p1nn 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴) + 1) ∈ ℕ)
13		fz1iso.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (ℕ ∩ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}))
14		fz1iso.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)))
15		fvex 6909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)) ∈ V
16	15	epini 6101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡ E “ {(◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))}) = (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))
17	16	ineq2i 4207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ∩ (◡ E “ {(◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))})) = (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)))
18	14, 17	eqtr4i 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (ω ∩ (◡ E “ {(◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))}))
19	13, 18	isoini2 7346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐺 Isom < , E (ℕ, ω) ∧ ((♯‘𝐴) + 1) ∈ ℕ) → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶))
20	11, 12, 19	sylancr 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶))
21	2, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶))
22		nnz 12612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ∈ ℤ)
23	2	nn0zd 12617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
24		eluz 12869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓) ↔ 𝑓 ≤ (♯‘𝐴)))
25	22, 23, 24	syl2anr 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓) ↔ 𝑓 ≤ (♯‘𝐴)))
26		zleltp1 12646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑓 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑓 < ((♯‘𝐴) + 1)))
27	22, 23, 26	syl2anr 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝑓 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑓 < ((♯‘𝐴) + 1)))
28		ovex 7452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐴) + 1) ∈ V
29		vex 3465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑓 ∈ V
30	29	eliniseg 6099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐴) + 1) ∈ V → (𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}) ↔ 𝑓 < ((♯‘𝐴) + 1)))
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}) ↔ 𝑓 < ((♯‘𝐴) + 1))
32	27, 31	bitr4di 288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝑓 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)})))
33	25, 32	bitr2d 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}) ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)))
34	33	pm5.32da 577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝑓 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)})) ↔ (𝑓 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓))))
35	13	elin2 4195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)})))
36		elfzuzb 13530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)))
37		elnnuz 12899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1))
38	37	anbi1i 622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)) ↔ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)))
39	36, 38	bitr4i 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (𝑓 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)))
40	34, 35, 39	3bitr4g 313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ 𝐵 ↔ 𝑓 ∈ (1...(♯‘𝐴))))
41	40	eqrdv 2723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 = (1...(♯‘𝐴)))
42		isoeq4 7327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = (1...(♯‘𝐴)) → ((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶) ↔ (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶)))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶) ↔ (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶)))
44	21, 43	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶))
45		fz1iso.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
46	45	oion 9561	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝑂 ∈ On)
47	46	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ∈ On)
48		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
49		wofi 9317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
50	45	oien 9563	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom 𝑂 ≈ 𝐴)
51	48, 49, 50	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ≈ 𝐴)
52		enfii 9214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom 𝑂 ≈ 𝐴) → dom 𝑂 ∈ Fin)
53	48, 51, 52	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ∈ Fin)
54	47, 53	elind 4192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ∈ (On ∩ Fin))
55		onfin2 9256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
56	54, 55	eleqtrrdi 2836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ∈ ω)
57		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)
58		0z 12602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℤ
59	5, 57, 4, 58	uzrdgxfr 13968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → (𝐺‘dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + (1 − 0)))
60		1m0e1 12366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 0) = 1
61	60	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + (1 − 0)) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + 1)
62	59, 61	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → (𝐺‘dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + 1))
63	56, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐺‘dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + 1))
64	51	ensymd 9026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ dom 𝑂)
65		cardennn 10008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ≈ dom 𝑂 ∧ dom 𝑂 ∈ ω) → (card‘𝐴) = dom 𝑂)
66	64, 56, 65	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (card‘𝐴) = dom 𝑂)
67	66	fveq2d 6900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂))
68	57	hashgval 14328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
69	68	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
70	67, 69	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) = (♯‘𝐴))
71	70	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + 1) = ((♯‘𝐴) + 1))
72	63, 71	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐺‘dom 𝑂) = ((♯‘𝐴) + 1))
73	72	fveq2d 6900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺‘(𝐺‘dom 𝑂)) = (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)))
74		isof1o 7330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 Isom E , < (ω, ℕ) → 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ)
75	9, 74	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ
76		f1ocnvfv1 7285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ ∧ dom 𝑂 ∈ ω) → (◡𝐺‘(𝐺‘dom 𝑂)) = dom 𝑂)
77	75, 56, 76	sylancr 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺‘(𝐺‘dom 𝑂)) = dom 𝑂)
78	73, 77	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)) = dom 𝑂)
79	78	ineq2d 4210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))) = (ω ∩ dom 𝑂))
80		ordom 7881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ord ω
81		ordelss 6387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord ω ∧ dom 𝑂 ∈ ω) → dom 𝑂 ⊆ ω)
82	80, 56, 81	sylancr 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ⊆ ω)
83		sseqin2 4213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom 𝑂 ⊆ ω ↔ (ω ∩ dom 𝑂) = dom 𝑂)
84	82, 83	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (ω ∩ dom 𝑂) = dom 𝑂)
85	79, 84	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))) = dom 𝑂)
86	14, 85	eqtrid 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐶 = dom 𝑂)
87		isoeq5 7328	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = dom 𝑂 → ((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶) ↔ (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), dom 𝑂)))
88	86, 87	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶) ↔ (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), dom 𝑂)))
89	44, 88	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), dom 𝑂))
90	45	oiiso 9562	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 We 𝐴) → 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴))
91	48, 49, 90	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴))
92		isotr 7343	. . . . 5 ⊢ (((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), dom 𝑂) ∧ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴)) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
93	89, 91, 92	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
94		isof1o 7330	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)):(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
95		f1of 6838	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)):(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)):(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
96	93, 94, 95	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)):(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
97		fzfid 13974	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
98	96, 97	fexd 7239	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) ∈ V)
99		isoeq1 7324	. 2 ⊢ (𝑓 = (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) → (𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴)))
100	98, 93, 99	spcedv 3582	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  {csn 4630   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   E cep 5581   Or wor 5589   We wwe 5632  ^◡ccnv 5677  dom cdm 5678   ↾ cres 5680   “ cima 5681   ∘ ccom 5682  Ord word 6370  Oncon0 6371  ⟶wf 6545  –1-1-onto→wf1o 6548  ‘cfv 6549   Isom wiso 6550  (class class class)co 7419  ωcom 7871  reccrdg 8430   ≈ cen 8961  Fincfn 8964  OrdIsocoi 9534  cardccrd 9960  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   < clt 11280   ≤ cle 11281   − cmin 11476  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12855  ...cfz 13519  ♯chash 14325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-hash 14326

This theorem is referenced by:  fz1iso  14459