MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlemin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlemin 12264
Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrlemin ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶)))

Proof of Theorem xrlemin
StepHypRef Expression
1 xrmin1 12257 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐵)
213adant1 1161 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐵)
3 simp1 1167 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 ifcl 4321 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ*)
543adant1 1161 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ*)
6 simp2 1168 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 xrletr 12238 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵))
83, 5, 6, 7syl3anc 1491 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵))
92, 8mpan2d 686 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → 𝐴𝐵))
10 xrmin2 12258 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐶)
11103adant1 1161 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐶)
12 xrletr 12238 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐶) → 𝐴𝐶))
135, 12syld3an2 1532 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ∧ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ≤ 𝐶) → 𝐴𝐶))
1411, 13mpan2d 686 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → 𝐴𝐶))
159, 14jcad 509 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
16 breq2 4847 . . 3 (𝐵 = if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)))
17 breq2 4847 . . 3 (𝐶 = if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) → (𝐴𝐶𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)))
1816, 17ifboth 4315 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐶) → 𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶))
1915, 18impbid1 217 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108  wcel 2157  ifcif 4277   class class class wbr 4843  *cxr 10362  cle 10364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369
This theorem is referenced by:  lemin  12272  stdbdxmet  22648  stdbdbl  22650  itgspliticc  23944  cvmliftlem10  31793
  Copyright terms: Public domain W3C validator