MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlemin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlemin 13226
Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrlemin ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶)))

Proof of Theorem xrlemin
StepHypRef Expression
1 xrmin1 13219 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐵)
213adant1 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐵)
3 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 ifcl 4571 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ*)
543adant1 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ*)
6 simp2 1138 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 xrletr 13200 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵))
83, 5, 6, 7syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵))
92, 8mpan2d 694 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → 𝐴𝐵))
10 xrmin2 13220 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐶)
11103adant1 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐶)
12 xrletr 13200 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐶) → 𝐴𝐶))
135, 12syld3an2 1413 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐶) → 𝐴𝐶))
1411, 13mpan2d 694 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → 𝐴𝐶))
159, 14jcad 512 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
16 breq2 5147 . . 3 (𝐵 = if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)))
17 breq2 5147 . . 3 (𝐶 = if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → (𝐴𝐶𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)))
1816, 17ifboth 4565 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐶) → 𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶))
1915, 18impbid1 225 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143  *cxr 11294  cle 11296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301
This theorem is referenced by:  lemin  13234  stdbdxmet  24528  stdbdbl  24530  itgspliticc  25872  cvmliftlem10  35299  iccin  48794
  Copyright terms: Public domain W3C validator