MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz1isolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz1isolem 14427
Description: Lemma for fz1iso 14428. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fz1iso.1 𝐺 = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) β†Ύ Ο‰)
fz1iso.2 𝐡 = (β„• ∩ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)}))
fz1iso.3 𝐢 = (Ο‰ ∩ (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1)))
fz1iso.4 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
fz1isolem ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝐴   𝐡,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑛)   𝐢(𝑓,𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑂(𝑛)

Proof of Theorem fz1isolem
StepHypRef Expression
1 hashcl 14321 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•0)
21adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•0)
3 nnuz 12870 . . . . . . . . . . 11 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
4 1z 12597 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„€
5 fz1iso.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) β†Ύ Ο‰)
64, 5om2uzisoi 13924 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜1))
7 isoeq5 7321 . . . . . . . . . . . 12 (β„• = (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝐺 Isom E , < (Ο‰, β„•) ↔ 𝐺 Isom E , < (Ο‰, (β„€β‰₯β€˜1))))
86, 7mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 (β„• = (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝐺 Isom E , < (Ο‰, β„•))
93, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝐺 Isom E , < (Ο‰, β„•)
10 isocnv 7330 . . . . . . . . . 10 (𝐺 Isom E , < (Ο‰, β„•) β†’ ◑𝐺 Isom < , E (β„•, Ο‰))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ◑𝐺 Isom < , E (β„•, Ο‰)
12 nn0p1nn 12516 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π΄) + 1) ∈ β„•)
13 fz1iso.2 . . . . . . . . . 10 𝐡 = (β„• ∩ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)}))
14 fz1iso.3 . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (Ο‰ ∩ (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1)))
15 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1)) ∈ V
1615epini 6095 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘ E β€œ {(β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1))}) = (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1))
1716ineq2i 4209 . . . . . . . . . . 11 (Ο‰ ∩ (β—‘ E β€œ {(β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1))})) = (Ο‰ ∩ (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1)))
1814, 17eqtr4i 2762 . . . . . . . . . 10 𝐢 = (Ο‰ ∩ (β—‘ E β€œ {(β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1))}))
1913, 18isoini2 7339 . . . . . . . . 9 ((◑𝐺 Isom < , E (β„•, Ο‰) ∧ ((β™―β€˜π΄) + 1) ∈ β„•) β†’ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E (𝐡, 𝐢))
2011, 12, 19sylancr 586 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„•0 β†’ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E (𝐡, 𝐢))
212, 20syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E (𝐡, 𝐢))
22 nnz 12584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ β„• β†’ 𝑓 ∈ β„€)
232nn0zd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€)
24 eluz 12841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€) β†’ ((β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“) ↔ 𝑓 ≀ (β™―β€˜π΄)))
2522, 23, 24syl2anr 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“) ↔ 𝑓 ≀ (β™―β€˜π΄)))
26 zleltp1 12618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€) β†’ (𝑓 ≀ (β™―β€˜π΄) ↔ 𝑓 < ((β™―β€˜π΄) + 1)))
2722, 23, 26syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ β„•) β†’ (𝑓 ≀ (β™―β€˜π΄) ↔ 𝑓 < ((β™―β€˜π΄) + 1)))
28 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜π΄) + 1) ∈ V
29 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑓 ∈ V
3029eliniseg 6093 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜π΄) + 1) ∈ V β†’ (𝑓 ∈ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)}) ↔ 𝑓 < ((β™―β€˜π΄) + 1)))
3128, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)}) ↔ 𝑓 < ((β™―β€˜π΄) + 1))
3227, 31bitr4di 289 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ β„•) β†’ (𝑓 ≀ (β™―β€˜π΄) ↔ 𝑓 ∈ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)})))
3325, 32bitr2d 280 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ β„•) β†’ (𝑓 ∈ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)}) ↔ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“)))
3433pm5.32da 578 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ ((𝑓 ∈ β„• ∧ 𝑓 ∈ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)})) ↔ (𝑓 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“))))
3513elin2 4197 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝐡 ↔ (𝑓 ∈ β„• ∧ 𝑓 ∈ (β—‘ < β€œ {((β™―β€˜π΄) + 1)})))
36 elfzuzb 13500 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) ↔ (𝑓 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“)))
37 elnnuz 12871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ β„• ↔ 𝑓 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3837anbi1i 623 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“)) ↔ (𝑓 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“)))
3936, 38bitr4i 278 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) ↔ (𝑓 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘“)))
4034, 35, 393bitr4g 314 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (𝑓 ∈ 𝐡 ↔ 𝑓 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))))
4140eqrdv 2729 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ 𝐡 = (1...(β™―β€˜π΄)))
42 isoeq4 7320 . . . . . . . 8 (𝐡 = (1...(β™―β€˜π΄)) β†’ ((◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E (𝐡, 𝐢) ↔ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐢)))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ ((◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E (𝐡, 𝐢) ↔ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐢)))
4421, 43mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐢))
45 fz1iso.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
4645oion 9535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Fin β†’ dom 𝑂 ∈ On)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ dom 𝑂 ∈ On)
48 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
49 wofi 9296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ 𝑅 We 𝐴)
5045oien 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 We 𝐴) β†’ dom 𝑂 β‰ˆ 𝐴)
5148, 49, 50syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ dom 𝑂 β‰ˆ 𝐴)
52 enfii 9193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom 𝑂 β‰ˆ 𝐴) β†’ dom 𝑂 ∈ Fin)
5348, 51, 52syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ dom 𝑂 ∈ Fin)
5447, 53elind 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ dom 𝑂 ∈ (On ∩ Fin))
55 onfin2 9235 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο‰ = (On ∩ Fin)
5654, 55eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ dom 𝑂 ∈ Ο‰)
57 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
58 0z 12574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ β„€
595, 57, 4, 58uzrdgxfr 13937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝑂 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂) + (1 βˆ’ 0)))
60 1m0e1 12338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 βˆ’ 0) = 1
6160oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂) + (1 βˆ’ 0)) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂) + 1)
6259, 61eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝑂 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂) + 1))
6356, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (πΊβ€˜dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂) + 1))
6451ensymd 9005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ 𝐴 β‰ˆ dom 𝑂)
65 cardennn 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 β‰ˆ dom 𝑂 ∧ dom 𝑂 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜π΄) = dom 𝑂)
6664, 56, 65syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (cardβ€˜π΄) = dom 𝑂)
6766fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) = ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂))
6857hashgval 14298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) = (β™―β€˜π΄))
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) = (β™―β€˜π΄))
7067, 69eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂) = (β™―β€˜π΄))
7170oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜dom 𝑂) + 1) = ((β™―β€˜π΄) + 1))
7263, 71eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (πΊβ€˜dom 𝑂) = ((β™―β€˜π΄) + 1))
7372fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜dom 𝑂)) = (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1)))
74 isof1o 7323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Isom E , < (Ο‰, β„•) β†’ 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•)
759, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•
76 f1ocnvfv1 7277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„• ∧ dom 𝑂 ∈ Ο‰) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜dom 𝑂)) = dom 𝑂)
7775, 56, 76sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜dom 𝑂)) = dom 𝑂)
7873, 77eqtr3d 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1)) = dom 𝑂)
7978ineq2d 4212 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (Ο‰ ∩ (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1))) = (Ο‰ ∩ dom 𝑂))
80 ordom 7869 . . . . . . . . . . 11 Ord Ο‰
81 ordelss 6380 . . . . . . . . . . 11 ((Ord Ο‰ ∧ dom 𝑂 ∈ Ο‰) β†’ dom 𝑂 βŠ† Ο‰)
8280, 56, 81sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ dom 𝑂 βŠ† Ο‰)
83 sseqin2 4215 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑂 βŠ† Ο‰ ↔ (Ο‰ ∩ dom 𝑂) = dom 𝑂)
8482, 83sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (Ο‰ ∩ dom 𝑂) = dom 𝑂)
8579, 84eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (Ο‰ ∩ (β—‘πΊβ€˜((β™―β€˜π΄) + 1))) = dom 𝑂)
8614, 85eqtrid 2783 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ 𝐢 = dom 𝑂)
87 isoeq5 7321 . . . . . . 7 (𝐢 = dom 𝑂 β†’ ((◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐢) ↔ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), dom 𝑂)))
8886, 87syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ ((◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐢) ↔ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), dom 𝑂)))
8944, 88mpbid 231 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), dom 𝑂))
9045oiiso 9536 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 We 𝐴) β†’ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴))
9148, 49, 90syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴))
92 isotr 7336 . . . . 5 (((◑𝐺 β†Ύ 𝐡) Isom < , E ((1...(β™―β€˜π΄)), dom 𝑂) ∧ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴)) β†’ (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)) Isom < , 𝑅 ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐴))
9389, 91, 92syl2anc 583 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)) Isom < , 𝑅 ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐴))
94 isof1o 7323 . . . 4 ((𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)) Isom < , 𝑅 ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐴) β†’ (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)):(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
95 f1of 6833 . . . 4 ((𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)):(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)):(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
9693, 94, 953syl 18 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)):(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
97 fzfid 13943 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (1...(β™―β€˜π΄)) ∈ Fin)
9896, 97fexd 7231 . 2 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)) ∈ V)
99 isoeq1 7317 . 2 (𝑓 = (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐴) ↔ (𝑂 ∘ (◑𝐺 β†Ύ 𝐡)) Isom < , 𝑅 ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐴)))
10098, 93, 99spcedv 3588 1 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(β™―β€˜π΄)), 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   E cep 5579   Or wor 5587   We wwe 5630  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Ord word 6363  Oncon0 6364  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7412  Ο‰com 7859  reccrdg 8413   β‰ˆ cen 8940  Fincfn 8943  OrdIsocoi 9508  cardccrd 9934  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  β™―chash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  fz1iso  14428
  Copyright terms: Public domain W3C validator