Theorem fz1isolem 14423

Description: Lemma for fz1iso 14424. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fz1iso.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω)
fz1iso.2	⊢ 𝐵 = (ℕ ∩ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}))
fz1iso.3	⊢ 𝐶 = (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)))
fz1iso.4	⊢ 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fz1isolem	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝐴   𝐵,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑓,𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑂(𝑛)

Proof of Theorem fz1isolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3		nnuz 12827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4		1z 12557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
5		fz1iso.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω)
6	4, 5	om2uzisoi 13916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘1))
7		isoeq5 7276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℕ = (ℤ≥‘1) → (𝐺 Isom E , < (ω, ℕ) ↔ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘1))))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℕ = (ℤ≥‘1) → 𝐺 Isom E , < (ω, ℕ))
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 Isom E , < (ω, ℕ)
10		isocnv 7285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 Isom E , < (ω, ℕ) → ◡𝐺 Isom < , E (ℕ, ω))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡𝐺 Isom < , E (ℕ, ω)
12		nn0p1nn 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴) + 1) ∈ ℕ)
13		fz1iso.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (ℕ ∩ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}))
14		fz1iso.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)))
15		fvex 6854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)) ∈ V
16	15	epini 6062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡ E “ {(◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))}) = (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))
17	16	ineq2i 4158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ∩ (◡ E “ {(◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))})) = (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)))
18	14, 17	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (ω ∩ (◡ E “ {(◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))}))
19	13, 18	isoini2 7294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐺 Isom < , E (ℕ, ω) ∧ ((♯‘𝐴) + 1) ∈ ℕ) → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶))
20	11, 12, 19	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶))
21	2, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶))
22		nnz 12545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ∈ ℤ)
23	2	nn0zd 12549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
24		eluz 12802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓) ↔ 𝑓 ≤ (♯‘𝐴)))
25	22, 23, 24	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓) ↔ 𝑓 ≤ (♯‘𝐴)))
26		zleltp1 12578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑓 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑓 < ((♯‘𝐴) + 1)))
27	22, 23, 26	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝑓 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑓 < ((♯‘𝐴) + 1)))
28		ovex 7400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐴) + 1) ∈ V
29		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑓 ∈ V
30	29	eliniseg 6060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐴) + 1) ∈ V → (𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}) ↔ 𝑓 < ((♯‘𝐴) + 1)))
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}) ↔ 𝑓 < ((♯‘𝐴) + 1))
32	27, 31	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝑓 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)})))
33	25, 32	bitr2d 280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}) ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)))
34	33	pm5.32da 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝑓 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)})) ↔ (𝑓 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓))))
35	13	elin2 4144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)})))
36		elfzuzb 13472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)))
37		elnnuz 12828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1))
38	37	anbi1i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)) ↔ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)))
39	36, 38	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (𝑓 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)))
40	34, 35, 39	3bitr4g 314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ 𝐵 ↔ 𝑓 ∈ (1...(♯‘𝐴))))
41	40	eqrdv 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 = (1...(♯‘𝐴)))
42		isoeq4 7275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = (1...(♯‘𝐴)) → ((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶) ↔ (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶)))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶) ↔ (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶)))
44	21, 43	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶))
45		fz1iso.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
46	45	oion 9451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝑂 ∈ On)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ∈ On)
48		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
49		wofi 9199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
50	45	oien 9453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom 𝑂 ≈ 𝐴)
51	48, 49, 50	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ≈ 𝐴)
52		enfii 9120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom 𝑂 ≈ 𝐴) → dom 𝑂 ∈ Fin)
53	48, 51, 52	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ∈ Fin)
54	47, 53	elind 4141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ∈ (On ∩ Fin))
55		onfin2 9151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
56	54, 55	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ∈ ω)
57		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)
58		0z 12535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℤ
59	5, 57, 4, 58	uzrdgxfr 13929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → (𝐺‘dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + (1 − 0)))
60		1m0e1 12297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 0) = 1
61	60	oveq2i 7378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + (1 − 0)) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + 1)
62	59, 61	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → (𝐺‘dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + 1))
63	56, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐺‘dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + 1))
64	51	ensymd 8952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ dom 𝑂)
65		cardennn 9907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ≈ dom 𝑂 ∧ dom 𝑂 ∈ ω) → (card‘𝐴) = dom 𝑂)
66	64, 56, 65	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (card‘𝐴) = dom 𝑂)
67	66	fveq2d 6845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂))
68	57	hashgval 14295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
70	67, 69	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) = (♯‘𝐴))
71	70	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + 1) = ((♯‘𝐴) + 1))
72	63, 71	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐺‘dom 𝑂) = ((♯‘𝐴) + 1))
73	72	fveq2d 6845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺‘(𝐺‘dom 𝑂)) = (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)))
74		isof1o 7278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 Isom E , < (ω, ℕ) → 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ)
75	9, 74	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ
76		f1ocnvfv1 7231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ ∧ dom 𝑂 ∈ ω) → (◡𝐺‘(𝐺‘dom 𝑂)) = dom 𝑂)
77	75, 56, 76	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺‘(𝐺‘dom 𝑂)) = dom 𝑂)
78	73, 77	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)) = dom 𝑂)
79	78	ineq2d 4161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))) = (ω ∩ dom 𝑂))
80		ordom 7827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ord ω
81		ordelss 6340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord ω ∧ dom 𝑂 ∈ ω) → dom 𝑂 ⊆ ω)
82	80, 56, 81	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ⊆ ω)
83		sseqin2 4164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom 𝑂 ⊆ ω ↔ (ω ∩ dom 𝑂) = dom 𝑂)
84	82, 83	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (ω ∩ dom 𝑂) = dom 𝑂)
85	79, 84	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))) = dom 𝑂)
86	14, 85	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐶 = dom 𝑂)
87		isoeq5 7276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = dom 𝑂 → ((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶) ↔ (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), dom 𝑂)))
88	86, 87	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶) ↔ (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), dom 𝑂)))
89	44, 88	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), dom 𝑂))
90	45	oiiso 9452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 We 𝐴) → 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴))
91	48, 49, 90	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴))
92		isotr 7291	. . . . 5 ⊢ (((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), dom 𝑂) ∧ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴)) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
93	89, 91, 92	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
94		isof1o 7278	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)):(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
95		f1of 6781	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)):(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)):(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
96	93, 94, 95	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)):(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
97		fzfid 13935	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
98	96, 97	fexd 7182	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) ∈ V)
99		isoeq1 7272	. 2 ⊢ (𝑓 = (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) → (𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴)))
100	98, 93, 99	spcedv 3541	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   E cep 5530   Or wor 5538   We wwe 5583  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   ↾ cres 5633   “ cima 5634   ∘ ccom 5635  Ord word 6323  Oncon0 6324  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499   Isom wiso 6500  (class class class)co 7367  ωcom 7817  reccrdg 8348   ≈ cen 8890  Fincfn 8893  OrdIsocoi 9424  cardccrd 9859  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461  ♯chash 14292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293

This theorem is referenced by:  fz1iso  14424