Theorem fz1isolem 14528

Description: Lemma for fz1iso 14529. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fz1iso.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω)
fz1iso.2	⊢ 𝐵 = (ℕ ∩ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}))
fz1iso.3	⊢ 𝐶 = (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)))
fz1iso.4	⊢ 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fz1isolem	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝐴   𝐵,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑓, 𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑂(𝑛)

Proof of Theorem fz1isolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3		nnuz 12929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4		1z 12651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
5		fz1iso.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω)
6	4, 5	om2uzisoi 14020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘1))
7		isoeq5 7325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℕ = (ℤ≥‘1) → (𝐺 Isom E , < (ω, ℕ) ↔ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘1))))
8	6, 7	mpbiri 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℕ = (ℤ≥‘1) → 𝐺 Isom E , < (ω, ℕ))
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 Isom E , < (ω, ℕ)
10		isocnv 7334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 Isom E , < (ω, ℕ) → ◡𝐺 Isom < , E (ℕ, ω))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡𝐺 Isom < , E (ℕ, ω)
12		nn0p1nn 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴) + 1) ∈ ℕ)
13		fz1iso.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (ℕ ∩ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}))
14		fz1iso.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)))
15		fvex 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)) ∈ V
16	15	epini 6096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡ E “ {(◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))}) = (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))
17	16	ineq2i 4166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ∩ (◡ E “ {(◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))})) = (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)))
18	14, 17	eqtr4i 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (ω ∩ (◡ E “ {(◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))}))
19	13, 18	isoini2 7343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐺 Isom < , E (ℕ, ω) ∧ ((♯‘𝐴) + 1) ∈ ℕ) → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶))
20	11, 12, 19	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶))
21	2, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶))
22		nnz 12639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → 𝑓 ∈ ℤ)
23	2	nn0zd 12643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
24		eluz 12904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓) ↔ 𝑓 ≤ (♯‘𝐴)))
25	22, 23, 24	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓) ↔ 𝑓 ≤ (♯‘𝐴)))
26		zleltp1 12672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑓 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑓 < ((♯‘𝐴) + 1)))
27	22, 23, 26	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝑓 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑓 < ((♯‘𝐴) + 1)))
28		ovex 7449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐴) + 1) ∈ V
29		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑓 ∈ V
30	29	eliniseg 6094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐴) + 1) ∈ V → (𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}) ↔ 𝑓 < ((♯‘𝐴) + 1)))
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}) ↔ 𝑓 < ((♯‘𝐴) + 1))
32	27, 31	bitr4di 292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝑓 ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)})))
33	25, 32	bitr2d 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ℕ) → (𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)}) ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)))
34	33	pm5.32da 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝑓 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)})) ↔ (𝑓 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓))))
35	13	elin2 4152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)})))
36		elfzuzb 13574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)))
37		elnnuz 12930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1))
38	37	anbi1i 636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)) ↔ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)))
39	36, 38	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (𝑓 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑓)))
40	34, 35, 39	3bitr4g 317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ 𝐵 ↔ 𝑓 ∈ (1...(♯‘𝐴))))
41	40	eqrdv 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 = (1...(♯‘𝐴)))
42		isoeq4 7324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = (1...(♯‘𝐴)) → ((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶) ↔ (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶)))
43	41, 42	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E (𝐵, 𝐶) ↔ (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶)))
44	21, 43	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶))
45		fz1iso.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
46	45	oion 9511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝑂 ∈ On)
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ∈ On)
48		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
49		wofi 9262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
50	45	oien 9513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom 𝑂 ≈ 𝐴)
51	48, 49, 50	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ≈ 𝐴)
52		enfii 9183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom 𝑂 ≈ 𝐴) → dom 𝑂 ∈ Fin)
53	48, 51, 52	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ∈ Fin)
54	47, 53	elind 4149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ∈ (On ∩ Fin))
55		onfin2 9214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
56	54, 55	eleqtrrdi 2873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ∈ ω)
57		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)
58		0z 12629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℤ
59	5, 57, 4, 58	uzrdgxfr 14033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → (𝐺‘dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + (1 − 0)))
60		1m0e1 12387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 0) = 1
61	60	oveq2i 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + (1 − 0)) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + 1)
62	59, 61	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → (𝐺‘dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + 1))
63	56, 62	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐺‘dom 𝑂) = (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + 1))
64	51	ensymd 9014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ dom 𝑂)
65		cardennn 9991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ≈ dom 𝑂 ∧ dom 𝑂 ∈ ω) → (card‘𝐴) = dom 𝑂)
66	64, 56, 65	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (card‘𝐴) = dom 𝑂)
67	66	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂))
68	57	hashgval 14399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
69	68	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
70	67, 69	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) = (♯‘𝐴))
71	70	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (((rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 0) ↾ ω)‘dom 𝑂) + 1) = ((♯‘𝐴) + 1))
72	63, 71	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐺‘dom 𝑂) = ((♯‘𝐴) + 1))
73	72	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺‘(𝐺‘dom 𝑂)) = (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)))
74		isof1o 7327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 Isom E , < (ω, ℕ) → 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ)
75	9, 74	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ
76		f1ocnvfv1 7280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ ∧ dom 𝑂 ∈ ω) → (◡𝐺‘(𝐺‘dom 𝑂)) = dom 𝑂)
77	75, 56, 76	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺‘(𝐺‘dom 𝑂)) = dom 𝑂)
78	73, 77	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1)) = dom 𝑂)
79	78	ineq2d 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))) = (ω ∩ dom 𝑂))
80		ordom 7875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ord ω
81		ordelss 6377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord ω ∧ dom 𝑂 ∈ ω) → dom 𝑂 ⊆ ω)
82	80, 56, 81	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom 𝑂 ⊆ ω)
83		sseqin2 4172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom 𝑂 ⊆ ω ↔ (ω ∩ dom 𝑂) = dom 𝑂)
84	82, 83	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (ω ∩ dom 𝑂) = dom 𝑂)
85	79, 84	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))) = dom 𝑂)
86	14, 85	eqtrid 2809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐶 = dom 𝑂)
87		isoeq5 7325	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = dom 𝑂 → ((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶) ↔ (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), dom 𝑂)))
88	86, 87	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), 𝐶) ↔ (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), dom 𝑂)))
89	44, 88	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), dom 𝑂))
90	45	oiiso 9512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 We 𝐴) → 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴))
91	48, 49, 90	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴))
92		isotr 7340	. . . . 5 ⊢ (((◡𝐺 ↾ 𝐵) Isom < , E ((1...(♯‘𝐴)), dom 𝑂) ∧ 𝑂 Isom E , 𝑅 (dom 𝑂, 𝐴)) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
93	89, 91, 92	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
94		isof1o 7327	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)):(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
95		f1of 6821	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)):(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)):(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
96	93, 94, 95	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)):(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
97		fzfid 14039	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
98	96, 97	fexd 7229	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) ∈ V)
99		isoeq1 7321	. 2 ⊢ (𝑓 = (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) → (𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ (𝑂 ∘ (◡𝐺 ↾ 𝐵)) Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴)))
100	98, 93, 99	spcedv 3555	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  {csn 4587   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   E cep 5558   Or wor 5566   We wwe 5611  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  Ord word 6360  Oncon0 6361  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537   Isom wiso 6538  (class class class)co 7416  ωcom 7865  reccrdg 8401   ≈ cen 8952  Fincfn 8955  OrdIsocoi 9484  cardccrd 9943  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13563  ♯chash 14396

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-hash 14397

This theorem is used by:  fz1iso  14529