MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz1isolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz1isolem 14426
Description: Lemma for fz1iso 14427. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fz1iso.1 𝐺 = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) β†Ύ Ο‰)
fz1iso.2 𝐡 = (β„• ∩ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)}))
fz1iso.3 𝐢 = (Ο‰ ∩ (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1)))
fz1iso.4 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
fz1isolem ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝐴   𝐡,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑛)   𝐢(𝑓,𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑂(𝑛)

Proof of Theorem fz1isolem
StepHypRef Expression
1 hashcl 14320 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•0)
21adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•0)
3 nnuz 12869 . . . . . . . . . . 11 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
4 1z 12596 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„€
5 fz1iso.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) β†Ύ Ο‰)
64, 5om2uzisoi 13923 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜1))
7 isoeq5 7320 . . . . . . . . . . . 12 (β„• = (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝐺 Isom E , < (Ο‰, β„•) ↔ 𝐺 Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜1))))
86, 7mpbiri 257 . . . . . . . . . . 11 (β„• = (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝐺 Isom E , < (Ο‰, β„•))
93, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝐺 Isom E , < (Ο‰, β„•)
10 isocnv 7329 . . . . . . . . . 10 (𝐺 Isom E , < (Ο‰, β„•) β†’ ◑𝐺 Isom < , E (β„•, Ο‰))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ◑𝐺 Isom < , E (β„•, Ο‰)
12 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π΄) + 1) ∈ β„•)
13 fz1iso.2 . . . . . . . . . 10 𝐡 = (β„• ∩ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)}))
14 fz1iso.3 . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (Ο‰ ∩ (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1)))
15 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1)) ∈ V
1615epini 6094 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘ E β€œ {(β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1))}) = (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1))
1716ineq2i 4208 . . . . . . . . . . 11 (Ο‰ ∩ (β—‘ E β€œ {(β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1))})) = (Ο‰ ∩ (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1)))
1814, 17eqtr4i 2761 . . . . . . . . . 10 𝐢 = (Ο‰ ∩ (β—‘ E β€œ {(β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1))}))
1913, 18isoini2 7338 . . . . . . . . 9 ((◑𝐺 Isom < , E (β„•, Ο‰) ∧ ((β™―β€˜π΄) + 1) ∈ β„•) β†’ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E (𝐡, 𝐢))
2011, 12, 19sylancr 585 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„•0 β†’ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E (𝐡, 𝐢))
212, 20syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E (𝐡, 𝐢))
22 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ β„• β†’ 𝑓 ∈ β„€)
232nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€)
24 eluz 12840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€) β†’ ((β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“) ↔ 𝑓 ≀ (β™―β€˜π΄)))
2522, 23, 24syl2anr 595 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“) ↔ 𝑓 ≀ (β™―β€˜π΄)))
26 zleltp1 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€) β†’ (𝑓 ≀ (β™―β€˜π΄) ↔ 𝑓 < ((β™―β€˜π΄) + 1)))
2722, 23, 26syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ β„•) β†’ (𝑓 ≀ (β™―β€˜π΄) ↔ 𝑓 < ((β™―β€˜π΄) + 1)))
28 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜π΄) + 1) ∈ V
29 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑓 ∈ V
3029eliniseg 6092 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜π΄) + 1) ∈ V β†’ (𝑓 ∈ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)}) ↔ 𝑓 < ((β™―β€˜π΄) + 1)))
3128, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)}) ↔ 𝑓 < ((β™―β€˜π΄) + 1))
3227, 31bitr4di 288 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ β„•) β†’ (𝑓 ≀ (β™―β€˜π΄) ↔ 𝑓 ∈ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)})))
3325, 32bitr2d 279 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ β„•) β†’ (𝑓 ∈ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)}) ↔ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“)))
3433pm5.32da 577 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ ((𝑓 ∈ β„• ∧ 𝑓 ∈ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)})) ↔ (𝑓 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“))))
3513elin2 4196 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝐡 ↔ (𝑓 ∈ β„• ∧ 𝑓 ∈ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)})))
36 elfzuzb 13499 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) ↔ (𝑓 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“)))
37 elnnuz 12870 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ β„• ↔ 𝑓 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3837anbi1i 622 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“)) ↔ (𝑓 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“)))
3936, 38bitr4i 277 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) ↔ (𝑓 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“)))
4034, 35, 393bitr4g 313 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (𝑓 ∈ 𝐡 ↔ 𝑓 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))))
4140eqrdv 2728 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ 𝐡 = (1...(β™―β€˜π΄)))
42 isoeq4 7319 . . . . . . . 8 (𝐡 = (1...(β™―β€˜π΄)) β†’ ((◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E (𝐡, 𝐢) ↔ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐢)))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ ((◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E (𝐡, 𝐢) ↔ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐢)))
4421, 43mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐢))
45 fz1iso.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
4645oion 9533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Fin β†’ dom 𝑂 ∈ On)
4746adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ dom 𝑂 ∈ On)
48 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
49 wofi 9294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ 𝑅 We 𝐴)
5045oien 9535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 We 𝐴) β†’ dom 𝑂 β‰ˆ 𝐴)
5148, 49, 50syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ dom 𝑂 β‰ˆ 𝐴)
52 enfii 9191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom 𝑂 β‰ˆ 𝐴) β†’ dom 𝑂 ∈ Fin)
5348, 51, 52syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ dom 𝑂 ∈ Fin)
5447, 53elind 4193 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ dom 𝑂 ∈ (On ∩ Fin))
55 onfin2 9233 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο‰ = (On ∩ Fin)
5654, 55eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ dom 𝑂 ∈ Ο‰)
57 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
58 0z 12573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ β„€
595, 57, 4, 58uzrdgxfr 13936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝑂 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂) + (1 βˆ’ 0)))
60 1m0e1 12337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 βˆ’ 0) = 1
6160oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂) + (1 βˆ’ 0)) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂) + 1)
6259, 61eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝑂 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂) + 1))
6356, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (πΊβ€˜dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂) + 1))
6451ensymd 9003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ 𝐴 β‰ˆ dom 𝑂)
65 cardennn 9980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 β‰ˆ dom 𝑂 ∧ dom 𝑂 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜π΄) = dom 𝑂)
6664, 56, 65syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (cardβ€˜π΄) = dom 𝑂)
6766fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) = ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂))
6857hashgval 14297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) = (β™―β€˜π΄))
6968adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) = (β™―β€˜π΄))
7067, 69eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂) = (β™―β€˜π΄))
7170oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂) + 1) = ((β™―β€˜π΄) + 1))
7263, 71eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (πΊβ€˜dom 𝑂) = ((β™―β€˜π΄) + 1))
7372fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜dom 𝑂)) = (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1)))
74 isof1o 7322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Isom E , < (Ο‰, β„•) β†’ 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•)
759, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•
76 f1ocnvfv1 7276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„• ∧ dom 𝑂 ∈ Ο‰) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜dom 𝑂)) = dom 𝑂)
7775, 56, 76sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜dom 𝑂)) = dom 𝑂)
7873, 77eqtr3d 2772 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1)) = dom 𝑂)
7978ineq2d 4211 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (Ο‰ ∩ (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1))) = (Ο‰ ∩ dom 𝑂))
80 ordom 7867 . . . . . . . . . . 11 Ord Ο‰
81 ordelss 6379 . . . . . . . . . . 11 ((Ord Ο‰ ∧ dom 𝑂 ∈ Ο‰) β†’ dom 𝑂 βŠ† Ο‰)
8280, 56, 81sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ dom 𝑂 βŠ† Ο‰)
83 sseqin2 4214 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑂 βŠ† Ο‰ ↔ (Ο‰ ∩ dom 𝑂) = dom 𝑂)
8482, 83sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (Ο‰ ∩ dom 𝑂) = dom 𝑂)
8579, 84eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (Ο‰ ∩ (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1))) = dom 𝑂)
8614, 85eqtrid 2782 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ 𝐢 = dom 𝑂)
87 isoeq5 7320 . . . . . . 7 (𝐢 = dom 𝑂 β†’ ((◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐢) ↔ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), dom 𝑂)))
8886, 87syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ ((◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐢) ↔ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), dom 𝑂)))
8944, 88mpbid 231 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), dom 𝑂))
9045oiiso 9534 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 We 𝐴) β†’ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴))
9148, 49, 90syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴))
92 isotr 7335 . . . . 5 (((◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), dom 𝑂) ∧ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴)) β†’ (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)) Isom < , 𝑅 ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐴))
9389, 91, 92syl2anc 582 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)) Isom < , 𝑅 ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐴))
94 isof1o 7322 . . . 4 ((𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)) Isom < , 𝑅 ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐴) β†’ (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)):(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
95 f1of 6832 . . . 4 ((𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)):(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)):(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
9693, 94, 953syl 18 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)):(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
97 fzfid 13942 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (1...(β™―β€˜π΄)) ∈ Fin)
9896, 97fexd 7230 . 2 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)) ∈ V)
99 isoeq1 7316 . 2 (𝑓 = (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐴) ↔ (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)) Isom < , 𝑅 ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐴)))
10098, 93, 99spcedv 3587 1 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   E cep 5578   Or wor 5586   We wwe 5629  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  Ord word 6362  Oncon0 6363  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857  reccrdg 8411   β‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  OrdIsocoi 9506  cardccrd 9932  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  β™―chash 14294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295
This theorem is referenced by:  fz1iso  14427
  Copyright terms: Public domain W3C validator